用正割对数计算微积分的方法4-人才求职-中国面包师贴吧/中国烘焙网贴吧/烘焙师招聘求职贴吧

第六部分三角函数的计算缀术

推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，

平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，切点在C点，AB垂直于X轴，AO与圆O交于F点，FG是圆O的切线，切点在F点，ED平行于FG,,D在直线AB上，FG平行于ED, ∠DOE=α,FG=ED，在直角三角形OED中，tgα=FG/FO，根据平面几何相关性质，可得，FG/FO=AD/BD，

AK是圆O的切线，切点在K点，AK垂直于Y轴，DH平行于AK，和Y轴交于H,，

因为，tgα=FG/FO，

FG/FO=AD/BD，ED=FG,

在三角形AED中，根据勾股定理，

AD=√2ED,

因为, AD=HK, HO=r-KH,

在三角形OHD中，根据勾股定理，

2 2 2

DO =DH +HO

DH=OC=r,

所以，

2 2 2

DO =r +(r-KH)

2 2 2

DO =r +(r-AD)

2 2 2

DO =r +(r-√2ED)

sinα=ED/DO,

因为 r=1,

2 2

DO =2-2√2ED+2ED

sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )

因为ED是弧的切弦，所以，也就是说，当60°<α≤90°时，切弦和其弧的比值是4/π，也就是说，当30°<α≤60°时，切弦和其弧的比值是3√3/π，也就是说，当0°<α≤30°时，切弦和其弧的比值是3√2/π，

ED≈4α/π,当60°<α≤90°时，

ED≈α3√3/π,当30°<α≤60°时，

ED≈α3√2/π,当0°<α≤30°时，

同时，切弦和其弧的比值是 tgα/α，ED =tgα/α,

sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )

sinα=tgα/α(2-4*2√2tgα/α+2(tgα/α) )

2 2

sinα=tgα/α(2-8tgα/α+2tg α/α )

2 2

cosαtgα=tgα/α(2-8tgα/α+2tg α/α )

2 2

cosα=1/α(2-8tgα/α+2tg α/α )

2 2

αcosα(2-8tgα/α+2tg α/α )=1

因为，

tgα=sinα/cosα，

2 2 2

tg α= (1-cos α)/cos α

2 2 2

tg α*cos α+cos α-1=0

2 2

(tg α+1)cos α-1=0

根据一元二次方程求根公式，得

ax +bx+c=0,

上面一元二次方程的求根公式是

-b± b -4ac

解方程，得

cosα= ± (tg α+1)

(tg α+1)

因为，

2 2

αcosα(2-8tgα/α+2tg α/α )=1

所以,

2 2 2 2 2

α cos α[(2-8tgα/α+2tg α/α ) ]=1

2 2 2 2 2

α [(2-8tgα/α+2tg α/α ) ]=tg α+1

4 4 3 3 2 2 2 2

4tg α/α -32tg α/α +72tg α/α -32tgα/α+4=αtg α+α

4 4 3 3 2 2 2 2

4tg α/α -32tg α/α +72tg α/α -32tgα/α+4-αtg α-α =0

4 3 2 2 3 4 5 2 6

tg α-8αtg α+18α tg α-8α tgα+α -α tg α/4-α /4=0

根据一元四次方程费拉里求根公式

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

4 2

x +px +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 4 3

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

解得,

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

解上面的关于tgα的一元四次方程式，得

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

tgα=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 4 3

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

2 5 3 4 6

a=-α, b=18α -α /4, c=8α , d=α -α /4,

第一种情况：

ED≈4α/π,当60°<α≤90°时，

sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )

sinα=4α/π(2-4*2√2α/π+2(4α/π) )

2 2

sinα=4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

2 2

cosα= 1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

2 2

4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

tgα=sinα/cosα=

2 2

1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

第二种情况：

ED≈α3√3/π,当30°<α≤60°时，

sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )

sinα=α3√3/π(2-2√2α3√3/π+2(α3√3/π) )

2 2

sinα=α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

2 2

cosα= 1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

2 2

α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

tgα=sinα/cosα=

2 2

1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

第三种情况：

ED≈α3√2/π,当0°<α≤30°时，

sinα=ED/(2-2√2ED+2ED )

sinα=α3√2/π(2-2√2α3√2/π+2(α3√2/π) )

2 2

sinα=α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

2 2

cosα= 1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

2 2

α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

tgα=sinα/cosα=

2 2

1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

因为,

sinα(2-2√2ED+2ED )-ED=0

2sinα-2√2EDsinα+2sinαED -ED=0

根据一元二次方程求根公式，得

ax +bx+c=0,

上面一元二次方程的求根公式是

-b± b -4ac

解方程，得

2 2

ED= 2√2sinα+1± (2√2sinα+1) -16sin α

4sinα

ED= 2√2sinα+1± -8sin α+4√2sinα+1

4sinα

因为ED是弧的切弦，所以，

α≈ED,

α≈ 2√2sinα+1± -8sin α+4√2sinα+1

4sinα

平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，OE垂直于AB，OE=r=1, ∠AOB=α,

所以根据平面几何相关知识，

当α=90°时，∠AOB=α=90°, BE=OE=r=1,

在三角形BEO中，根据勾股定理,

BO=√2EO=√2,

在三角形AEO中，根据勾股定理,

AO=√2EO=√2,

在三角形AOB中，根据勾股定理,

AB=√2AO=2,

DC和圆O交于D,EC和圆O交于E,

∠DOC=∠AOB=α=90°,

DC =π/2,

所以,

DC /AB=π/4

DC =AB*π/4

也就是说，当60°<α≤90°时，弧和其切弦的比值是π/4,

AB= DC 4/π

也就是说，当60°<α≤90°时，切弦和其弧的比值是4/π,

推导过程可参见《古今算学丛书，象数一原》，光绪戊戌六月算学书局印,

平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，AC垂直于X轴，AD是圆O的切线，AD垂直于Y轴，∠AOB=α, 所以根据平面几何相关知识，

