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中国面包师贴吧-楼主(阅：2503/回：0)由粒子加速器产生的反中子形成的白洞2 第四部分 基础量子论 推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》 22.一个自由度的对应原理 我们现在要谈到对量子论起决定作用的一点，波耳第一公设（用不够普遍的说法）说，原子具有分立的能级E ,E ,E ...，第二公设把能级与发射频率和吸收频率连接起来， 0 1 2 两公设联合一起，就能从原子发射的光谱中，推论出原子可能有的能量，然而要从原子模型中算出这些数值，这两公设还嫌不足，波耳的对应原理，便是一个这样的工具，当我们（在21节中）用量子论解释光谱时，已知道了这原理的轮廓，对于粗大的物体，经典理论应当是正确的，所以对应原理要求，就一统观的过程而论，用量子论来处理它与用经典理论来处理它，结果应该相同，所以对应原理要求，就一统观的过程而论，在它能级的分立性并不显著重要的时候（因为能级间的距离已较能量本身为小），用量子论来处理的结果，与用经典理论所得到的，也应该近似的相同，最后，更进一步要求，我们可以应用经典理论描写原子的一切性质，只有在必须满足波耳两公设的地方，才应加以修正。波耳公设的意义，在于它脱离了对运动的直观描写，而对应原理，则宽缓了这个脱离，因为它要求，只要在公设必须满足的地方，才应该放弃直观的描写，在今后的讨论中，我们将会认识到，这种对自然过程的直观描写所给予的限制，乃是量子论的核心。现先用一个自由度的系统，来说明对应原理的应用，而且暂时只着重于其性质上的关系，下节才讨论其数量上的关系。我们从经典力学的处理方法出发，这个运动方程式还不能单值地决定一个运动，因为运动方程式的通解中，尚含有（从数学上来看）两个任意的积分常数，我们必须给出其一个主要积分常数的数值——例如能量E, 及其一个次要积分常数的数值————例如其初相————，才能从这些根据质量与作用力视为可能的运动中选出个别运动来，因此个别运动的主要特性，系由能量E决定，在周期性运动中，频率是E的函数，这函数ν (E)可以根据经典理论推导而得， k1 如果这运动并不是一个单纯运动（亦即不是一个简谐振动或者是一个等速圆周运动），则除”基频率“外，还有”倍频率“，其关系如下： x=∑a cos(2πτν t+α ) τ τ k1 τ 上式中，a代表简谐振动的加速度，α简谐振动的角度，函数ν 表示频率是E的函数， k1 τ表示倍频率是基频率的倍数，在发射谱和吸收谱中，所有的频率τν 均能出现， k1 图15的左边部分即表示出这样的一种光谱（此处把吸收频率算作负，τ=-1，-2,...) 然而量子论所要求的，不是频率τv (E)，而是关系： k1 1 ν = [E(n)-E(n-τ)], τ=±1,±2... (1) qu h h代表普朗克常数，上面的函数表示ν和E的关系， -34 h=6.6260755(40)*10 Js 对于某一n值，图15右边部分画出了这种光谱，在一般情形下，发射频率与吸收频率并不相等，倘E(n)大体上是n的一个平滑函数，则这区别将不太大，在这情形下，E(n)-E(n-τ)也近乎是E(n)-E(n-1)的τ倍，因此我们适当地来选择E(n)，使量子论的光谱与经典理论的光谱互相类似（图15中已如此做了）。这样，对应原理就提供了一个能近似值测定能级E(n)的数值的方法，我们可选定E(n)的数值，使其由波耳第二公设所得出的频率，就其与能量的关系来看，与由经典模型所得出的频率尽量相合，此时经典理论的倍频率（│τ│=1,2,3...），就相当于各个从n变到n-τ的不同大小的变化。除这种”频率的对应原理“外，我们还可以建立一个“统计的对应原理”， 如果每一波耳定态的统计权重，都等于1（普朗克振子就是这样），则相空间（此处是q,p平面）中大小为h的整个区域，将只用单独一种配容来代替，这代替应使配容与其所代替的状态之间的差别，尽量减少，这两种对应原理（在念及它们具有近似性质之下）将导致相同的结果。作为第一个例子，我们来处理谐振子的问题，根据经典力学，频率ν 并不与能量有关，而且并不会出现倍频率（只出现τ=±1）， k1 如果我们只允许τ=±1(n→n±1)的跃迁， 并使能量差E(n)-E(n-1)与n无关而把它等作hν , 则频率的对应原理，即能满足， k1 因此我们得谐振子的能量公式， E(n)=(n+α)hν=(n+α)ћω (2) -34 ћ代表约化普朗克常数，ћ=1.05457266(63)*10 JS , (h=2πћ), α不能借助于对应原理来决定，在空腔辐射的情形中，经验告诉我们，对于电磁本征振动来说，α应等于零(α=0), 为了统计的对应原理，在此也能应用，请先注意，在相平面内表示的经典运动，相当于椭圆， m 2 2 2 2 2 E= ω a =2π mν a 2 a表示粒子的加速度，ω表示角速度，ν表示频率，（a为振幅），其面积为（参考第11节） 2 2 2 E Φ=πab=πmωa =2π mνa = ν (a和b为半轴),如果我们想把每一个面积为h的椭圆环，用两个量子论的配容来规定其界限，则须把 E(n)-E(n-1) =h ν E(n)=(n+α)hν n代表离子流的个数，α表示粒子的角速度，以谐振子而论，其脱离直观的描写，尚不很多，考其所以如此的原因，乃是经典的频率，并不与能量有关，因之经典的频率不必更改即能为量子论所取用，但在经典的直观的描写中，自不要求，所能出现的能量必须是分立的。作为第二个例子，我们来研究一个质点在一直线上受到与位置有关的力的作用而运动的情形，并只限于周期性的运动，即我们将研究一个非谐振子（在此摒除谐振子的特殊情形不谈），根据经典力学，这种运动除基频率外，还有倍频率，因此可以出现│τ│=1，2，3，...（由于某种对称性，│τ│=2，4...可以不出现），所以在量子论的光谱中，对于所有的τ（或成为经典理论所许可的τ），我们将预测有n→n-τ等跃迁出现，根据经典理论，现在频率与能量有关，如图16所示的位函数情况，ν将依能量增加而减小， （图17的左边部分，显示出一个有较低能值的光谱————在下边————，和一个有较高能值的光谱——在上边） 为了使量子论中的频率，也能随能量增加而减小，我们必须使各量子论能级间的距离向上减小. （图17的右边部分显示出两个有不同能值的光谱）。经典力学所得的结果，在相平面内，得图16下边的图形，可见相面积的增加比能量为快，转移到量子论中来时，n必须比E增长为快，在相平面内为曲线E=const所包围的面积，可写为 Φ=∮pdq 上式中，p表示粒子的动量，q表示粒子的坐标，Φ表示粒子运动的能量，它等于粒子动量对于电量的积分, 此处的积分应沿运动绕圈一转（即完成一个周期），如果在量子论中，我们选择的能量，恰相当于经典描写中的， Φ=∮pdq=(n+α)h (3) Φ表示粒子运动的能量，它等于粒子动量对于电量的积分，也等于普朗克常数乘以粒子次数和角度的和，则对应原理，即得满足，如果在经典的描写中，频率依能量增加而增加（图18就是这种情形）， 那么在量子论的描写中，根据频率对应原理，能级间距离应愈向上而愈见分离，在相平面内，相面积的增加，现应较能量的慢，根据统计对应原理，n也必须较能量的增加为慢， 41.自由运动的物质的波动方程式 我们期望，量子论将成为物质的微粒说与波动说中间的桥梁，我们试从两方面来达到量子论，到目前为止，我们仅从物质的微粒绘景出发达到，具有·直观意义的微粒绘景——也称为经典微粒绘景的——，只抓住了实际情况的一部分，它必须加以扩充，方能适合于说明作用量子的存在，我们会以对应原理形式研究过这一不能直观的扩充，具有直观意义的波动绘景——因此成为经典波动绘景的——，也只抓住了实际情形的一部分，它需要一个不能直观的扩充，以便适合于说明基本质点的存在，我们有可能完成这一扩充，而且能使它所表示的“量子论”， 与微粒绘景的对应原理经过精确化以后所表示的一样，它们间的逻辑关系，可以用下表来表示： 经典微粒绘景 经典波动绘景 作用量子 基本质点 量子论 我们试先完成物质的直观的经典波动绘景，一方面我们把它视为量子论的初阶，另方面，它也有独立存在的价值，它只掌握了一部分实际情况，使我们能在直观阶段上说明一些现象，而这些现象如从微粒绘景来看时，必须认为是量子现象的，这情况恰与光的微粒绘景一样，光的微粒绘景，能使我们直观的解释康普顿效应，而这效应从光的波动概念来看时，乃是一量子现象，我们把现将草拟的理论，称为“直观的”或“经典的”理论，这些名称在意义上，与我们把麦克斯韦关于电磁场的理论，称为直观的或经典的理论，并无二致，此处与彼处一样，均将场量视为时间与位置的函数，而它们的变化将用微分方程式来表示，在物质的直观的波动绘景的范畴以内，一个简单的物质波， ψ=acos(-ωt+qr) 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ω代表粒子运动的角速度，a代表粒子运动时的振幅，t代表时间，r代表粒子的位置，q代表粒子波形的个数，粒子运动的波形是一个余弦波，或者一个波群 ψ=∑a cos(-ω t+qr+α ) q q q q 上式中，表示有q个粒子运动的余弦波形组成了一个群, 上式中，ψ表示粒子运动的轨道，ψ等于这些粒子运动余弦波的和, α表示粒子初始位置的在余弦波中的角度，必须视为“物质场”ψ(t,r)的特殊情形，犹如光波只是电磁场的一特殊情形一样，至于只用一个无向量ψ来描写这场是否已经足够，或者是否（如在电磁场中一样，引入电位V与A或场强E与B）须引入几何上内容较为丰富的量来予以描写，则暂不作肯定，就光的情形而论，从任何一场量或位能都适合的波动方程式， 1 - ψ``+△ψ=0 (1) 2 c 上式中c代表光速，ψ``代表ψ关于时间t的两次导数，可得出关系 2 ω 2 -q =0 (2) 2 c 前式中的△为一算符： 2 2 2 Ә Ә Ә △=div grad= + + （Ә表示偏微分符号） 2 2 2 Әx Әy Әz 作试解 ψ=acos(-ωt+qr) (3) 或作试解 -iωt+iqr ψ=ae (4) 上式中i表示单位虚数, 并顾及 2 △f(qr)=q f``(qr) 即能由方程式（1）得出关系（2），就物质的波动方程式而论，如引用简单的平面波（3）或（4），则必须由它得出为实验所证实的关系（第39节） 