推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》

半径甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，甲己，己甲丙角，己丙弧，正弦己庚，辛甲，正矢丙庚，正切壬丙，正割壬甲，余弦己辛，庚甲，余矢乙辛，余切葵乙，余割葵甲，己甲乙角，己乙弧，正弦己辛，庚甲，正矢乙辛，正切葵乙，正割葵甲，余弦己庚，辛甲，余矢丙庚，余切壬丙，余割壬甲，圆中心之直线为径，如乙丁，如丙戊，皆全径也，径为直线，圆周为弧线，弧线与直线之比例不通径一周，三以大数言也，尚有零数不盖径一，则周三有余，周三则径一不足周，径二者不能皆为有盖之数，引用割圆之法，内弦外切，屡求勾股为无数多边形，使弧线直线渐合为一，而圆周始得径一。周为三一四五九二六五三有余周一。则径为三一八三九八八六有余，此周径定率也，而弧线，直线不可比例，则用八线驭之，仍以直线与直线为比，而周度可得命圆周为三百六十度，如丙乙，戊丁，每度六十分，每分六十秒，微织忽盲尘，皆以六十过析命，全径为二千万，如丙戊，如乙丁，半径为一千万，如甲丙，如甲乙如甲戊，如甲丁，圆周四分之一皆九十度，如丙乙弧，乙戊弧，戊丁弧，丁丙弧，皆为一象限，于一象限中任取一处，如己，截一弧为两弧，如己丙弧为六十度，己乙弧为三十度，则每弧皆有八线，己甲仍为半径，与甲乙，甲丙等也，己丙弧为己甲丙角之度，己乙弧为己甲乙角之度，其八线在弧内与半径平行者为弦，如乙庚，如己辛，切弧外与弦平行者为切，如壬丙，如葵乙，弦切半径之余为矢，如丙庚，如乙辛，自圆心割圆周而与切线遇者为割，如壬甲，如葵甲，在己甲丙角，则其弧己丙，其正弦己庚，正矢丙庚，正切壬丙，正割壬甲，而以己甲乙角己乙弧为余角，余弧，余弦己辛，余矢乙辛，余切葵乙，余割葵甲，若在己甲乙角则其弧己乙，其正弦己辛，正矢乙辛，正切葵乙，正割葵甲，而以己甲丙角己丙弧为余角，余弧，余弦己庚，余矢丙庚，余切壬丙，余割壬甲，此为正则，彼为余，比为正，则此为余也，正矢即余弦之余，余矢即正弦之余，如甲丙，半径内庚甲，即同余弦，其余丙庚为正矢也，甲乙半径内辛甲即同正弦，其余乙辛为余矢也，余矢加半径为大矢，如庚戊为戊己一百二十度弧之大矢，辛丁为丁己一百五十度弧之大矢，正弦之倍为通弦，如己子为己丙子一百二十度弧之通弦，己丑为己乙丑六十度弧之通弦也，钝角之弧过象限即以外角八线，为其八线，如戊甲己，钝角其弧戊乙己一百二十度以减半周戊乙丙余丙己弧六十度，即为外角己甲丙角之弧，己甲丙角八线与戊甲己钝角，同用惟矢，则以戊庚为大矢，直角九十度，如丙甲乙角，其弧丙乙，适足一象限，则半径乙甲，即其正弦，余割，半径丙甲即其正矢，而其余诸线俱无矣。八线皆成同式勾股形，正弦己庚为股，余弦庚甲为勾，半径己甲为弦，正切壬丙为股，半径丙甲为勾，正割壬甲为弦，半径乙甲为股，余切葵乙为勾，余割葵甲为弦，皆为同时，故正余弦可以勾股法相求，弦切割可以比例相求，以余弦庚甲为一率，正弦己庚为二率，半径丙甲为三率，则得四率正切壬丙，以正弦辛甲为一率，余弦己辛为二率，半径乙甲为三率，则得四率余切葵乙，以余弦庚甲为一率，半径丙甲为二率，半径己甲为三率，则得四率正割壬甲，正弦辛甲为一率，半径乙甲为二率，半径己甲为三率，则得四率余割葵甲，此二三率，