当α=60°时，AC=DO=r=1,

设∠AOB=∠ABO=α, 在三角形OHD中，根据勾股定理,

AB=2/√3AC=2/√3,

OA和圆O交于E,OB和圆O交于F,

EF =π/3

EF /AB=π√3/6

EF =AB*π√3/6

也就是说，当30°<α≤60°时，弧和其切弦的比值是π√3/6,

AB= EF 3√3/π

也就是说，当30°<α≤60°时，切弦和其弧的比值是3√3/π,

如图4所示, 平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，AC垂直于X轴，AD垂直于Y轴，∠AOB=α, 所以根据平面几何相关知识，

当α=30°时，AC=r/2=1/2,,

在三角形ACB中，根据勾股定理

设∠ABC=45°，所以AB=1/√2,

OA和圆O交于E,OB和圆O交于F,

EF =π/6

EF /AB=π√2/6

EF =AB*π√2/6

也就是说，当0°<α≤30°时，弧和其切弦的比值是π√2/6

AB= EF 3√2/π

也就是说，当0°<α≤30°时，切弦和其弧的比值是3√2/π,

如图5所示, 平面XOY中，存在单位圆，它的半径r=1,圆心O点，AB是圆O的切线，OE垂直于AB，OE=r=1, ∠AOB=α,

所以根据平面几何相关知识，∠EOB=α/2,

在三角形BEO中，根据勾股定理

BE=tg(α/2), AB=tg(α/2),

OA和圆O交于D,OB和圆O交于C,

DC =α

所以,

DC /AB=α/tgα

DC =AB*α/tgα

也就是说，弧和其切弦的比值是α/tgα,

AB= DC tgα/α

也就是说，切弦和其弧的比值是 tgα/α,

第七部分三角函数的计算

下面介绍一种计算三角函数的方法，

如图1所示：在圆O中，圆O的半径是1，MN是单位圆上的1/4圆弧，

它的角度是90°，P是弧MN上任意一点，

过P点作PP`⊥OM,过P点作PP``⊥ON,

在直角三角形NP``P中，

∠NPP``=α，NP``=b,NP=c,PP``=e,

在直角三角形MP``P中，∠PMP`=β，PP`=a,MP=d,MP`=f,

在直角三角形NP``P中，

sinα=b/c,cosα=e/c,

2 2

sin α+cos α=1,

所以，

2 2

(b/c) +(e/c) =1

在直角三角形NP``P中，

sinβ=a/d,cosβ=f/d,

2 2

sin β+cos β=1,

所以，

2 2

(a/d) +(f/d) =1

因为，e=c*cosα,b=c*sinsα, a+b=1,e+f=1，

所以，

2 2

(1-e) (1-b)

+ =1

d d

2 2

(1-c*cosα) (1-c*cosα)

+ =1

d d

在圆弧MN上，c/d=β/α, α+β=π/2,

所以, d=αc/β=αc/(π/2-α),

2 2

(1-c*cosα) (1-c*cosα)

+ =1 (1)

αc/(π/2-α) αc/(π/2-α)

如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2,

AB = π/2, θ= π/2,

设弧上的单位弦长为γ，则

γ=kθ/√2= πk/2√2,

上式中，k=1.1,

或,

3 3

k=0.33α +0.5α +α+1

所以, c=πkα/2√2,

上式中，k=1.1,

或,

3 3

k=0.33α +0.5α +α+1

(1)可以化简为

2 2 2

(1-πkα*cosα/2√2) (1-πkα*sinα/2√2)

+ =1 (1)

απkα/2√2(π/2-α) απkα/2√2(π/2-α)

2 2

1-πkα*cosα/√2+(πkα*cosα/2√2) +1-πkα*sinα/√2+(πkα*sinα/2√2)

=α πk/2√2(π/2-α)

2 2

2-πkα(cosα+sinα)/√2 +(πkα/2√2) =α πk/2√2(π/2-α) (2)

因为,

(cosα+sinα)*√2/2=cosα*sin(π/4)+sinα*cos(π/4)=sin(α+π/4),

cosα+sinα=2sin(α+π/4)/√2,

(cosα+sinα)*√2/2=cosα*sin(π/4)+sinα*cos(π/4)=cos(α-π/4),

cosα+sinα=2cos(α-π/4)/√2

(2)可以化简为,

2 2

2-πkαsin(α+π/4) +(πkα/2√2) -α πk/2√2(π/2-α)=0

sin(α+π/4)=-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α),

α=arcsin[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4, (3)

tgα=tg{arcsin[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4},

(2)可以化简为,

2 2

2-πkαcos(α-π/4) +(πkα/2√2) -α πk/2√2(π/2-α)=0

cos(α-π/4)=-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α),

α=arccos[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]+π/4 (4)

tgα=tg{arccos[-2/πkα -πkα/8+α/2√2(π/2-α)]+π/4}

在直角三角形PP`M中，sinα=b/c,cosα=e/c,

2 2

sin α+cos α=1,

所以,

2 2

(b/c) +(e/c) =1

在直角三角形NP``P中，sinβ=a/d,cosβ=f/d,

2 2

sin β+cos β=1,

所以,

2 2

(a/d) +(f/d) =1

因为, f=d*cosβ,a=d*sinβ, a+b=1,e+f=1,

所以,

2 2

(1-a) (1-f)