2 q ω- =0 (5) 2λ 如在波动方程式中引入△ψ/2λ一项，即能得出上式中的第二项，而ω一项，则仅在利用指数式的解（4），并且在引用i`ψ`时，方能获得，因此在场的或波动绘景中，我们将以“波动方程式” 1 i`ψ`+ △ψ=0 (6) 2λ 视为自由运动的物质的理论基础，至于何以只能用复数表示法（4）来表示一平面波，其原 2 由所在，以后用相对论处理这问题时，自会明显，以前曾提到过，微粒绘景的E=p /2m 2 与波动绘景的ω=q /2λ两等式之间，有其形式上的相似性： E=ћω,p=ћq,m=ћλ, 上式中，ћ表示约化普朗克常数，E表示粒子的能量，ω表示粒子运动的角速度，p表示粒子的动量，q表示物质波的数量，m表示粒子质量，λ表示物质波的波长，这些相似性现可予以扩充，使其成为一普遍形式的相似性，如以 表示一算符，且可以作为向量来处理 2 =△ 其部分为 e e e , , , ex ey ez 则得下列对照： e ћ E→iћ , p= , E→ћλ , (7) ei i 在这对照中，我们曾以i作为p的因数，并且把它写为分母，这是完全任意的，而且暂时也无关重要的，但在用相对论处理这问题时，则将见其为事所必至，如引用由实验所证实的关系m=ћλ(λ为波动绘景中的物质常数，m为微粒绘景中基本质点的质量），则波动方程式（6）也能写成下列的形式： 2 ћ iћψ`+ △ψ=0 (8) 2m ψ`表示ψ关于时间的一阶导数，在一个像我们这里所草拟的直观波动理论中，只有商ћ/m才有其物理意义，以简单的物质波（4）而论，我们可望其强度将与ψ*ψ成比例（如在光波的情形中一样，我们用复数写法），注：ψ*ψ表示ψ乘以ψ, 以方程式（6）为基础而建立起来的、比较普遍的理论，我么必须检验一下，在其适用范围以内，ψ*ψ一量是否可以视作物质密度的量度，一物质量之是否可以作为质量多少的量度，一物质量之是否可以作为质量多少的量度，全赖于它是否能适合守恒定律，设以μ表示物质的密度，且将积分遍及整个空间，则必须是 d ∫μdτ=0 dt 尙积分只及于一个有限的区域，并以j表示物质流的密度，则下列关系 d ∫μdτ+∮∫jdf=0 dt u`+div j=0 (9) 上式中,f表示物质波，div表示散度，必须成立，从波动方程式（6），我们确能导出这样一个等式来，这是因为， d (ψ*ψ)=ψ*ψ`+ψψ`* dt 根据（6）以及与其共轭的（即ψ*的）方程式，我们得 d 1 (ψ*ψ)= (ψ*div gradψ-ψdiv gradψ*)= dt 2λ i = div(ψ* gradψ-ψ gradψ*) 2λ 上式中，div grad表示算符△，grad表示梯度，即方向导数，λ表示粒子波的波长,div表示散度, 因此，我们可留下以因数不作决定而以， μ~ψ*ψ } （10） 1 j~ (ψ* gradψ-ψ gradψ*) 2λ 1 上式表示μ的值趋近于ψ*ψ, 表示j趋近于 (ψ* gradψ-ψ gradψ*) ， 2iλ 作为物质的密度和物质流的密度来看待，对于μ和j两个量来说，我们是否（如在39节中 2 2 所示）规定ω=q /2λ或比较一般地ω-ω =q /2λ是无关重要的。 0 43.电场中的物质 物质区别于光的地方，不仅仅它可有任何大小的速度(v<c)，而与光相反，它能负电荷，换言之，物质波将受电场的影响（在适当的电磁场中，阴极射线将被偏转），作为示例，我们可研究荷阳电的物质，当它沿电位V增加方向流动时的情形，物质流的速度将逐渐变慢，但从波动绘景或在微粒绘景中，这速度是一可测量的量，但从波动绘景方面来看，如果我们还可以直观地来想象这过程的话，则当它在流动的时候，频率必须视为固定不变，倘物质从 2 无场区域（即电位V为常数），经过一电场而流入另一电位较高的无场区域，v 已变小，因为我们必须以实验所证实的关系， q=λv (1) 上式中，q表示电子波动的波数，v表示电子的速度，λ表示电子波动的波长， 2 为准确的，所以q 也变小了，由此可见，我们一直用的那个频率与波数间的关系， 1 2 ω= q 2λ 上式中，ω表示电子波动的角速度， 2 是并不普遍有效的，v 的变化系由能量守恒定律规定， μ 2 v +ρV=const (2) 2 上式中，const代表任意常数，V代表电子运动产生的电势，其中μ表物质密度，ρ表电荷密度， 2 因此在q 与V之间，必须也有一相应的关系存在，这关系便是 1 2 ω-ζV= q (3) 2λ 其中ζ为一适当选定的常数，将运动时保持一常数的量（2）与当ω固定时亦为一常数的量， 1 2 λ 2 q +ζV= v +ζV 2λ 2 比较后，得出 ζ ρ = (4) λ μ 亦即等于电荷与物质之比，我们还能记得，在不受力作用的·情形下（第39节），我们曾从群速度 dω q = dq λ 出发，获得了 1 2 ω= q +const 2λ 其中附带有个任意的积分常数，如各无场区域具有不同电位V, 则每一区域的这常数将由（3）来决定，因电位V只能测定到留下一个相加常数不能肯定的程度，所以ω也必须含有一个（在目前情形下，为所有不受力作用的区域V=const所共有的）不能观察到的常数，物质波的频率不可能是个可以观察的物理量，我们以上所假定的，是荷阳电的物质，荷阴电的物质， 2 则将因电位V增加而加速，倘物质波进入较高的等电位V区域内，q 行将变大，此时关系式（3）中之ζ应取负值，我们再来研究简单的物质波，把它作为物质场的一种特殊情形来看，并找出这场的基本方程式，在等电位V区域内（只有在这些地方我们才可以希望物质波具有简单的形式），应视符合关系（3）的平面波 -iωt+iqr ψ`=ae （5） 为能适合波动方程式或场方程式的一个特解，从这平面波上可以推论到波动方程有下列形式： 1 iω-ζVψ+ △ψ=0 （6） 2λ 即使在V变化的情形中，我们也将视这方程式为物质场的基本方程式, 我们不难由计算证实，从方程式（6）也能求得物质守恒定律， μ`+div j=0 （7） 连同 μ~ψ*ψ } （8） 1 j~ (ψ* gradψ-ψ gradψ*) 2λ 如果V从一处到一处的变化极其缓慢，则近似地还能用形式（5）的波，若以波数带狭的波群来代替（5），而这波群是用以表示聚集在一定区域内的一堆物质的，则它将有一定的群速度，其值永为q/λ, 所以根据（3），这速度将为电位所决定，犹如荷电质点的速度系由电位所决定一样，因此一波群按（6）进行的运动，与粗大质点的运动完全相同。为了证实这点，我们愿对空间内有限的波群，试从波动方程式（6）算出其运动方程 ǝV mx``=-e (9) (ǝ表示偏微分符号) ǝx 因波群占据一定大小的位置，故不应研究其坐标x而应研究平均值 x =∫ψ*xψdτ ψ*代表函数ψ的群，即波函数的群，dτ代表关于时间进行微分，[我们将（8）中尙未肯定的因数暂作为1], 有计算所得（根据爱伦发斯脱），这个平均位置的速度是 ( x )` =∫(ψ`*xψ-ψ*xψ`)dτ 按（6）得 i ( x )` = ∫(ψ*x△ψ-ψx△ψ`)dτ 2λ 在顾及 2 2 Ә Әψ Әψ* Әψ Әψ* Ә ψ Ә ψ (ψ*x -ψx )=ψ* -ψ +ψ*x -ψx 2 2 Әx Әx Әx Әx Әx Әx Әx 上式中,x代表电子的位置，ψ代表电子的波函数，也就是余弦波动函数, 与其他类似的关系之后，得出（在距离远的地方应ψ=0） 1 Әψ Әψ* ( x )` = ∫(ψ* -ψ )dτ 2iλ Әx Әx 我们获得此结果，是不足惊异的，因为 ψ*ψ与(ψ*grad ψ-ψgrad ψ*)/2iλ 之间的关系，为密度与流密度间的关系，我们继续算下去 1 Әψ Әψ* Әψ` Әψ`* ( x )`` =- ∫(ψ`* -ψ` +ψ* -ψ )dτ 2iλ Әx Әx Әx Әx 应用乘积的微分法则，将由此得出 1 Әψ Әψ* ( x )` = ∫(ψ`* -ψ` )dτ 2iλ Әx Әx Әψ* 表示波函数ψ的群对x的一阶偏导数，λ代表电子波的波长， Әx 根据（6），此式将变为 2 1 Әψ* Әψ ζ Әψ Әψ ( x )`` =- ∫( △ψ+ △ψ*)dτ+ ∫(Vψ* +Vψ )dτ 2 Әx Әx λ Әx Әx Әx 2iλ 上式中，ζ代表适当选取的常数，在再次应用乘积的微分法则后， ζ Әψ ( x )`` =- ∫ ψ`* ψdτ λ Әx 因为这积分可视为V的导数的平均值，我们得 ӘV λ( x )`` =-ζ (10) Әx ӘV 代表电子在场中的电势V的平均值的偏导数, 上式中，△表示算符， 2 2 2 Ә Ә Ә △=div grad= + + （Ә表示偏微分符号） 2 2 2 Әx Әy Әz 2 2 2 Ә ψ Ә ψ Ә ψ △ ψ= + + （Ә表示偏微分符号） 2 2 2 Әx Әy Әz 其中ζ/λ为电荷与质量之比，对于密集在一处的物质，这些平均值就可作为x和ӘV/Әx的数值看待，于是得（9），以十分密集在一处的物质而论，我们将见它要流散，我们也要在这里指出一点，即波动绘景中的等式（3）与（6），与微粒绘景中的能量等式（e为质点的电荷） 2 p E-eV- =0 (11) 2m 之间形式上有其相似性，根据（3）有下列各对照： E→∞，p→q，m→λ，e→ζ 而根据（6）有 Ә 1 E→i , p→ ,m→λ，e→ζ Әi i 或在引用m→ћλ后 Ә ћ E→iћ , p→ћ ,m→ћλ，e→ћζ Әi i 于是（6）也可以写为 2 ћ iћψ-eVψ+ △ψ=0 (12) 2m 然而在我们此处所草拟的直观的物质场理论中，只有m/ћ与i/ћ才有其物理意义。 上式中,ћ表示约化普朗克常数，ћ=1.05457266(63)*10Js。 第五部分薛定谔方程 推导过程可参见苏联福瑞德里许.洪德著，王福山译，科学出版社1958年出版，《原子与量子理论》 49.