《割圆密率捷法》是清代蒙古族科学家明安图讨论无穷幂级数的一部著作。明安图30余年心血写成此书草稿，临终前嘱其门人陈际新定稿。陈际新会同明安图之子明新以及同学张弘同整理校。康熙年间，法国传教士杜德美(Petrus Jartoux)曾将英国数学家格列高里(JamesGregory)和牛顿(IssacNewton)所创的三个无穷级数公式传入中国。但是没有说明其理论根据。在西方的微积分知识还没有被介绍到中国来的情况下，明安图依靠纯粹的几何手段，不但证明了上述3个公式，而且还独立的导出了其他6个相关公式。《割圆密率捷法》共4卷。首卷叙述了9个无穷幂级数的内容，分别以r,a,c,b,a表示半径、弧、弦、矢和圆心角，则有：前3式为杜德美所介绍，清代有人称上述9个公式为“杜氏九术”是不对的。《割圆密率捷法》和后三卷主要阐述以上公式的来源，明安图设计的割圆连比例法，系在图中构造一系列成比例的三角形，将它们加以整理就得到了所需的无穷幂级数公式。同时，他也开创了由已知函数的展开式求其反函数展开式的新的研究方向，后来被人称为：级数回求

《割圆八线缀术》，清徐有壬，吴嘉善编辑，明安图以后，函数的幂级数展开式都用文字而不用算式。徐有壬创造了一种表达幂级数的算式，称为缀术，但未见著录。同治元年（1862）春，吴嘉善在长沙编写是书，阐明徐氏缀术在三角函数幂级数展开式中的应用，十二年，左潜为作细草，合为四卷，收入《白芙堂算学丛书》

《数学拾遗》，书名，清丁取忠撰，一卷，初刊于咸丰元年（1851），再刻于同治三十年（1874）。系丁氏早年研习数学心得，分两个方面，一是弦，矢三角函数与弧的互求及级数表示。二是传统差分术的讨论。成就以后者为高。如将三色差分径设一物为零简化为二色差分，较好地阐释了《张建丘算经》百鸡问题解法之理。还纠正了焦循《里堂学算》，骆腾风《艺游录》的几处错误，收入《白芙堂算学丛书》

周为三一四五九二六五三有余周一。当一个圆的周长为3.141592653...时

则径为三一八三九八八六有余，此周径定率也，

则一个多边形的边长是3.189886...，这就是周和径的比例，也就是圆弧和其内接弦的比例。

一个圆是360度，1度的弧长是3.141592653/360=0.008726646，一个圆有一个360边内接多边形，这个内接多边形长边长是3.189886....，这个内接多边形的一个边的边长是3.189886/360=0.0088607944，所以，1度弧长的切线长是0.0088607944/0.008726646=1.01537228，

弧AB是单位圆O上面的弧，AB是该弧的切线，∠AOB=α，

将弧度化为角度，为

k/360=α/2*12π，

k=180α/24π，

m=1.01537228k，

m=1.01537228*7.5α/π，

所以,

       4     3     2            

AB=k(α    +α    +α   +α+1)

              4        3        2                                      

AB≈7.5*(0.3α    +0.2α    +0.2α   +0.2α+1)/2*1.01537228απ

所以, tgα=AB，

               4       3        2                

tgα≈7.5*(0.3α   +0.2α   +0.2α   +0.2α+1)/2*1.01537228απ

例如：

tg40°=tg0.698132=0.8391，

               4          3            2                                        

tg0.8391=7.5*(0.8391  *0.3+0.8391  *0.2+0.8391  *0.2+0.8391*0.2)/2*1.01537228*0.8391*π

=1.401(0.148722+0.11816+0.14081+0.16782)

=1.401*0.575512

=0.8062

tg70°=tg1.221730=2.747

                  4              3    

tg1.221730=7.5(1.221730   *0.3+1.221730  *0.2

          2                                  

+1.221730   *0.2+1.221730*0.2)/2*1.01537228*1.221730*π

=0.96573*(0.66837+0.36471+1.492624+0.244346)

=2.675126

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，收录于《白芙堂算学丛书》，

又丙己通弦为勾，己戊通弦为股，丙戊全径为弦，己庚正弦为其中垂线，，与戊庚大矢，丙庚正矢为连比例三率，己庚为中率，戊庚及丙庚为首末率，中率己庚正弦自乘,戊庚大矢除之，则得丙庚正矢，若丙庚正矢除之则得戊庚大矢，首末率相乘开平方则得中率己庚，