+ =1

c c

2 2

(1-d*sinβ) (1-d*cosβ)

+ =1

c c

在圆弧MN上，c/d=β/α, α+β=π/2,

所以, c=βd/α=βd/(π/2-β),

2 2

(1-d*sinβ) (1-d*cosβ)

+ =1

βd/(π/2-β) βd/(π/2-β)

如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2,

AB = π/2, θ= π/2,

设弧上的单位弦长为γ，则

γ=θk/√2= πk/2√2,

上式中，k=1.1,

或,

3 2

k=0.33α +0.5α +α+1

所以, d=πkβ/2√2,

上式中，k=1.1,

或,

3 2

k=0.33β +0.5β +β+1

(1)可以化简为

2 2 2

(1-πkβ*cosβ/2√2) (1-πkβ*cosβ/2√2)

+ =1 (1)

βπkβ/2√2(π/2-β) βπkβ/2√2(π/2-β)

2 2

1-πkβ*cosβ/√2+(πkβ*cosβ/2√2) +1-πkβ*sinβ/√2+(πkβ*sinβ/2√2)

=β πk/2√2(π/2-β)

2 2

2-πkβ(cosβ+sinβ)/√2 +(πkβ/2√2) =β πk/2√2(π/2-β) (2)

因为,

(cosβ+sinβ)*√2/2=cosβ*sin(π/4)+sinβ*cos(π/4)=sin(β+π/4),

cosβ+sinβ=2sin(β+π/4)/√2,

(cosβ+sinβ)*√2/2=cosβ*sin(π/4)+sinβ*cos(π/4)=cos(β-π/4),

cosβ+sinβ=2cos(β-π/4)/√2,

(2)可以化简为

2 2

2-πkβsin(β+π/4) +(πkβ/2√2) -β πk/2√2(π/2-β)=0

sin(β+π/4)=-2/πkβ -πkβ/8+β/2√2(π/2-β),

β=arcsin[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]-π/4,

tgβ=tg{arcsin[-2/πkβ -πkβ/8+β/2√2(π/2-β)]-π/4},

(2)可以化简为,

2 2

2-πβcos(β-π/4) +(πβ/2√2) -β π/2√2(π/2-β)=0

cos(β-π/4)=-2/πkβ -πkβ/8+α/2√2(π/2-β),

β=arccos[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]+π/4 (4),

tgβ=tg{arccos[-2/πkβ -πkβ/8+β/2√2(π/2-β)]+π/4},

在图1中，因为

NP + MP =π/2

所以,

cosα+cosβ=r,sinα+sinβ=r,

α+β=π/2,

α=arcsin[-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4,

β=arcsin[-2/πβ -πβ/8+αβ/2√2(π/2-β)]-π/4

arcsin[-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)]-π/4+arcsin[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]-π/4=π/2,

arcsin[-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)]=arcsin[-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)]

-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)=-2/πβ -πβ/8+β/2√2(π/2-β)

-2/πα -πα/8+α/2√2(π/2-α)=-2/[π(π/2-α)] -π(π/2-α)/8+(π/2-α)/2√2α

2 2 2 2

-2(π/2-α)/π –πα (π/2-α)/8+α /2√2=-2α/π-π(π/2-α) α/8+(π/2-α) /2√2

3 2 2 3 4 2

-1+2α/π-π α /16+π α /8-πα /8+α /2√2

3 2 2 3 2 2

=-2α/π-π α/32+α π /8-πα /8+π /8√2-πα/2√2+α /2√2

4 2 3 3 2 2 3

πα /8+(-π /8-π/8)α +(π /16+π /8)α +(-2/π-2/π -π /32-π/2√2)α+1

+π /8√2=0

这样就得到一个关于α的一元四次方程式，

根据一元四次方程费拉里求根公式

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

4 2

x +px +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 4 3

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

解得,

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

解下面的一元四次方程

4 2 3 3 2 2 3

πα /8+(-π /8-π/8)α +(π /16+π /8)α +(-2/π-2/π -π /32-π/2√2)α+1

+π /8√2=0

2 3 2

-π /8-π/8 π /16+π /8

a= , b= ,

π/8 π/8

3 2

-2/π-2/π -π /32-π/2√2 1+π /8√2

c= =

π/8 π/8

2 4 3 3 2

h=-a/4, p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, y=x-a/4, q=4h +3ah +c

解得,

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

如图3所示，MN是单位圆的一段弧长，单位圆O的半径r=1,

NN`⊥ON`,MM`⊥OM`, NN`⊥MM`,垂足是P, MP=a,NP=b,∠MON=α，MN=c，

a,b在半径上的长度随α发生变化而变化，二者存在比例关系。所以,

k*r/a=π/2α, a=b, r=1, k/a=π/2α, k=1.3, 或

3 2

k=0.33α +0.5α +α+1

在直角三角形NPM中，根据勾股定理

2 2 2

a +b =c

2 2

2a =c

a=c/√2, √2k/c=π/2α, c=2√2kα/π,

在三角形MNC中，NN`⊥MO,∠NOM=α，NO=e=r=1,NN`=d,MN=c, MN`=f,N`O=g,

d=r*sinα,

c=d/sin(π/2-α/2)=r*sinα/sin(π/2-α/2),

因为, sin(π/2-α/2)=cos(α/2),

sinα=2sin(α/2)cos(α/2),

2r*sin(α/2)cos(α/2)

cos(α/2)

c=2r*tg(α/2), c=2√2kα/π, 2√2kα/π=2r*tg(α/2), tg(α/2)=√2kα/πr

因为r=1, tg(α/2)=√2kα/π, tgα=2√2kα/π,

上式中，k=1.3, tg40°=tg0.698132=0.8391,

tg0.698132=2*1.414*0.698132*1.3/3.14=0.81739,

解法2:

如图2所示，在1/4圆弧中，AO=BO=1,AB=√2,

AB = π/2, θ= π/2,

设弧上的单位弦长为γ，则γ=θk/√2= πk/2√2,

上式中，k=1.1, 或,

3 2

k=0.33α +0.5α +α+1

所以, c=πkα/2√2, πkα/2√2=2r*tg(α/2), tg(α/2)=πkα/4√2,

tgα=πkα/2√2,

上式中，k=1.3,

tg40°=tg0.698132=0.8391,

tg0.698132=3.14159*1.1*0.698132/2*1.414=0.8531,

解法3:

当45°<θ≤90°时,

3 3 2 3 2 2

θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1

λ=θ- + -

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7

3 5 7

θ θ θ

λ=θ- + - -

24 1920 80640

3 3 2 2n+1

θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1

λ=θ- + -…(-1) n

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1)

当0<θ≤45°时

3 3 2 3 2 2

θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1

λ=θ+ + +

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7

3 5 7

θ θ θ

λ=θ+ + + -

24 1920 80640

3 3 2 2n+1

θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1

λ=θ+ + +…+ n

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1)

所以,

3 5 7

α α α

c=α+ + + -

24 1920 80640

3 5 7

α α α

2r*tg(α/2)=α+ + + -

24 1920 80640

3 5 7

α α α α

tg(α/2)= + + + -

2 24 1920 80640

3 5 7

2α 16α 64α 256α

tgα= + + + -

2 48 3840 161280

3 5 7

α α α

tgα=α+ + + -

3 60 630

tg40°=tg0.698132=0.8391,

3 5 7

0.698132 0.698132 0.698132

0.698132+ + + -

3 60 630

tg40°=tg0.698132=0.698132+0.11342045376+0.00276399005+0.0001282987=0.81444474251

推导过程参见《割圆八线缀术》，清同治十二年荷池精舍出版，吴嘉善，徐有壬在长沙编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《测圆海镜细州》，清同治十二年荷池精舍出版，金李治1248年编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,

如图8所示，在单位圆O中，半径r=1, 弧MN在单位圆上面,P是弧MN上任意一点，

MM`⊥OM`,PP`⊥OP`,NN`⊥ON`,MM``⊥OM``,PP``⊥OP``,NN``⊥ON``,

MM``和PP`相交于Q`点，NN`和PN``相交于Q``点，在直角三角形PQ`M中，

∠PMQ`=α，MP=a,PQ`=d,MQ`=c,

在直角三角形PQN中，∠NPQ=β，NP=b,PQ=e,NQ=f,

因为a在单位圆上面对应的弧长不断变化，因为c在半径OM`上的投影M`P`不断变化，因为d在半径ON``上的投影M``N``不断变化，因为b在单位圆上面对应的弧长不断变化，

因为e在半径OM`上的投影P`N`不断变化，因为f在半径ON``上的投影N`S不断变化，

根据上图的几何关系可知,

sinα-sinβ=-m(a-b),

当β=90°, sinβ=1,b=2,

所以, sinα-1=-m(a-2), sinα=-m(a-2)+1,

上式中，m=1.3, 或,

3 2

m=0.33α +0.5α +α+1

例如：

sin40°=sin0.698132=0.6428,

sin0.698132=-1.3*(0.698132-2)+1=0.692428,

根据上图的几何关系可知,

sinα-sinβ=-m(a-b),

当β=0°, sinβ=0,b=0,

所以,

sinα-0=m(a-0), sinα=ma,

上式中，m=1.3, 或,

3 2

m=0.33α +0.5α +α+1

例如：

sin40°=sin0.698132=0.6428,

sin0.698132=0.9*0.698132=0.62831,

根据上图的几何关系可知,

cosα-cosβ=-n(a-b),

当β=90°, cosβ=0,b=2,

所以, cosα-0=-n(a-2), cosα=-n(a-2),

上式中，n=0.6, 或,

3 2

n=0.33α +0.5α +α+1

例如：

cos40°=cos0.698132=0.7660,

cos0.698132=-0.6*(0.698132-2)=0.7811208,

根据上图的几何关系可知,

cosα-cosβ=-n(a-b),

当β=0°, cosβ=1,b=0,

所以, cosα-1=-n(a-0), cosα=-na+1,

上式中，n=0.3, 或,

3 2

n=0.33α +0.5α +α+1

例如：

cos40°=cos0.698132=0.7660,

cos0.698132=-0.3*0.698132+1=0.79056,

所以, tgα=sinα/cosα,

因为, sinα=-m(a-2)+1, cosα=-n(a-2),

所以,

-m(a-2)+1 m(a-2)-1

tgα=sinα/cosα= =

-n(a-2) n(a-2)