薛定谔方程式 我们以前（在第四章中）从物质的微粒绘景方面出发，对原子系统作了量子论的处理，为了要适合于说明作用量子的存在，我们曾把基本质点力学系统原有的直观绘景，用对应原理经过不能直观的方式，加以改变，并且希望对应原理的精确化，能够表达出量子力学来，其后又见到（第40页）作用量子在自然现象中的职务，在于它能表示出物质的（与光的）微粒绘景与波动绘景之间的相互限制，所以我们可以希望，从物质的波动绘景出发同样能够到达量子力学，因此之故，我们现愿从直观的波动或场的绘景出发，经过一个不能直观的方式来把它改变，使其能借助于作用量子而适当说明基本质点的存在，兹仅限于相对论的情形，因此，我们试完成第41节已指出的周期图表： 经典微粒绘景 直观的波动绘景 h,对应原理 基本质点 量子力学 就单由一个质点组成的系统而论，这问题在现有的基础上，是不难解决的，我们就这样到达了单质点系统的量子力学，如果把它应用于原子，则须把其中一个电子作为质点来处理，而其余电子和核对它的作用将一并用一个力场来描写（犹如我们在第16节中做过的一样），所以我们从直观的场论出发，在这理论中将并无基本质点出现，至于单纯的物质在电位为V的电场中所有的行动，则将43节中所建立的场方程或波动方程式来描写，然而在这电位V之中，有一部分是外加电场的电位（V ), 其另一部分则是由物质场的电荷产生的， 0 按经典电学，这第二部分应适合， △ （V-V )~-ρ 0 上式中，△表示算符， 2 2 2 Ә Ә Ә △=div grad= + + （Ә表示偏微分符号） 2 2 2 Әx Әy Әz 2 2 2 Ә (V-V ) Ә (V-V ) Ә (V-V ) 0 0 0 △(V-V )= + + 2 2 2 Әx Әy Әz (ρ的前面是否应乘上一因数4π，在此无关重要）；其中电荷密度ρ现须用场量ψ来表示： ρ~±ψ*ψ 上式中,ψ表示电子波的波函数，ψ*表示电子波的波函数群，因此，物质的直观场论已全部总结在方程式 1 iω-ζVψ+ △ψ=0 2λ } （1） △ （V-V )~±ψ*ψ 0 之中，当质量极少时，第二方程式可置之不顾， 上式中，△ （V-V )~±ψ*ψ表示（V-V )的算符趋近于波函数ψ乘以波函数群ψ*的积 0 0 第一方程式中的V可用外电场的电位来代替，第一方程式保证了物质在数量上（以及在电荷上）的守恒，这物质的密度和物质流密度系正比于ψ*ψ和(ψ*grad ψ-ψgrad ψ*)/2iλ，其中，ψ*表示电子波ψ乘以电子波的群ψ*，grad表示梯度，即方向导数，i表示单位虚数， 我们相信，方程式（1）能够正确的描写这样一些现象，对于这些现象来讲，物质是否由基本质点组成，是无关重要的，现在进行一个不能直观的改变，但此时应加注意，我们的问题是仅有一个基本质点的系统，所以在将积分遍及整个空间以后， ∫ψ*ψdτ 上式中，dτ表示波函数ψ关于时间的微分，所得的数值，应首先能够说明它是一个质点，现在根据下述意义，将迄今尚未肯定的ψ的量纲，予以规定，即以ψ*ψdτ表示物质在区域dτ内的数量，我们虽以基本质点为单位来量度它，但设想它是连续分布于dτ之内的，因此物质的多少恰巧等于一个基本质点这一事实，将由等式 ∫ψ*ψdτ=1 （2） （“归一化）表达出来，但此外它尙须能表示出，这些物质，为一个单独面认为是质点的微粒所有的，可是这一点就不可能用直观的方式表示出来，因为方程式（1）曾假定了一个连续分布的场量ψ，但在现有的理论范围内，至少可以考虑这一点：这样一个基本质点并不对自身发生作用，因此它只受外力场的影响，所以就一个基本质点的情形而论，方程式（1）中的第二个式子可以略去不顾，而第一个中的V可代之以外加（视为已知的）电场的电位，单质点系统量子力学，现可总括在下列方程式 1 iω-ζVψ+ △ψ=0 2λ } （3） △ ψ*ψdτ=1 中，其中V现为对基本质点发生作用的外加电场的电位，上式中，△ ψ*ψdτ=1表示波函数ψ乘以波函数群ψ*的算符对于时间的微分等于1, 如引入质点的质量m及电荷±e, ћζ=±e,ћλ=m 上式中，ζ表示选定的常数，λ表示电子波的波长，并为避免双重符号起见，复引入位能 U=±eV 则得单质点系统的量子力学各方程式如下： 2 ћ iћψ-Uψ+ △ψ=0 2m } （4） ∫ ψ*ψdτ=1 U现为质点在外加电场中的位能（是位置的，可能也是时间的函数），这些等式中的第一个便是”单质点系统的薛定谔方程式”， 它与这单质点系统在经典微粒绘景中的能量等式 2 p E=U+ 2m 构造相似，如在 2 p E-U- =0 （5） 2m 中引入下列替代： Ә 1 Ә E→iћ , p → Әt x i Әx ћ Ә ћ Ә p → , p → y I Әy z i Әz 上是中，p表示电子在电场中的动量，并将由此而得的微分算符应用于函数ψ上，那么我们就得薛定谔方程式，但薛定谔方程式也可视为海森伯关系对应原理精确化的应验（第34节），根据这精确化，我们不用具有一定数值的坐标x,y,z,t与动量（现在也需把能量列入其内）p ,p p, ,E而代之以更普遍的量，这些量应适合一定的对易定则： x y z i(p x-xp )=ћ x z ............ 上式中,x代表电子的x轴坐标，i表示单位虚数，p 代表电子在x轴上的动量，p 代表 x z 电子在z轴上的动量，以x与算符Ә/Әx而论，其对易定则为 Ә Ә ( x-x )ψ=1ψ Әt Әx Ә Ә Ә 对于y与 ,z与 ,t与 Әy Әz Әt 则各有其类似的式子，因此我们可以满足量子论的对易定则，只要我们把空间与时间坐标x,y,z,t仍作为通常的变量来看待，也不让由这些量组成的函数改变其原来意义，而独令p ,p ,p ,E等量，根据（6）各代之一算符，于是等式（5）也将成为一个算符， x y z 把它应用于函数ψ(x,y,z,t)，并要求其得出的数值为零，于是就得薛定谔方程式，但薛定谔方程式与海森伯关于对应原理的精确化，它们间的全部等效性，尚未由此获得证明，因为海森伯是从运动方程式出发，而此处则联系在能量等式上，仅当全部等效性获得证明以后（如第55节中所略示的），才有理由说：经典微粒绘景用对易定则，使对应原理精确化所走的哪条道路，与经典波动绘景或场的绘景，经过一个为基本质点的存在所规定的改变所走的哪条道路，都导致同一的单质点系统的量子论，我们在此处对场的绘景所进行的那个改变，并不是能够直观的，因为直观的物质场，只在物质的数量小到几等于零的极限情形时，才能满足V为外加电位的那个薛定谔方程式，而在一个基本质点的情形，则并不如此，再则又因为在直观的物质场中，物质是根本连续分布着，因此薛定谔方程式并不是量子现象的直观解释，就是ψ现也不可能有其直接的直观意义，ψ*ψ并非表示物质的密度，在今后的研究中，我们将发觉ψ可作为叙述某种有关量子系统状态的方程之用，我们目前要用到这一点，归一化条件（2）的意义，不再是，连续分布的物质的数量是相当于一基本质点的那么多，而却是：一基本质点可以存在于空间中某一处的机会，因此（与位置和时间有关的）ψ·ψdτ一量，显然可视为几率的量度，也就是一质点在已知位置和已知时间处在空间素dτ内的几率多少的量度，我们称ψ(x,y,z,t)为对于位置x,y,z在时间t时所有的几率幅。并非所有经典力学中有意义的问题，在量子论中也是有意义的，设位能U不显式地与时间有关，则在经典力学中能量E在整个运动中为一常数，我们希望在量子论中也是如此，并且认为提出何者为可能有的能量这问题，也是有意义的，由于微粒绘景与波动绘景之间有着关系E=ћω, 我们可假定周期性的解 -iEt/ћ ψ=e u(x,y,z) (7) 上式中，电子波的余弦函数ψ的解是e的-iET/ћ次方再乘上u(x,y,z), E表示电子的能量，u(x,y,z)表示电子在空间坐标（x,y,z）中的电位，能代表具有一定能量E的一个状态，换言之，如波函数ψ适合 Ә iћ ψ=Eψ (8) Әt 则它表示一个具有确定能量E的状态，引出解（7），我们由方程式（4）即得“不含时间的方程式” 2 ћ (E-U)u+ △ψ=0 2m } （9） ∫u*udx=1 上式中， 2 2 2 Ә Ә Ә △=div grad= + + （Ә表示偏微分符号） 2 2 2 Әx Әy Әz 2 2 2 Ә ψ Ә ψ Ә ψ △ψ=div grad ψ= + + （Ә表示偏微分符号） 2 2 2 Әx Әy Әz u*表示电子波的群的电压，因为把电磁波可以看成一个个电子微粒波动组成，这样一个个的电磁波就是波函数群，不含时间的薛定谔方程式也可由质点等式（5）中获得，此时只须将动量p p p 代之以相应的算符即可，在我们对u所提出的条件下，不含时间的薛定 x y z 谔方程式，往往只对分立的E值，方能求得其解，于是量子力学系统只能有这些分立的能值，这些E的数值称为本征值，其所属的解称为薛定谔方程式的本征函数，在第44节中曾经处理过的那个简单的例子，可以作为此处的例子来看，当时所得的结果是符合对应原理的，而且是这原理的精确化，因为它正确地给出了 2 h 2 E = n n 2 8ma 而不是以(n+α)来代替n, n代表离子流的个数，α表示粒子的角速度，我们继续要问：如果系统的能态为已知，我们对于质点的位置，能够做出什么结论来，从40节中的有关测不准关系的研究中，我们可以说，质点在已知能量下，能处在一定的区域之中，但它在整个区域以内的位置则是测不准的，在一定的能量下，我们果能从（7）中求得， ψ*ψ=u*u 第44节的特例曾给出， x u~sinπn a x 上式表示u趋近于sinπn , a x表示电子的位置，a表示电子的振幅，u表示电子的电位，引用归一化条件后，即得 2 x u= sinπn a a 另一个有意义的问题我们认为是：在位置已知，但并不测得十分准确的情形下，我们问能量E 所能出现的几率该是多少，因为位置的测定与同时进行的一个准确的能量测定是不相 n 容的，所以必须使ψ由具有不同频率的周期性解来组成，如果u 为不含时间的方程式所 n 有属E 的解，则函数， n -iEt/ћ ψ=∑ c e u (x,y,z) (7) n n n 亦为薛定谔方程式的一个解，于是这问题的解答，就在于我们如此来决定系数c ， n 即当t=0时，使函数ψ*ψ所表示的，恰巧等于作位置测定时各位置所得的几率，这问题的解答需要一些数学上的探讨，我们在以后将再回论到这问题上来（第54节）。 注：c 是一个排列数，它和电子出现的几率有关， n 50.