           2                      

(1+cosa)/sin   a=1-cosa

(1-cosa)/sina=1+cosa

                  2          

(1-cosa)(1+cosa)=sin    a

正弦，故弦矢，可相求也，又八线可以代相为用，如命半径为一千万，用半径乘除者，其数不变，乘则升八位，除则降八位而已，而除难，于乘则可易，除为乘而用相代法，正弦与余割相代如一率，正弦辛甲股二率，半径乙甲大股，三率余弦己辛，勾四率余切葵乙，大勾可以半径，己甲弦为一率，余割葵甲大弦为二率，以比己辛勾，葵乙大勾比易一二率之同式股，为同式弦也，

1/cos(90°-a)sin(90°-a)=tg(90°-a)/sin(90°-a)sin(90°-a)

如一率余割葵甲弦，二率半径己甲小弦，三率余切葵乙，勾四率余弦己辛，小勾可以半径，乙甲股为一率，正弦辛甲小股为二率，以比葵乙勾己辛小勾，此易一二率之同式弦，为同式股也，余弦与正割相代如一率，余弦庚甲勾，二率半径丙甲大勾，三率正弦己庚股，四率正切壬丙，大股可以半径，己甲弦为一率正割壬甲大弦为二率，以比己庚股，壬丙大股此易一二率之同式勾，为同式弦也，一率正割壬甲弦，二率半径己甲小弦，三率正切壬丙股，四率正弦己庚小股，可以半径，丙甲勾为一率，余弦庚甲小勾为二率，以比壬丙股己庚小股，此易一二率之同式弦为同式勾也，正切与余切相代如一率，正切壬丙股，二率半径丙甲勾，三率正弦辛甲小股，四率余弦己辛，小勾可以半径，乙甲股为一率，余切葵乙勾为二率，以比己庚小股，己辛小勾，又如一率余切葵乙勾，二率半径乙甲股，三率余弦己辛小勾，四率正弦辛甲，小股可以半径，丙甲勾为一率，正切壬丙股为二率，以比己辛小勾，辛甲小股，此一二率皆以同式勾股，易同式勾股也，一象限中逐度分秒皆有八线术之，之法同六宗三要二简诸法，屡次过求得每度每分每十秒之正弦，以求各余弦，正切，余切，正割，余割之数，以列表为八线表，一象限九十度，取其半四十五度列之，四十五度以后，即将四十五度以前逆数而得凡六页，一度每页织分六格，一正弦，二正切，三正割，四余弦，五余切，六余割，正余弦切割之名标于上，四十五度后，逆数者，正为余，余为正，标其名于下，每个皆横分十层，每层为一分，每一层中又分六栏，每栏为十秒，其度分秒标于左右，自初度至四十四度列于右方之上，其分秒顺列右行，由上而下自四十五度至八十度列于左方之下，其分秒逆列左行由下而上，其每线之数则于每格，每栏中，由左而右横列之，检表之法有度分秒查线者，视对度分秒某栏之线，有线查度分秒者，视对线某栏之度分秒，其所列者越十秒而一线，如查十秒中之零秒，则用中比例，如检一度三分一十三秒之正弦，则以一度三分一十秒与一度三分二十秒相减余十秒为一率，一度三分一十秒之正弦与一度三分二十秒之正弦相减余为二率，三秒为三率，得四率以加一度三分一十秒之正弦，即为一度三分一度三分一十三秒之正弦，表中不列正余矢者，正矢余矢可以正余弦减半径而得，半径减余弦得正矢，减正弦得余矢，则数已寓也。全表四十五度之正余弦切割各一万六千二百线，计凡九万七千二百线。