上式中，m=1.3, 或,

3 2

m=0.33α +0.5α +α+1

上式中，n=0.6, 或,

3 2

m=0.33α +0.5α +α+1

例如：

tg40°=tg0.698132=0.8391,

sin0.698132=0.9*0.698132=0.62831,

cos0.698132=-0.6*(0.698132-2)=0.7811208,

tg0.698132=0.62831/0.7811208=0.80436,

第八部分数学拾遗通弦

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》

如图，八线二，通弦为线段己丙，它对应的通弧为弧己丙。它对应的矢是丙庚,丙庚=versinθ=1-cosθ, 角己甲丙=θ，线段己丙=λ，

通弧求通弦，法如弧求正弦，通弧求矢，法如弧求正矢，通弦求通弧法，如正弦求弧，皆以连比例第三率，四除之，以为每次所用之第三率。

设如，通弦六十度，半径一千万，求通弦，法以六十度，弧本数一千零四十七万一千九百七十五，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百八十七万零九百五十一，为第四率，二除之，三除之，得四十七万八千四百九十一，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十三万一千一百八十一，为第六率，四除之，五除之，得六千五百五十九，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一千七百九十三，为第八率，六除之，七除之，得四十二，为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一千万，即六十度通弦也。

a第一条θ=1.0471975 a=θ,

b一率r=1 b=θr,

c二率 θ=1.0471975 c=θ,

2 2

d三率 θ /4*1=0.274155651 d=c /4,

e四率0.274155651*1.0471975/1=0.287095112 e=a*d/r

f第二条0.287095112/6=0.047849185 f=e/2*3

g六率 0.047849185*0.274155651/1=0.013118124 g=fd/r

h第三条0.013118124/4*5=0.0006559062285 h=g/4*5

i八率0.0006559062285*0.274155651=0.0001798203991 i=h*d/r

j第四条0.0001798203991/6*7=0.000004281438073 j=i/6*7

x=a+h-f-j=θ+g/4*5-e/2*3-i/6*7

=1.0471975+0.0006559062285-0.047849185-0.000004281438073=0.994777439

当45°<θ≤90°时,

3 3 2 3 2 2

θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1

λ=θ- + -

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7

3 5 7

θ θ θ

λ=θ- + - -

24 1920 80640

3 3 2 2n+1

θ 1 θ θ 1 1 n θ 1 1 1

λ=θ- + -…(-1) n

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1)

当0<θ≤45°时

3 3 2 3 2 2

θ 1 θ θ 1 1 θ θ θ 1 1 1

λ=θ+ + +

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7

3 5 7

θ θ θ

λ=θ+ + + -

24 1920 80640

3 3 2 2n+1

θ 1 θ θ 1 1 θ 1 1 1

λ=θ+ + +…+ n

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1)

设如，通弦一千万为第一条，半径一千万，为第一率，通弦为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百五十万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二百五十万，为第四率，二除之，三除之，得四十一万六千六百六十六（小于六六），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十万零四千一百六十六（小于六六），为第六率，九乘之，四除之，五除之，得四万六千八百七十五，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万一千七百一十八（小于七五），为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六千九百七十五（小于四四），为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千七百四十三（小于八六），为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一千一百八十六（小于七九），为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二百九十六（小于六九），为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得二百一十八（小于四七），为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得五十四（小于六一），为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得四十二（小于三六），为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得一十零（小于五九），为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得八（小于五二），为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得二（小于一三），为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得一（小于七六），为第九条，诸条相并，得一千零四十七万一千九百七十五，即六十度通弧本数也。

θ=1.0471975, θ=60°

a第一条λ=1 a=λ

b一率r=1 b=r

c二率λ=1 c=1

2 2

d三率λ /4*1=1/4=0.25 d=λ /4

e四率0.25*1/1=0.25 e=λ*d/r

f第二条0.25/2*3=0.041666666 f=e/2*3

g六率0.041666666*0.25=0.010416666 g=fd/r

h第三条0.010416666*9/4*5=0.0046875 h=9*g/4*5

i八率0.0046875*0.25=0.001171875 i=h*d/r

j第四条0.001171875*25/6*7=0.0006975446428 j=25i/6*7

k十率0.0006975446428*0.25=0.0001743861607 k=j*d/r

m第五条0.0001743861607*49/8*9=0.0001186794705 m=49*k/8*9

n十二率0.0001186794705*0.25=0.00002966986762 n=m*d/r

o第六条0.00002966986762*81/10*11=0.00002184781161 o=81*n/10*11

p十四率0.00002184781161*0.25=0.000005461952903 p=o*d/r

q第七条0.000005461952903*121/12*13=0.000004236514752 q=121p/12*13

s十六率0.000004236514752*0.25=0.000001059128688 s=q*d/r

t第八条0.000001059128688*168/14*15=0.0000008523464203 t=169s/14*15

u十八率0.0000008523464203*0.25=0.0000002130866051 u=t*d/r

v第九条0.0000002130866051*225/16*17=0.0000001762664932 v=225u/16*17

θ=a+f+h+j+m+o+q+t+v

=λ+e/2*3+25i/6*7+49k/8*9+81n/10*11+121p/12*13+169s/14*15+225u/16*17=

=1+0.041666666+0.0046875+0.0006975446428+0.0001186794705+0.00002184781161

+0.000004236514752+0.0000008523464203+0.0000001762664932

=1.048265618

θ=60°

3 3 2 3 2 2

λ 1 λ λ 1 9 λ λ λ 1 9 25

θ=λ+ + +

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 4 4 2*3 4*5 6*7

3 2 2 2

λ λ λ λ 1 9 25 49

4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9

3 2 2 2 2

λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81

4 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 10*11

3 2 2 2 2 2

λ λ λ λ λ λ 1 9 25 49 81 121

4 4 4 4 4 4 2*3 4*5 6*7 8*9 10*11 12*13

当0<θ≤45°时

3 5 7 9

λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025

θ=λ+ + + +

4 6 16 120 32 5040 64 362880

11 13 15

λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823

+ +

128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900

3 3 2 2n+1

λ 1 λ λ 1 9 λ 1 3*3*4*4*...*(2n+1)(2n+1)