一度空间的情形 为了能对单质点薛定谔方程式的处理熟练起见，我们稍深入的研究一下一度空间的情形，此时位能U只与一个变数x有关，我们试求得其可能实现的，具有确定能量E的状态，其所属的函数u, 根据经典质点力学中的等式 2 p +U(x)-E=0 2m 薛定谔方程式(p→-iћӘ/Әx)为 2 ћ u``+[U(x)-E]u=0 (1) 2m 其中u``为u对变量x的二次导数,u是与它有关的，我们先研究这样一个位能U(x)，它在经典力学中将导数周期运动，而在量子力学中则导数分立能值E（本征值）的（图34），为简单起见，暂先假定U只有一个最小值，而且它在有限的x区域的两旁无限的升高（图35），我们在以后将把这些假定去掉， 在U的最小值的上边，我们假定微分方程（1）中的数值E, 有一任意的，但为确定的数值， 2 因为必须是p /2m>0,故有这样两点，在它们的地方U=E,在它们的中间U<E, 而在它的外边U>E,这两点就是能量为E的经典运动的极限点，以现在的问题而论，它们使中间区域U<E, 即根据（1）u``/u在其中为负的，与两个外边区域U>E, 即u``/u在其中为正的，互相分开，因此表示解的那条曲线在中间区域内弯向横轴，有时候它（在一拐弯点u``=u=0处）还能通过横轴，有时候它（在一拐弯点u``=u=0处）还能通过横轴，在外边区域以内它将从横轴向外弯去，在每一外边区域内，它至多再能通过横轴一次，只有这些（在区域的边界上）并不趋向无穷大的解u, 它们的边界值必须为零，以及那些使这些解成为可能的能值E(本征值），才有物理意义，所以表示解的哪条曲线在U=E的两点以外，不可能再通过横轴，经典运动的极限点是本征函数的最外拐点，我们设想方程式（1）的解（或用作图法）求得如下： 试将逐次在增加的数值代入E，并每次使所属的解从左边以u=0开始画起（图36），在这解中，有一任意因数可供选择，我们如此来选定它（暂不必考虑归一化），对于每一个E值，使许多的解在左端一段长的范围内，几乎互相符合，一般而论，如此获得的解，并不会以u=0到达右边，而却在右边向上或向下伸展到无穷远去， 如所选之E仅稍高于U的最低点（图36中E ), 则因中间区域太小，不能使解u足 a 够的回向横轴，于是它在右边向上伸去，当所取的E较大时，第一个拐弯点将向左移动，在这点的左方，u``/u较以前的E值所有者为小，在其右方，则│u``/u│较大，表示这解的曲线将更加弯曲横轴，而当E足够高时（图36中的E ), 它将割切横轴，并在右边向下 b 伸去，在这两个所论的E值之间，就有这样一个E，对它来讲，解将以u=0到达右边，于是我们就找到了最低的一个本征值E 和所属的本征函数u , 除在边界点以外，这本征函 0 0 数并无其他零点，若使E再增加，则所有拐弯点与零点均将再向左移动，函数u先是在右边向下伸去（E=E ),对于再高一点的E的值，则在出现一个零点之后复将向上伸去 b （E=E ),经过适当地选定E值后，又能使u以零到达右边，于是就获得第二个最低的 c 本征值E 和所属的本征函数u , 它在区域之内有一个零点，如此以往，在每次把E值 1 1 增加到一定高时，我们再得到一个函数u, 它以零到达右边，零点的数目将每次增加1，（在 图36中，E ,E ,E ,E ,E ,E ,的以及在它们每两个中的中间值的 a 0 b 1 c 2 解均经画出，且E 的解会就不同的纵轴画出两次），就图36所示的位能形式而论，我 b 们得无穷多的分立本征值，E <E <E <...每一个都有一个所属的，一定的 0 1 2 （其中的因数除外）本征函数：u ,u ,u ....,本征函数u 的导数n,等于它在区域内 0 1 2 n 的零点的数目（“节点定律”）， 这样求得的一些本征函数都是实函数，它们可以乘上一个复因数（其值将由归一化条件予以确定），此外则并无其他本征函数，证明：与u一样，u*也是属于同一本征值的本征函数，因而u*+u与i(u*-u)两实函数也是，由于每个本征值主要只有一个实本征函数，所以u*与u之间至多相差一个因素，以上所作的假定，即假定在两边当x的数值还没有变为无限大时，U(x)已变为∞，使我们在作图求解上，得到许多方便，U(x)已变为∞，使我们在作图求解上，得到许多方便，然而不难看出，以上关于节点定律的证明，将并不因U(x)始在x=±∞的地方，达到∞而受到影响，此外，我们当时曾假定U(x)仅有唯一的一个最小值，这个假定也并不重要，纵使它有许多个最小值，这定律还是完全有效的，它能帮助我们便于从性质上，对某些系统看到其大概情况，这些系统，便是在对应原理的范围内，处理起来不可能没有某种很大的任意性的系统，以及一个电子在一个分子中运动的系统（在多原子分子中，一电子将遇到许多个位能小的地方），以及一个电子在一个分子中运动的系统（在多原子分子中，一电子将遇到许多个位能小的地方），节点定律的某些部分，对图37所示的位能形式U(x)来说，还是有效的，以E>U 而论，任何函数，只要 ∞ 能满足左边的边界条件u=0,并能满足薛定谔方程式，都是可能的函数，每一E值（一任意因数除外）只有一个函数u，以E<U 而论，则有有限多或无限多个分立本征值（全视U ∞ 的行程如何而定），每一本征值只有一个本征函数，它的节点数就是等于本征函数的号数，如果“位能谷”极小，则可能遇到这样一种情形，根本无分立本征值存在，就图38所示的形式而论，我们须区别三个E的区域，对于E<U 只有分立的E，节点定律中与此相应 ∞ 的部分还是成立的，对于U <E<U ,则任一E值为一本征值，同时每个都有一本征函 ∞ -∞ 数y, 对于E>U 来讲，在左边也没有满足任何边界条件，对每一个E值，在任何x处现 -∞ 可将u与u`的数值任意选定，也就是说，有两个独立的u 与u ,用它们可以构造出任 1 2 何一个具有形式c u +c u 的解来， 1 1 2 2 图38关于一度空间的情形 我们还需讨论一下这样一个问题，在这问题中，与U和本征函数有关的位置变数之中，有一个是角φ，以致φ与φ+2π表示同一个位置（循环变数），于是我们要求（在边界条件的地方），u(φ)=u(φ+2π), 因此，u的零点数只能是个偶数，在图39的情形中，即在位能谷的范围比2π为小的情形中，E小的那些本征函数，与边界条件为u=0的那些本征函数，相差极微，u 没有零点，u 则除位能谷内有一零点外，还有一个在U>E的区域内， 0 1 u 则仅在位能谷内有两个等等，各本征函数将依次有0，2，2，4，4，6.。。个零点，对 2 于“循环”变数φ这是可以普遍证明的， 图39循环坐标的情况 在U=const的特殊情形下（我们假定U=0)，我们得到本征函数, 注：const表示任意常数， 1 1 cos u= ,u= λφ (λ=1,2,3...) 2π π sin 两个有同一λ值（>0)的函数，是属于同一个本征值的，λ=0则属于单纯的本征值的，凡是这种系统，其坐标x不断地在前进，同时其本征值E形成一连续区域的，我们如要处理它们，数学上很不方便，因此我们往往把它们作为具有分立（相隔很近的）本征值的系统来处理，如像下列一个位能谷的情形，从谷出发U(x)在两边上升，一同达到极限值U ,我们把 ∞ 它作为图39的系统的极限情形来看待，为此目的，只需将不断前进的坐标x代之以一循环坐标，对这样的坐标来讲，x与x+L表示同一个位置，而L为一很大的长度，于是我们很想知道，在L→∞的极限情形下，结果复将如何，以特殊情形U=0（不受力作用的运动）而论，现有本征函数， 1 2 cos x u= ,u= 2πn (n=1,2,3...) L L sin L 或用另法写之， 2 2πinx/L u= e (n=0,±1,±2,±3,...) L 其本征值为 2 2 2 2π ћ n E = n 2 mL 因为L并无物理意义，我们宁可把本征函数写为 1 iqx u= e L 而把本征值写成 2 2 ћ q E = n 2m 这样我们便与39节中的等式相对应了，当L变大时，所有可能出现的波数 2π q= n L 上式中,L表示一个任意长度，将互相不断靠近，终于形成连续区域， 51.逐段为一常数的位能 前节中的讨论连同对应原理一道，已使我们能对一度空间的薛定谔方程式，就其本征值的位置及其本征函数的性质，在定性的意义上，得到一个概略的了解，但是为了获得更多知识，我们须对逐段为常数的位能（图40）进行研究，位能U为常数的薛定谔方程式。 图40逐段为常数的位能 ћ u``+(U-E)u=0 (1) 2m 将严格地为 ±rx u=e 或更普遍的为 rx rx u=Ae +Be (2) 连同 ћ =U-E (3) 2m 所解开，当U>E时，r为实数，当U<E,最好写成 ±iqx u=e 或 cos u= qx sin 更普遍的可写为 iqx -iqx u=Ae +Be }(4) u=Ccosqx+Dsinqx 连同 2 2 ћ q =U-E (5) 2m 在那些U以不同数值相遇的地方，解（2），（4）将以不同的r与q互相衔接，方程式（1）指出，在这些U的数值发生突变的地方，u的二次导数并不连续，而且一次导数及u本身则为连续（如果我们假定U的突变是有限的），因此我们有两个过度条件，用以决定两个互相衔接的解中的两常数A与B, 作为最简单的例子，我们试讨论各处均为常数的位能，假定U=0, 但这假定并不影响这问题的普遍性，函数（4）以及 2 2 ћ q E = u 2m 就是这问题的解，在这里归一化条件 +∞ ∫u*udx=1 -∞ 无法应用，实际上，如果要在无限大的区域-∞<x<+∞以内的某一有限分区中找到这质点，其几率确是等于零，因为在一般情形下，U=0的假定，不过是U在相当大的范围内等于零的一个理想情况，所以我们在此不拟对归一化条件深加研究。