下面介绍用无穷级数展开正弦的方法：

求弦矢弧背圆周捷法

割圆以六宗三要二简诸法，欲求勾股以推八线为数甚繁，且不能随度以求，今即差数用连比例以立乘除之法度，不必符乎，六宗法不必依乎三要而有弧度，即可求弦矢，有弦矢即可以求弧度，只须乘除比例，无用屡次开方，而真数顷刻可得，故称捷焉。设二千亿之径，其全周弧数为六二八三一八五三点七一七以六除之，为六十度弧本数一点四七一九七五五一一九，又六除之为十度之弧本数一七四五三二九二五一九，又十除之为一度弧本数一七四五三二九二五一，又六除之为十分弧本数二九点八八八二点八，，又十除之为一分弧本数二九点八八八点二，又六除之为十秒弧本数四八四八一三六，此十秒弧本数截尾四位为四八四，而表中十秒正弦反为四八五者，表中因尾下之小余八而进一，于尾数为五者也，试观表中自十秒至十一分一十秒，正弦皆与正切同数，则内弦外切已合为一，而与弧本数同矣，是即可过因而求正弦，试以十秒正弦四八五，用二因之为二十秒之正弦九七，用三因之为三十秒之正弦一四五五，用四因之为四十秒之正弦一九四，是皆过于表中正弦一四五四一九三九之数，若以四十秒正弦一九三九折半，则二十秒正弦当是九六九，又折半则一十秒正弦当是四八四，是正与弧本数合，可知表中一十秒二十秒之正弦，皆于尾数进一者也。又十除之为一秒本数四八四八一三所设弧，若干度分秒合取其数，相因相加为设弧本数，

梅氏取度分秒弧本数列表检用甚便，附录于后。

弧求正弦，以弧本数为第一条，以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之得第三率，以第一条，三率乘之, 一率除之得第四率，二除之三，除之为第二条，以第二条三率乘之，一率除之，得第六率，四除之五，除之为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之得第八率，六除之七，除之为第四条，以后例推除至单位下，而止第一条，第三条相并，第二条，第四条，相数相减余即正弦。

法取五度二十分二十秒弧本数，并之得九十三万一千八百一十一，注：小余八，半径八位，则五度二十分二十秒弧本数，六位至单于单位下多取小余一位者，齐尾数也后放此，为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得八万六千八百二十七，（小于三）为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得八千零九十（小于六）为第四率，二除之，三除之，得一千三百四十八（小于四）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得一十一（小于七）为第六率，四除之，五除之，得（小于五）为第三条，以第一条第三条相并，与第二条相减，余九十三万零四百六十四，（并减后仍截去小于，不用凡小于在六以上者皆进一于末位后放此），即五度二十分二十秒之正弦也。

sinθ的计算方法，八线割圆，

5°20`20``=0.0931811

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=0.0931811                         b=θ

                2                                      2    

c    三率     θ  =0.0086827                       c=θ     ,

                3                                      3    

d    四率     θ   =0.0008090886                   d=θ     ,

               0.0008090886/0.0931811=0.0086829689    

e   第二条   0.00086829689/6=0.0001348481                  e=d/6

f    六率    0.0001348481*0.0086827/1=0.000001170845598     f=e*c

g   第三条  0.000001170845598/20=0.000000058542279         g=f/20,

sinθ=θ+g-e      0.0931811+0.000000058542279-0.0001348481=0.09304631

                             3          2     3        5       3          

sinθ=θ+g-e=θ+f/20-d/6=θ+ec/20-θ    /6=θ+dθ    /6-θ    /6=θ+θ    /6-θ    /6

         5          3       7              

sinθ=θ+θ     /120-θ     /6-θ     /5040

            3          5            7                      

          θ          θ     1      θ      1     1          

sinθ=θ-        +              -                

          2          6     20      6    20     42    

例如:

θ=20°=0.349066,

sinθ=sin20°=sin0.349066

                 5          3                

=0.34066+0.34066   /6-0.34066   /6=0.34066+0.004587813029/6-0.039533332/6

=0.34066+0.0007646355048-0.006588888767=0.275535747

20°=0.349066

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=0.349066                        b=θ

                2                                      2    

c    三率     θ   =0.121847072                     c=θ     ,

                3                                      3    

d    四率     θ   =0.04253267                      d=θ     ,

              0.04253267/0.349066=0.121847071  

e   第二条   0.04253267/6=0.007088778333                e=d/6

f    六率    0.007088778333*0.121874072/1=0.0008639382809     f=e*c

g   第三条  0.0008639382809/20=0.00004319691405        g=f/20,

sinθ=θ+g-e      0.349066+0.00004319691405-0.007088778333=0.342020418

设如二十六度，半径一千万求正弦，法取二十六度弧本数，并之得四百五十三万七千八百五十六零（小于）为第一条，半径一千万为第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之得二百零五万九千二百一十三（小于七）为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得九十三万四千四百四十一（小于五）为第四率，二除之，三除之，得一十五万五千七百四十零（小于二）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三万二千零七十零（小于二）为第六率，四除之，五除之，得一千六百零三（小于五）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得三百三十零（小于一）为第八率，六除之，七除之，得七（小于八）为第四条，第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减余四百三十八万三千七百一十一，即二十六度正弦也。