θ=λ+ + +…+ n

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1)

当0<θ≤45°时

3 5 7 9

λ 1 λ 9 λ 225 λ 11025

θ=λ- + - +

4 6 16 120 32 5040 64 362880

11 13 15

λ 893025 λ 108056025 λ 1826146823

- + -

128 39916800 512 6227020800 2048 13167436900

3 3 2 2n+1

λ 1 λ λ 1 9 n λ 1 3*3*4*4*...*(2n+1)(2n+1)

θ=λ+ + +…+(-1) n

4 2*3 4 4 2*3 4*5 4 2*3 4*5...*(2n+1)

π的计算,

圆径求周，以全径（半径即六十度弧之通弧，全径为六十度弧通弦者二）三因之（为六十度通弦者六）为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，为第六条，以后例推除至，单位而至，以逐条相并，即圆周也。

设如，全径一千万，求圆周。

法以全径一千万，三因之，得三千万，为第一条，以第一条，四除之，又二除之，三除之，得一百二十五万，为第二条，以第二条，九乘之，四除之，又四除之，五除之，得一十四万零六百二十五，为第三条，以第三条，二十五乘之，四除之，又六除之，七除之，得二万零九百二十六（小于三三），为第四条，以第四条，四十九乘之，四除之，又八除之，九除之，得三千五百六十零（小于三八），为第五条，以第五条，八十一乘之，四除之，又十除之，十一除之，得六百五十五（小于四三），为第六条，以第七条，一百六十九乘之，四除之，又十四除之，十五除之，得二十五（小于五七），为第八条，以第八条，二百二十五乘之，四除之，又十六除之，十七除之，得五（小于二八），为第九条，以第九条，二百八十九乘之，四除之，又十八除之，十九除之，得一（小于一一），为第十条，以十条相并，得三千一百四十一万五千九百二十六，即圆周。

a第一条3r=1*3=3 a=3r

b第二条3/4*2*3=0.125 b=a/4*2*

c第三条0.125*9/4*4*5=0.0140625 c=9b/4*4*5

d第四条0.0140625*25/4*6*7=0.002092633929 d=25c/4*6*7

e第五条0.002092633929*49/4*8*9=0.0003560384115 e=49d/4*8*9

f第六条0.0003560384115*81/4*10*11=0.00006554343484 f=81e/4*10*11

g第七条0.00006554343484*121/4*12*13=0.00001270954426 g=121f/4*12*13

h第八条0.00001270954426*169/4*14*15=0.0000002557039262 h=169g/4*14*15

i第九条0.0000002557039262*225/4*16*17=0.00000005287994797 i=225h/4*16*17

j第十条0.00000005287994797*289/4*18*19=0.00000001117127556 j=289i/4*18*19

π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j

=3r+a/4*2*3+9b/4*4*5+25c/4*6*7+49d/4*8*9+81e/4*10*11+121f/4*12*13+169g/4*14*15+225h/4*16*17+289i/4*18*19

=3+0.125+0.0140625+0.002092633929+0.0003560384115+0.00006554343484+0.00001270954426+0.0000002557039262+0.00000005287994797+0.00000001117127556

=3.141592522

3r 3r 25 3r 25 49

π=3r+ + +

4*2*3 4*2*3 4*6*7 4*2*3 4*6*7 4*8*9

3r 25 49 81

4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11

3r 25 49 81 169

4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15

3r 25 49 81 169 225

4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*17

3r 25 49 81 169 225 289

4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*10*11 4*14*15 4*16*17 4*18*19

3r 3r 25 3r 25 49 (2n+1)

π=3r+ + + +…+

4*2*3 4*2*3 4*6*7 4*2*3 4*6*7 4*8*9 4*2*3 …*4*2n*(2n+1)

此六通弦，求六通弧也，其不用连比例者，六十度通弦与半径等，则每率皆等无用比例也，

每条多，一四除之者，即不用连比例，则第三率之四除以，为每次第三率者，分用于每条中也，盖求通弦，通弧之于第三率，先用四除原，即每条各用之四除，总用之于第三率也。以上诸法，无论弧之大小，按法求之，皆得真数，若弧过六十度者，可以余弧求得，余弦乃用勾股法求得，正弦，若弧在三十度以外，至六十度者，求之之条数，渐多，尚若其繁，则又有借弧借弦之法。

求周径密率捷法，译西士杜德美法。

割圆旧术，屡求勾股至精至密，但开数十位之方，非旬日不能辩，今以圆内六等边，别立乘除之数，以求之得之，顷刻与屡求勾股者无异，故称捷焉。

先将一三五七九等数，各自乘为屡次乘数，如一自乘仍得一，为第一乘数，三自乘得九，为第二乘数，以至二十三自乘，得五百二十九，为第十二乘数，又将二三四五六七八九等数，以挨次两位相乘，又以四乘之，为屡次除数。

如二三相乘，得六，以四除之，得二十四，为第一除数，四五相乘，得二十，以四乘之，得八十，为第二除数，以至二十四与二十五相乘，得六百，以四乘之，得二千四百，为第十二除数。