解（4）所表示的，是质点具有确定能量的一个状态，其中的q，系由（6）所决定，但是即使不问其中的因数如何，这状态也不能单值的予以决定，这是因为在测不准关系范围内，即使能量已经固定，也尚有许多不同的状态可以互相区别，函数 iqx u=Ae 描写一个质点具有动量p=ћq的一个状态，反过来，一定数值的动量就相当于一定的波数q=p/#h和函数， ipx/ћ u~e 如果一状态能适合 2 2 ћ Ә ψ =pψ (7) i Әx 则这状态具有一定数值的动量p，因此普遍函数(4)，相当于这样一些状态，对它们来讲，虽然能量和动量的数值已经确定，但动量的方向则未定，作为第二个例子，我们再研究一下第44节中的“位能谷”（图40a), 0(0<x<a) U={ ∞（x<0,a<x) 其归一化了本征函数为 2 x u= sinnπ n=1,2,3... (9) a a 其本征值为 2 2 ћ π 2 E = n (10) u 2 2ma 这些本征函数构成一个“归一化正交系”，因而是 0(n≠m) ∫u u dx=δ ={ (11) 0 n m nm 1(n=m) 这正交系是“完整的”，因为任何一个在间隙(0,a)内所规定了的函数f(x)，都可以根据傅里叶定律把它用下列形式 f(x)= ∑c u (x) n n 表示出来，我们应用此例，以研究没有确定能量的一些状态，这些状态相当于下列形式的一些ψ函数 -iE t/ћ ψ= ∑c u (x) e n (12) n n 其中u 与E 具有(9)与(10)所给出的意义， n n 譬说有一状态，我们知道其能量只能是E 或是E ,这状态即可由 n n+1 -iE t/ћ -iE t/ћ n x n+1 x ψ=c e sinπn +c e sinπ(n+1) n a n+1 a 来表示，c =c 是它的一个特殊情形，于是当t=0，得 n n+1 1 x π x ψ~sinπ(n+ ) cos 2 a 2 a 因为, E p m n n ψ=Be =Be 上之中,B表示磁通量，E 表示n点电场强度，ψ表示波函数, m代表电子质量，p 代表 n n 电子在n位置时的动量，p 代表电子在n+1位置时的动量，所以 n+1 -mp t/ћ -mp t/ћ n x n+1 x B=c e sinπn +c e sinπ(n+1) n a n+1 a （图41的下部），再过一些时候，复将到达t=0的情况等等，几率中密度ψ*ψ以标识性的方式往复摆动于区域(0,a)之间， 图41拍 在测不准关系范围以内，我们即能对能量说出它或是E 或是E 与此并不冲突， n n+1 我们还能对质点的位置说出其或在右或在左，而在右和在左的几率，是各不相同的。如果我们要把在时刻t=0时有相当于已知几率ψ*ψ=f(x)的一个ψ函数表示出来，则一般而论，需要用一个内含一切E 值的级数（12），但c 并不为f(x)所单值地决定，而除位 n n 置的几率以外，对它们还可作为其他方面的规定。现研究深度有限的位能谷（图40b): -W(-a/2<x<a/2) U={ (13) 0(x<-a/2,x>a/2) 我们假定它对称于x=0的一点，所以只需要找出对x将来是偶的与奇的各个解u, 因此，我们也只需要研究两个U为常数的分区：0<x<a/2和a/2<x<∞，对于-W<E<0,我们得下列各解： x<a/2, x>a/2, cos -rx u=A qx u=Be sin 1 1 a= 2m(E+W) r= -2mE ћ ћ 以及在x=a/2处的两个过渡条件，这些条件表示u与u`在彼处的连续性，就cos的情形而论，得 qa -ra/2 Acos =Be 2 qa -ra/2 qAcos =Be 2 上式中，r为电子位置，q为电子数量，由此得q与r间的一个条件，因而也是对E的一个条件 qa r tg = (14) 2 q 就sin的情形而论，这条件为 qa q tg =- (15) 2 r 如果E+W<<W,亦即E在-W之上不多，所得的结果，是早为我们所熟悉的。我们若近似地以q/r=0,即得 tg(qa) =∞ cot2 tg(qa) =∞ ctg2 tg(qa)tg2 =∞ 2 2 2 ћ π n E=-W+ 2 2ma 这和位能谷（8）的情形一样，然因谷壁的高度W有限，所以这结果并不严格正确，欲得E的正确数值，则需把等式（14）和（15）解开即得。从这个例子我们看到，对应原理的相积分方法（第23节）并不常常得出正确的E值。这是因为在位能谷的情形中，用相积分求得的E，如从谷底开始算起，完全与谷壁的高度没有关系，而薛定谔方程式告诉我们，E的数值与壁的高度有关。对于无限高的谷壁，用相积分求得的能量，才与用薛定谔方程式求得的一致。读者可以试一试就两级位能谷 （图40c，当0<x<a 时U=U ,当a <x<a +a 时U=U ,在此以外U为无限高) 1 1 1 1 2 2 的情形，取薛定谔方程式的结果与相积分的结果作一比较, [用不难明了的符号表之，由薛定谔方程式得q tg(q a )+q tg(q a )=0, 而相积分则给出q a +q a =πn] 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 图40d,e的情形，也是值得一算的，其中一个可视为分子中两个原子在振动的化身，另一个可视为一电子在双原子分子中运动的化身，为了不必作繁复的计算，对于40e的问题，不妨碍于对称的情形。利用逐段连续的位能，我们也能计算应用上重要的“隧道效应”。 这是这样一回事;一质点所所携带的动能虽小于位垒的位能，然而竟能穿过它。根据经典力学这是不可能的。我们一看下列位垒（图40f)： 0(x<0,a<x) U={ W(0<x<a) 在这三个区域内我们的解(假定0<E<W)是 x<0: 0<x<a; a<x; iqz -iqz rz -rz iq(z-a) u=Ae +Be u=Ce +De u=Fe 2mE 2m(W-E) q= q= ћ ћ 其中A项说明质点从左边跑来；B项说明它以一定的几率复向左走回；F项说明它以一定的 -qxz 几率通过位垒而向右继续前进，在a<x的地方，我们去掉e 一项，说明质点绝非从右边 -ra 跑来，在x=0与x=a两处的过度条件，如以简写e =γ代入，为 A+B=C+D C/γ+γD=F iq(A-B)=r(C-D) r(C/γ-γD)=iqf 经算出后得 F 4 2 = = A 2(1/γ+γ）+i(r/q-q/r)(1/γ-γ) 2cosh ra+i(r/q-q/r)sinh ra 我们更得质点能穿过位垒的几率 F*F 1 = A*A 2 2 1+(r/q+q/r) /4sinh ra 极阔的位垒（如果不是恰巧E≈W)，其意义就是sinh的数值极大，所以F*F≈0，质点将几乎肯定要被射回。位垒极狭，其意义就是sinh几等于零，所以F*F≈A*A，质点将几乎肯定能够穿过。如果现将位垒固定，而改变入射质点的动能E，使其从0变到W,则其能穿过 2 2 的几率，将从0增加到1/(1+q a /4)。对于位垒较阔、q与r的数量级相同的重要情形，我们得 F*F -2ra ≈4e A*A 第六部分 非内积空间 例1-4.已知质点A在平面XOY的位置是(x,y)，OA和X轴的夹角是w,则 x=Rcosw y=Rsinw } （1） 如图1所示，如果这个平面是笛卡尔平面，那么，它的x轴和y轴的夹角是90°，这个点A和原点O之间的距离是AO,AO=R， 2 2 2 x +y =R （2） 如图2所示，如果这个平面是非笛卡尔平面，那么，它的x轴和y轴的夹角不是90°，那么，它的x轴和y轴的夹角是θ，这个点A和原点O之间的距离是AO,AO=R， 作AB⊥OX，作AC∥OY,AC和X轴相交于C点，在三角形ABC中， AC=y, ∠ACB=180°-θ，AB=y*sin(180°-θ)=y*sin(-θ)， 在三角形ABO中， AO=R，OB=x,，AB=y*sin(180°-θ)=y*cosθ， 2 2 2 2 x +y *sin (-θ)=R （2） 2 2 2 2 x +y *sin θ=R 如图3所示, 如果这个平面是非笛卡尔平面，那么，它的x轴和y轴的夹角不是90°，那么，它的x轴和y轴的夹角是θ，这个点A和原点O之间的距离是AO,AO=R， 作AB⊥OY，作AC∥OX,AC和Y轴相交于C点，在三角形ABC中， AC=x,，∠ACB=180°-θ，AB=x*sin(180°-θ)=x*sin(-θ)，BC=x*cos(180°-θ)=x*cos(-θ)， 在三角形ABO中， AO=R，AB=x*sin(180°-θ)=x*sin(-θ)， 2 2 2 2 x *sin (-θ)+[y-x*cos(-θ)] =R 2 2 2 2 2 2 x *sin θ+y -2x*y*cosθ+x *cos θ=R 如图3所示，如果这个平面中的x轴和y轴相交，平面XOY就会变成一条直线OX,或OY，那么A就变成这条直线上的一点A,它的坐标为x,或y， 如图4所示，如果平面XOY中的X轴和Y轴的夹角变为360°，那么这个平面就会变成一个非内积的空间，就会重新出现一个坐标轴Z轴， 如图5所示，当上面的三维空间中三个坐标相互垂直时，所以，它是一个内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，那么这个空间就是希尔伯特空间。设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z)，A点到O点的距离是R， 2 2 2 2 R =x +y +z 如果三维空间XYZ的相互之间的夹角变为360°，那么这个三维空间就会变成一个非内积的四维空间，就会重新出现一个坐标轴J轴， 如图7所示，当上面的四维空间中四个坐标相互垂直时，所以，它是一个内积空间，同时当这个四坐标轴上的测度是存在的， 2 2 2 2 2 2 x *sin θ+y -2x*y*cosθ+x *cos θ=R 那么这个空间就是希尔伯特空间。