设径二十亿，求周（径位愈多，尾数愈密，兹以十位为例）, 法以径二十亿，三因之，得六十亿（即圆内六边形），为第一数，为实以第一乘数乘之，（一乘其数不变），第一除数（二十四）除之，得二五零零零零零零零，为第二数，又为实以第二乘数（九）乘之，第二除数八十除之，得二八一二五零零零，为第三数，累次乘除至所得一位为止，（去单位以下之零数不用）, 乃并之，得六二八三一八五二九九，即所求二十亿之周也。

a第一数3r=2*3=6

b第二数6*1/24=0.25

c第三条0.25*9/80=0.028125

d第四条0.028125*25/168=0.004185267857

e第五条0.028125*49/288=0.0007120768229

f第六条0.0007120768229*81/440=0.0001310868697

g第七条0.0001310868697*121/624=0.00002541908851

h第八条0.00002541908851*169/840=0.000005114078522

i第九条0.000005114078522*225/1088=0.000001057598959

j第十条0.000001057598959*289/1368=0.0000002234255111

k第十一条0.0000002234255111*316/1680=0.00000004800988661

m第十二条0.00000004800988661*441/2064=0.00000001025792635

n第十三条0.00000001025792635*529/2400=0.00000002261017934

2π=a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+m+n=6+0.25+0.028125+0.004185267857+0.0007120768229

+0.0001310868697+0.00002541908851+0.000005114078522+0.000001057598959

+0.0000002234255111+0.00000004800988661+0.00000001025792635+0.00000002261017934

=6.283022345

3r 3r 9 3r 9 25

π=3r+ + +

24 24 80 24 80 168

3r 9 25 49

24 80 168 288

3r 9 25 49 81

24 80 168 288 440

3r 9 25 49 81 121

24 80 168 288 440 624

3r 9 25 49 81 121 169

24 80 168 288 440 624 840

3r*1*1 3r*1*1 3*3 3r*1*1 3*3 5*5

π=3r+ + + +…+

2*3*4 2*3*4 4*5*4 2*3*4 4*5*4 6*7*4 (n+1)(n+2)*4

3r*n*n (n+2)(n+2) (n+4)(n+4) (n+2k)(n+2k)

+…+

(n+1)(n+2)*4 (n+3)(n+4)*4 (n+5)(n+6)*4 (n+k+1)(n+k+2)*4

论曰，乘除俱至单位止，今设十位之径，须乘除十二次，始至单位，若位数多，则所用乘除之数，必须按位增加也。

弧线表

度、分、秒化弧度表

度

1，0.017453292519943

2，0.034906585039886

3，0.052359877559829

4，0.069813170079773

5，0.087266462599716

6，0.104719755119659

7，0.122173047639603

8，0.139626340159546

9，0.15709632679489

10，0.174532925199432

分

1，0.000290888208665

2，0.000581776417331

3，0.000872664625997

4，0.001163552834662

5，0.001454441043328

6，0.001745329251994

7，0.002036217460660

8，0.002327105669325

9，0.002617993877991

10，0.002908882086657

秒

1，0.000004848136811

2，0.000009696273623

3，0.000014544410432

4，0.000019392547244

5，0.000024240684055

6，0.000029088820866

7，0.000033936957677

8，0.000038785094488

9，0.000043633221299

10，0.000048481368111

注：90°=1.570796226794896，

59°=5*0.174532925199432+9*0.017453292519943=1.029744258，

立表之法

置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。

求弦矢捷法

弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。

设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，

21°19`51``=0.34906585+0.01745329+0.0029088+0.00261799+0.0002424+0.0000484

=0.37229325

法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）

21°19`51``=0.37229325

a第一数0.37229325*0.37229325=0.138602264 a=θ

b第二数0.138602264*0.37229325/6=0.008600114554 b=θ /6

c第三数0.008600114554*0.138602264/20=0.00005959976739 c=ab/20

d第四条0.00005959976739*0.138602264/42=0.0000001966824451 d=ac/42

sin0.37229325

=0.37229325+0.0005959976739-0.008600114554-0.0000001966824451=0.364288936

3 3 2 3 2 2 3 2 2

θ θ θ θ θ θ θ θ θ

sinθ=θ- + - +...-(-1) …

2*3 2*3 4*5 2*3 4*5 6*7 (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)..(n+k)(n+k+1)

16°27`43``=0.17453292519+0.10471975511+0.0581776417+0.203621746+0.0019392547+0.0001454441=0.28731513181

法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。

16°27`43``=0.28731513181,

a第一数0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497 a=θ

b第二数0.28731513181*0.08254998497/6=0.00395297664 b=θ /6

c第三数0.00395297664*0.08254998497/20=0.00001631591 c=ab/20\

d第四条0.00001631591*0.08254998497/42=0.00000003207 d=ac/42

sin0.28731513181=0.08254998497+0.00001631591-0.00395297664-0.00000003207

=0.283378439

第八部分惠更斯公式和契贝塞夫法则

如图1所示在单位圆O中，圆O的半径是1，AB是圆O上的一段弧，OM是角AOB的角平分线，OM和圆O交于M，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N，L在OM的延长线上，