设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z,j)，A点到O点的距离是R， 2 2 2 2 2 R =x +y +z +j 如图6所示，当上面的三维空间中三个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOX上面的投影是A```， 如图7所示，∠XOY=θ=∠X`OA`+∠Y`OA`，∠X`OA`=θ1，∠Y`OA`=θ2，θ=θ1+θ2，平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA`中，OA=x/cosθ1，X`A`=x*tgθ1， 平面AA`Y`垂直于坐标轴Y，在三角形Y`OA`中，OA=y/cosθ2，Y`A`=y*tgθ2， 直线AA`垂直于平面XOY，AA`=h`，在三角形A`X`A中， 2 2 2 AX` =h` +X`A` 2 2 2 AX` =h` +(x*tgθ1) （1） 在三角形AOA`中， 2 2 2 AO =h` +OA` 2 2 2 R =h` +(x/cosθ1) 2 2 2 h` =(x/cosθ1) -R （2） 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA中， 2 2 2 AX` =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h` +(x*tgθ1) 2 2 2 2 R =h` +(x*tgθ1) -x （4） 把(2)代入(4),得 2 2 2 2 2R =(x/cosθ1) +(x*tgθ1) -x 同理可证 2 2 2 2 2R =(y/cosθ2) +(y*tgθ2) -y 所以得到 2 2 2 2 2R =(x/cosθ1) +(x*tgθ1) -x 2 2 2 2 2R =(y/cosθ2) +(y*tgθ2) -y θ=θ1+θ2 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离 如图8所示，∠ZOY=θ=∠Z`OA`+∠Y`OA`，∠Y`OA`=θ3，∠Z`OA`=θ4，θ=θ1+θ2， 直线AA``垂直于平面ZOY，AA``=h``，同理可证 2 2 2 2 2R =(y/cosθ3) +(y*tgθ3) -y 2 2 2 2 2R =(z/cosθ4) +(z*tgθ4) -z θ=θ3+θ4 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离 如图9所示，∠ZOX=θ=∠Z`OA`+∠X`OA`，∠Z`OA`=θ5，∠X`OA`=θ6，θ=θ5+θ6， 直线AA```垂直于平面ZOX，AA```=h```，同理可证， 2 2 2 2 2R =(z/cosθ5) +(z*tgθ5) -z 2 2 2 2 2R =(x/cosθ6) +(x*tgθ6) -x θ=θ5+θ6 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图10所示，当上面的三维空间中三个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的，这三个坐标轴上面的测度是不相等的，就是说，x坐标轴上面的单位长度为a, y坐标轴上面的单位长度为b, z坐标轴上面的单位长度为c, 且a≠b≠c， 设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x/a,y/b,z/c)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOX上面的投影是A```， 如图11所示，∠XOY=θ=∠X`OA`+∠Y`OA`，∠X`OA`=θ1，∠Y`OA`=θ2，θ=θ1+θ2， 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA`中，OA=x/a*cosθ1，X`A`=x*tgθ1/a， 平面AA`Y`垂直于坐标轴Y，在三角形Y`OA`中，OA=y/b*cosθ2，Y`A`=y*tgθ2/b， 直线AA`垂直于平面XOY，AA`=h`，在三角形A`X`A中， 2 2 2 AX` =h` +X`A` 2 2 2 AX` =h` +(x*tgθ1/a) （1） 在三角形AOA`中， 2 2 2 AO =h` +OA` 2 2 2 R =h` +(x/a*cosθ1) 2 2 2 h` =(x/a*cosθ1) -R （2） 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA中， 2 2 2 AX` =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h` +(x*tgθ1/a) 2 2 2 2 R =h` +(x*tgθ1/a) -x （4） 把(2)代入(4),得 2 2 2 2 2R =(x/a*cosθ1) +(x*tgθ1/a) -x 同理可证 2 2 2 2 2R =(y/b*cosθ2) +(y*tgθ2/b) -y 所以得到 2 2 2 2 2R =(x/a*cosθ1) +(x*tgθ1/a) -x 2 2 2 2 2R =(y/b*cosθ2) +(y*tgθ2/b) -y θ=θ1+θ2， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图8所示，∠ZOY=θ=∠Z`OA`+∠Y`OA`，∠Y`OA`=θ3，∠Z`OA`=θ4，θ=θ1+θ2，直线AA``垂直于平面ZOY，AA``=h``，同理可证 2 2 2 2 2R =(y/b*cosθ3) +(y*tgθ3/b) -y 2 2 2 2 2R =(z/c*cosθ4) +(z*tgθ4/c) -z θ=θ3+θ4， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图9所示， ∠ZOX=θ=∠Z`OA`+∠X`OA`，∠Z`OA`=θ5，∠X`OA`=θ6，θ=θ5+θ6，直线AA```垂直于平面ZOX，AA```=h```，同理可证 2 2 2 2 2R =(z/c*cosθ5) +(z*tgθ5/c) -z 2 2 2 2 2R =(x/a*cosθ6) +(x*tgθ6/a) -x θ=θ5+θ6， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图12所示，当上面的四维空间中四个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个四坐标轴上的测度是存在的， 设A是这个四维空间中的一个点，它的坐标是(x,y,z,j)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOJ上面的投影是A```，A点在平面JOX上面的投影是A````， 如图12所示，∠XOY=θ=∠X`OA`+∠Y`OA`，∠X`OA`=θ1，∠Y`OA`=θ2，θ=θ1+θ2， 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA`中，OA=x/cosθ1，X`A`=x*tgθ1， 平面AA`Y`垂直于坐标轴Y，在三角形Y`OA`中，OA=y/cosθ2，Y`A`=y*tgθ2， 直线AA`垂直于平面XOY，AA`=h`，在三角形A`X`A中 2 2 2 AX` =h` +X`A` 2 2 2 AX` =h` +(x*tgθ1) （1） 在三角形AOA`中， 2 2 2 AO =h` +OA` 2 2 2 R =h` +(x/cosθ1) 2 2 2 h` =(x/cosθ1) -R （2） 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA中， 2 2 2 AX` =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h` +(x*tgθ1) 2 2 2 2 R =h` +(x*tgθ1) -x （4） 把(2)代入(4),得 2 2 2 2 2R =(x/cosθ1) +(x*tgθ1) -x 同理可证 2 2 2 2 2R =(y/cosθ2) +(y*tgθ2) -y 所以得到 2 2 2 2 2R =(x/cosθ1) +(x*tgθ1) -x 2 2 2 2 2R =(y/cosθ2) +(y*tgθ2) -y θ=θ1+θ2， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图13所示，∠ZOY=θ=∠Z`OA`+∠Y`OA`，∠Y`OA`=θ3，∠Z`OA`=θ4，θ=θ1+θ2， 直线AA``垂直于平面ZOY，AA``=h``，同理可证， 2 2 2 2 2R =(y/cosθ3) +(y*tgθ3) -y 2 2 2 2 2R =(z/cosθ4) +(z*tgθ4) -z θ=θ3+θ4， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图9所示，∠ZOJ=θ=∠Z`OA`+∠J`OA`，∠Z`OA`=θ5，∠J`OA`=θ6，θ=θ5+θ6， 直线AA```垂直于平面ZOJ，AA```=h```，同理可证， 2 2 2 2 2R =(z/cosθ5) +(z*tgθ5) -z 2 2 2 2 2R =(j/cosθ6) +(j*tgθ6) -j θ=θ5+θ6， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图9所示，∠JOX=θ=∠J`OA`+∠X`OA`，∠J`OA`=θ7，∠X`OA`=θ8，θ=θ7+θ8， 直线AA```垂直于平面JOX，AA```=h````，同理可证， 2 2 2 2 2R =(j/cosθ7) +(j*tgθ7) -j 2 2 2 2 2R =(x/cosθ8) +(x*tgθ8) -x θ=θ7+θ8， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图10所示，当上面的四维空间中四个坐标相互之间的夹角是θ，如果θ≠90°，那么这个空间是一个非内积空间，同时当这个三坐标轴上的测度是存在的， 这四个坐标轴上面的测度是不相等的，就是说，x坐标轴上面的单位长度为a, y坐标轴上面的单位长度为b, z坐标轴上面的单位长度为c, j坐标轴上面的单位长度为d, 且a≠b≠c≠d， 设A是这个三维空间中的一个点，它的坐标是(x/a,y/b,z/c,j/d)，A点到O点的距离是R，A点在平面XOY上面的投影是A`，A点在平面YOZ上面的投影是A``，A点在平面ZOJ上面的投影是A```，A点在平面JOX上面的投影是A````， 如图11所示，∠XOY=θ=∠X`OA`+∠Y`OA`，∠X`OA`=θ1，∠Y`OA`=θ2，θ=θ1+θ2， 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA`中，OA=x/a*cosθ1，X`A`=x*tgθ1/a， 平面AA`Y`垂直于坐标轴Y，在三角形Y`OA`中，OA=y/b*cosθ2，Y`A`=y*tgθ2/b， 直线AA`垂直于平面XOY，AA`=h`，在三角形A`X`A中， 2 2 2 AX` =h` +X`A` 2 2 2 AX` =h` +(x*tgθ1/a) （1） 在三角形AOA`中， 2 2 2 AO =h` +OA` 2 2 2 R =h` +(x/a*cosθ1) 2 2 2 h` =(x/a*cosθ1) -R (2) 平面AA`X`垂直于坐标轴X，在三角形X`OA中， 2 2 2 AX` =x +R （3） 把(3)代入(1),得 2 2 2 2 x +R =h` +(x*tgθ1/a) 2 2 2 2 R =h` +(x*tgθ1/a) -x （4） 把(2)代入(4),得 2 2 2 2 2R =(x/a*cosθ1) +(x*tgθ1/a) -x 同理可证 2 2 2 2 2R =(y/b*cosθ2) +(y*tgθ2/b) -y 所以得到 2 2 2 2 2R =(x/a*cosθ1) +(x*tgθ1/a) -x 2 2 2 2 2R =(y/b*cosθ2) +(y*tgθ2/b) -y θ=θ1+θ2 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图8所示，∠ZOY=θ=∠Z`OA`+∠Y`OA`，∠Y`OA`=θ3，∠Z`OA`=θ4，θ=θ1+θ2 注意，这里θ1，θ2，θ3，θ4都是代号，方便记录，θ后面的数字1，2，3，4不表示大小，它们是θ的下标号，只是方便记录。 直线AA``垂直于平面ZOY，AA``=h``，同理可证 2 2 2 2 2R =(y/b*cosθ3) +(y*tgθ3/b) -y 2 2 2 2 2R =(z/c*cosθ4) +(z*tgθ4/c) -z θ=θ3+θ4， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图9所示，∠ZOJ=θ=∠Z`OA`+∠J`OA`，∠Z`OA`=θ5，∠J`OA`=θ6，θ=θ5+θ6， 直线AA```垂直于平面ZOJ，AA```=h```，同理可证 2 2 2 2 2R =(z/c*cosθ5) +(z*tgθ5/c) -z 2 2 2 2 2R =(j/d*cosθ6) +(j*tgθ6/d) -j θ=θ5+θ6 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 如图9所示，∠XOJ=θ=∠X`OA`+∠J`OA`，∠J`OA`=θ7，∠X`OA`=θ8，θ=θ7+θ8， 直线AA```垂直于平面XOJ，AA```=h````，同理可证 2 2 2 2 2R =(j/d*cosθ7) +(j*tgθ7/d) -j 2 2 2 2 2R =(x/a*cosθ8) +(x*tgθ8/a) -x θ=θ7+θ8， 利用这个方程组可以通过坐标轴的夹角计算得到A到坐标原点的距离。 关于内积空间的测度相关理论可见《实变函数论》，商务印书馆1953年出版，И.П.那汤松著，徐瑞云译，上册60页 1.有界闭集的测度 在实变数函数论中点集的测度概念很是重要。它是线段的长，长方形的面积，以及六面体的体积等等这种概念的扩充。本章叙述勒贝格的线性测度，但是仅就线性有界集而言。由于闭集具有极简单的构造，所以我们从闭集说起。 黎曼积分的相关理论可参见《实变函数与泛函分析》，陕西科学技术出版社2005年出版，姚建武著，98页 5.1.1黎曼积分定义： 定义1：（确界式定义） 第七部分 割圆法 如图1所示，直线y=kx,(k∈R),是平面XOY上过原点的一条直线， 直线y=kx,(k∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，直线y=sx,(s∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，直线y=tx,(t∈R),是平面XOY上过原点的一条直线，总共有无数条这样过原点的直线，将平面XOY分割成无数条直线。换句话说，无数条这样过原点的直线就组成了一个平面XOY。 如图3所示，函数y=f(x)是平面XOY上面的一条曲线，点A,B,C分别是y=f(x)和直线y=tx,y=sx,y=kx的交点。作AA`⊥OX,BB`⊥OX,CC`⊥OX,A`,B`,C`是坐标轴x上一点，作AA``⊥OY,BB``⊥OY,CC``⊥OY,A``,B``,C``是坐标轴y上一点， 设A`O=p,B`O=1.00001p,C`O=1.00002p, ∠AOB=α,∠BOC=β, 作AA`⊥BB``于Q,作BB`⊥CC``于P, 因为C点在直线y=kx上， 所以so,C``O=k*C`O，C``O=1.00002pk，因为B点在直线y=sx上，所以,B``O=s*B`O，B``O=1.00001ps，因为C点在直线y=tx上，所以,A``O=t*A`O，A``O=pt， 在直角三角形APB中，AB=a,AP=c,BP=d, AP=A``O-B``O，c=pt-1.00001ps, BP=B`O-A`O, d=1.00001p-p=0.00001p, 根据勾股定理， 2 2 2 a =c +d 2 2 2 a =(pt-1.00001ps) +(0.00001p) 如图4所示，在三角形ABO中， 作AP`⊥BO，∠AOB=α,AO=i,AB=a,AP`=h,BP`=j,P`O=g,BO=v, 在直角三角形APB中， 2 2 2 AO =AA` +A`O 2 2 AO =t +1 2 2 i =t +1 在直角三角形BB`O中， 2 2 2 BO =BB` +B`O 2 2 BO =4s +4 2 2 v =4s +4 在直角三角形AP`O中， 2 2 2 i =h +g 在直角三角形AP`B中， 2 2 2 a =h +j 因为，g+j=v，所以，j=v-g， 2 2 2 h =-(v-g) +a 2 2 2 2 i =-(v-g) +a +g 2 2 2g+a -i -v=0 2 2 g=(i -a +v)/2 （1） 在直角三角形AP`B中，因为， 2 2 2 h =a -j j=v-g, 所以， 2 2 2 h =a -(v-g) 2 2 2 2 -v +2g-g +a -h =0 根据一元二次方程球根公式，解上面的方程，得 2 ax +bx+c=0 上面一元二次方程的求根公式是 2 -b± b -4ac 2a 解得 2 2 2 -2± 4+4(a -h -v ) g= -2 2 2 2 g=1± 1+(a -h -v ) 因为, 2 2 2 i =h +g 2 2 2 h =i -g 所以, 2 2 2 2 2 2 h = i -[1± 1+(a -h -v )] 2 2 2 2 2 2 2 2 h = i -[1±2 1+(a -h -v )+1+(a -h -v )]] 2 2 2 2 2 2 2 2 h - i +1+1+(a -h -v )=± 2 1+(a -h -v ) 2 2 2 2 2 2 2 (- i +2+a -v ) =4[1+(a -h -v )] 2 2 2 2 2 2 2 (- i +2+a -v ) -4-4a +4h +4v =0 根据一元二次方程球根公式，解上面的方程，得 2 ax +bx+c=0 上面一元二次方程的求根公式是 2 -b± b -4ac 2a 解得 2 2 2 2 2 2 0± 0+16[(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ] h= 8 2 2 2 2 2 2 ± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ] h= 2 在直角三角形AOB中，tgα=h/g, 因为, 2 2 2 2 2 2 ± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ] h= 2 2 2 g=(i -a +v)/2 所以, 2 2 2 2 2 2 ± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ] tgα= 2 2 i -a +v 因为, 2 2 2 a =(pt-1.00001ps) +(0.00001p) 2 2 i =t +1 2 2 v =4s +4 2 2 2 2 2 2 ± [(- i +2+a -v ) -4-4a +4v ] tgα= 2 2 i -a +v 2 2 2 2 2 2 2 ± [(- t +(pt-1.00001ps) +(0.00001p) -4s -3) -4(t-2s) +16s +8] tgα= 2 2 2 2 t -(pt-1.00001ps) -(0.00001p) +4s +5 当t=1.00001s时，上式化简为， 2 2 2 2 2 2 [(- 1.00001s +(p1.00001s-1.00001ps) +(0.00001p) -4s -3) -4-4(1.00001s-2s) +16s +8] tgα=± 2 2 2 2 1.00001s -(p1.00001s-1.00001ps) -(0.00001p) +4s +5 2 2 2 2 2 2 ± [(- 1.00001s +(0.00001p) -4s -3) -4-4(1.00001s-2s) +16s +8] tgα= 2 2 2 1.00001s -(0.00001p) +4s +5 如图5所示，根据空间向量减法定义，在平面坐标系XOY中存在A(a,b),B(c,d)两点。 