∠AOB=α，

NL=MN

根据契贝塞夫法则，

AB =AL+BL=2AL

AN=sinα,，NO=cosα,，MN=1-cosα,，

根据契贝塞夫法则，

LN=MN√4/√3=(1-cosα)√4/√3,，

在直角三角形ANL中，根据勾股定理，

2 2 2

AL =AN +LN

2 2 2

AL =sin α+4(1-cosα) /3,

因为ALB是等腰三角形，所以AL=BL，

2 2 2

BL =sin α+4(1-cosα) /3,

根据契贝塞夫法则，α≈AL+BL

所以，

2 2

α≈2 sin α+4(1-cosα) /3,

2 2 2

α ≈4sin α+4(1-cosα) /3,

2 2 2

3α ≈12sin α+4(1-cosα) ,

2 2 2

3α ≈12sin α+4-8cosα+4cos α ,

2 2

3α ≈8sin α+8-8cosα

2 2

3α ≈8(1-cos α)+8-8cosα

2 2

3α ≈16-8cos α-8cosα

2 2

8cos α-8cosα-3α +16=0

根据一元二次方程求根公式，得

ax +bx+c=0,

上面一元二次方程的求根公式是

-b± b -4ac

解方程，得

8± 64-32(-3α +16)

cosα

2± 4-2(-3α +16)

cosα=

2± 4-2(-3α +16) 2

sinα= 1-[ ]

2 2

4±2 4-2(-3α +16) +4-2(-3α +16)

sinα= 1-[ ]

2 2

8+6α ±2 4-2(-3α +16)

sinα=

2 2

8+6α ±2 4-2(-3α +16)

tgα=sinα/cosα=

2± 4-2(-3α +16)

2 2

8+6α ±2 4-2(-3α +16)

tgα=sinα/cosα=

2± 4-2(-3α +16)

例如：tg40°=tg0.698132=0.8391,

2 2

8+6*0.698132 ±2 4-2(-3*0.698132 +16)

tg0.698132=sinα/cosα= ≈0.91371

2± 4-2(-3α +16)

下面公式的推导, 可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册,

5）为着同一目的，契贝塞夫(П.Л.Чебышев)曾给出下面的法则：

弦长近似地等于作在弦上而高为矢的倍的等腰三角形两腰之和。

如图2所示在单位圆O中，圆O的半径是1，AB是圆O上的一段弧，OM是角AOB的角平分线，OM和圆O交于M，AB是弧AB的弦，MN是弧AB的矢，OM垂直于AB,垂足是N, AM=δ,AB=d, 弧AB的长度为s, ∠AOB=α，根据惠更斯公式，

8δ-d 2δ-d

s=α= =2δ+

3 3

MN=1-cosα, AN=sinα, d=2AN=2sinα,,

在直角三角形ANM中，根据勾股定理

2 2 2

AM =AN +MN

2 2

δ =sin α+(1-cosα)

δ =2-2cosα,

δ= 2-2cosα

所以,

8δ-d 2δ-d

α= =2δ+

3 3

8 2-2cosα -sinα

α=

3α=8 2-2cosα -sinα

2 2

9α =64(2-2cosα)-16sinα 2-2cosα +sin α

2 2

9α -64(2-2cosα)-sin α =16sinα 2-2cosα

2 2 2 2

[9α -64(2-2cosα)-sin α ] =256sin α(2-2cosα)

2 2 2 2

[9α -64(2-2cosα)-1+cos α ] =256(1-cos α)(2-2cosα)

2 2 2 2

[9α -129-4cosα+cos α ] =256(1-cos α)(2-2cosα)

4 3 2 2 2 4 2

cos α-8cos α+(18α -242)cos α+(1032-72α )cosα+81α -2322α +16641

2 3

=512-512cosα-512cos α-512cos α

4 3 2 2 4 2

cos α+504cos α+(18α+270)cos α+(1544-72α )cosα+81α -2322α +16129=0

根据一元四次方程费拉里求根公式

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为,

4 2

x +px +qx+r=0

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 4 3

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

解得,

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

解上面的一元四次方程式，得

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

cosα=x-a/4= -a/4

其中,

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

t = + +

0 2 4 27

3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3

h +h -rh+p h/4-q /8 (h +h -rh+p h/4-q /8) (3h +2ph-r+p /4)

+ - +

2 4 27

上式中, h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 4 3

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

2 4 2

a=504, b=18α+270, c=1544-72α , d=81α -2322α +16129,

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第二卷第二分册

398.对数的计算

由上面的推导可知

ln n

log n=

a ln a

因为,

lnn

log n=

10 ln 10

log n=0.4329*ln

因为,

ln n

log n=

a ln a

所以,

lg(1+x) ln e 1 1

lim = = = =0.4343

x→0 x ln 10 ln10 2.3025

因为,

ln n

log n=

a lna

log 6=0.9208

ln6=1.7917, ln7=1.9459,

ln6 1.7917

log 6= = =0.9207

7 ln7 1.9459

因为, ln6=1.7917, ln5=1.6094,

ln6 1.7917

log 6= = =1.11327

5 ln5 1.6094

由数学归纳法可得

lgn

ln n=

lge

ln6=1.791759, lg2.718=0.434294, lg6=0.778151,

lg6 0.778151

ln6= = =1.791

lg2.718 0.434294

由数学归纳法可得

lgn

log n=

a lga

log 6=1.791759

lg5=0.69897, lg6=0.778151,

lg6 0.778151

log 6= = =1.11328

5 lg5 0.69897

因为,

lgn

log n=

a lga

所以,

lg(1+x) ln e

lim = =lge=0.4342

x→0 x ln 10

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中国面包师贴吧-楼主(阅：3139/回：0)用正割对数计算微积分的方法4