AB =(a-c)i+(b-d)j 2 2 2 AB =(a-c) +(b-d) 如图6所示, AB=a, 2 2 2 a =(p-1.00001p) +(pt-1.00001ps) 2 2 a= 0.00001p +(pt-1.00001ps) 如图6所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2, 设弧上的单位弦长为γ，则 γ=θk/√2= πk/2√2, 上式中，k=1.1, 或 3 2 k=0.33α +0.5α +α+1 所以, y=f(x)=πka/2√2, 2 2 y=πk 0.00001p +(pt-1.00001ps) /2√2 当t=1.00001s时，上式化简为，y=0.00001πkps/2√2, s=2√2y/0.00001πkp, 因为, 2 2 2 2 2 2 ± [(- 1.00001s +(0.00001p) -4s -3) -4-4(1.00001s-2s) +16s +8] tgα= 2 2 2 1.00001s -(0.00001p) +4s +5 所以, 2 2 2 2 ± [(- 1.00001(2√2y/0.00001πkp) +(0.00001p) -4(2√2y/0.00001πkp) -3) -4 2 2 2 -4(1.00001-2) (2√2y/0.00001πkp) +16(2√2y/0.00001πkp) +8] tgα= 2 2 2 2 1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5 p是y=f(x)上面的点，当p=1时，上式可化简为， 2 2 2 2 ± [(- 1.00001(2√2y/0.00001πk) +(0.00001) -4(2√2y/0.00001πk) -3) 2 2 2 -4-4(1.00001-2) (2√2y/0.00001πk) +16(2√2y/0.00001πk) +8] tgα= 2 2 2 1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5 同理可证 2 2 2 2 ± [(- 1.00002(2√2y/0.00002πkp) +(0.00002p) -4(2√2y/0.00002πkp) -3) 2 2 2 -4-4(1.00002-2) (2√2y/0.00002πkp) +16(2√2y/0.00002πkp) +8] tgβ= 2 2 2 1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5 p是y=f(x)上面的点，当p=1时，上式可化简为， 2 2 2 2 ± [(- 1.00002(2√2y/0.00002πk) +(0.00002) -4(2√2y/0.00002πk) -3) 2 2 2 -4-4(1.00002-2) (2√2y/0.00002πk) +16(2√2y/0.00002πk) +8] tgβ= 2 2 2 1.00002(2√2y/0.00002πk) -(0.00002) +4(2√2y/0.00002πk) +5 y`=tgα+tgβ+...+tg(π/n), 2 2 2 2 ± [(- 1.00001(2√2y/0.00001πkp) +(0.00001p) -4(2√2y/0.00001πkp) -3) 2 2 2 -4-4(1.00001-2) (2√2y/0.00001πkp) +16(2√2y/0.00001πkp) +8] y= 2 2 2 1.00001(2√2y/0.00001πkp) -(0.00001p) +4(2√2y/0.00001πkp) +5 2 2 2 2 [(- 1.00002(2√2y/0.00002πkp) +(0.00002p) -4(2√2y/0.00002πkp) -3) 2 2 2 -4-4(1.00002-2) (2√2y/0.00002πkp) +16(2√2y/0.00002πkp) +8] ± 2 2 2 1.00002(2√2y/0.00002πkp) -(0.00002p) +4(2√2y/0.00002πkp) +5 2 2 2 2 [(- 1.0000(2√2y/0.0000πkp) +(0.0000p) -4(2√2y/0.0000πkp) -3) 2 2 2 -4-4(1.0000-2) (2√2y/0.0000πkp) +16(2√2y/0.0000πkp) +8] ± 2 2 2 1.0000(2√2y/0.0000πkp) -(0.000p) +4(2√2y/0.0000πkp) +5 如图1所示, 无数条直线y=x*tgθ将平面xoy分成无数个夹角为θ的直线。直线y=f(x)和无数条直线y=tgθ有无数条交点, 这些交点组成了函数y=f(x)，这些交点的坐标为(x,y),则 tgθ= y/x, x=tgθ/y, 解法一： 如图6所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2, 设弧上的单位弦长为γ，则 γ=θk/√2= πk/2√2, 上式中，k=1.1, 或 3 2 k=0.33α +0.5α +α+1 所以, η=πky/2√2, 上式中，k=1.1, 或 3 2 k=0.33θ +0.5θ +θ+1 所以, η=πkf(x)/2√2, 因为, x=tgθ/y, 所以, η=πkf(tgθ/y)/2√2, θ=π/n, 所以, η=πkf[tg(π/ny)]/2√2, ∞ ∞ ∞ ∑η=∑πkf(tgθ/y)/2√2=∑πkf[tg(π/ny)]/2√2 n=1 n=1 n=1 上式称为函数y=f(x)的变化程度大小衡量参数。用上式可以计算某个函数变化的程度大小。 解法二： 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 当45°<θ≤90°时 3 3 2 3 2 2 θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1 λ=θ- + - 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7 3 5 7 θ θ θ λ=θ- + - - 24 1920 80640 3 3 2 2n+1 θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1 λ=θ- + -…(-1) n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 当0<θ≤45°时 3 3 2 3 2 2 θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1 λ=θ+ + + 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7 3 5 7 θ θ θ λ=θ+ + + - 24 1920 80640 3 3 2 2n+1 θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1 λ=θ+ + +…+ n 4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1) 上式中,λ表示圆心角对应的弦，θ表示圆心角，所以, η=yλ, 3 5 7 π π π η=y(π- + - ) - 24 1920 80640 3 5 7 π π π η=f(x)(π- + - ) - 24 1920 80640 因为, x=tgθ/y, 所以, 3 5 7 π π π η=f(tgθ/y)(π- + - ) - 24 1920 80640 因为, θ=π/n, 所以, 3 5 7 π π π η=f(tg(π/ny))(π- + - ) - 24 1920 80640 3 5 7 π π π f`(w)= ∑η=∑f(tgθ/y)(π- + - ) - 24 1920 80640 3 5 7 π π π =∑f(tg(π/ny))(π- + - ) - 24 1920 80640 用上面的方法可以计算某些函数的近似导数，因为, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译, 推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著, 因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x, a=arctgy`,所以so sina d9cosa) f(x)= ∫tgada=∫ da=∫ =-lncosa+C cosa cosa 推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译, 9. ∫tanudu=logsec u+C 3 5 7 ∞ ∞ π π π ∫f`(w)= ∑ζ=∑f(logsecθ/y)(π- + - ) n=1 n=1 24 1920 80640 3 5 7 ∞ π π π ∑f(logsec(π/ny))(π- + - ) n=1 24 1920 80640 或者 3 5 7 ∞ ∞ π π π ∫f`(w)= ∑ζ=∑f(-lncosθ/y)(π- + - ) n=1 n=1 24 1920 80640 3 5 7 ∞ π π π ∑f(-lnsec(π/ny))(π- + - ) n=1 24 1920 80640 用上面的方法可以计算某些函数的近似积分， 如图1所示, 无数条直线y=x*tgθ将平面xoy分成无数个夹角为θ的直线。直线y=f(x)和无数条直线y=tgθ有无数条交点, 这些交点组成了函数y=f(x)，这些交点的坐标为(x,y),则 tgθ= y/x, x=tgθ/y, 如图6所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2, AB = π/2, θ= π/2, 设弧上的单位弦长为γ，则 γ=θk/√2= πk/2√2, 上式中，k=1.1, 或 3 2 k=0.33α +0.5α +α+1 所以, η=πkx/2√2, 上式中，k=1.1, 或 3 2 k=0.33θ +0.5θ +θ+1 因为, x=tgθ/y, η=2πktgθ/√2y, θ=π/n, 所以, η=2πktg(π/n)/√2y, ∞ ∞ ∞ ∑η=∑2πktgθ/√2y=∑2πktg(π/n)/√2y n=1 n=1 n=1 上式称为函数y=f(x)的变化程度大小衡量参数。用上式可以计算某个函数变化的程度大小。 例如: 2 y=f(x)=2x +3 η=2πktg(π/n)/√2y 2 η=2πktg(π/n)/√2(2x +3) 所以, ∞ ∞ 2 ∑η=∑2πktg(π/n)/√2(2x +3) n=1 n=1 ∞ 2 ∞ ∑η=2πk/√2(2x +3)∑tg(π/n) n=1 n=1  |
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