26°=0.4537856

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=0.4537856                         b=θ

                2                                      2    

c    三率     θ   =0.20592137                      c=θ     ,

                3                                      3    

d    四率     θ   =0.093444152                    d=θ     ,

e   第二条   0.093444152/6=0.015574025                     e=d/6

f    六率    0.015574025*0.20592137/1=0.00320702466       f=e*c

g   第三条  0.00320702466/20=0.000160351233              g=f/20,

h  八率  0.000160351233*0.20592137/1=0.00003301974558   h=g*c

I  第四条 0.00003301974558/42=0.0000007861844186        i=h/42

sinθ=b+h-e-i=0.4537856+0.00003301974558-0.015574025-0.0000007861844186=0.438243808

sinθ=b+h-e-i=θ+g*c-d/6-h/42

      2      3               2       3        2              

=θ+fθ   /20-θ    /6-g*c/42=θ+fθ   /20-θ    /6-f*θ     /840

          2      3          2           5        3     7    

=θ+e*c*θ   /20-θ    /6-e*c*θ     /840=θ+θ   /120-θ    /6-θ    /5040

         5          3       7              

sinθ=θ+θ     /120-θ     /6-θ     /5040

            3          5            7                      

          θ          θ     1      θ      1     1          

sinθ=θ-        +              -                

          2          6     20      6    20     42    

设如本数一千万，半径一千万，求正弦。     法以弧本数一千万为第一条，半径一千万为第一率，     弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得一千万为第三率，     依第一条三率乘之，一率除之，得一千万为第四率，二除之，三除之，得一百六十六万六千六百六十六（小于六）为第二条，  以第二条，三率乘之，一率除之，得一百六十六万六千六百六十六（小于六）为第六率，四除之，五除之，得八万三千三百三十三（小于三）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得八万三千三百三十三（小于三）为第八率，六除之，七除之，得一千九百八十四（小于一）为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一千九百八十四（小于一）为第十率，八除之，九除之，得二十七（小于五）为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得二十七（小于五）为第十二率，十除之，十一除之，得（小于二）为第六条，第一条第三条第五条相并，第二条第四条第六条相并，两数相减，余八百四十一万四千七百零九，即五十七度一十七分四十四秒三十六微正弦也。

sin57°17`44``36```=0.84166943

57°17`44``36```=1

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=1                                b=θ

                2                                      2    

c    三率     θ   =1                             c=θ     ,

                3                                      3    

d    四率     θ   =1                              d=θ     ,

e   第二条   1/6=0.16666666                         e=d/6

f    六率    1*0.16666666=0.16666666                   f=e*c

g   第三条  0.16666666/20=0.0083333333                 g=f/20,

h  八率  0.0083333333*1/1=0.0083333333                 h=g*c

I  第四条0.0083333333/42=0.0001984126984               i=h/42

j  十率   0.0001984126984*1/1=0.0001984126984          j=hc/r

k 第五条0.0001984126984/72=0.000002755731922          k=j/72

m 十二率0.0001984126984*1/1=0.000002755731922        m=k*c/r

n  第六条0.000002755731922/110=0.00000002505210839    n=m/110

sinθ=b+g+k-e-i-n=1+0.0083333333+0.000002755731922-0.16666666-0.0001984126984-0.00000002505210839=0.84166943      

sinθ=b+g+k-e-i-n=θ+f/20+j/72-d/6-h/42-m/110

=θ+e*c/20+hc/72-d/6-jc/42-kc/110

      5         9             3       7          11                            

=θ+θ     /120+θ     /362880-θ     /6-θ     /5040-θ     /39916800

          5         9            3       7          11    

sinθ=θ+θ     /120+θ     /362880-θ     /6-θ     /5040-θ     /39916800

            3          5            7                      

          θ          θ     1      θ      1     1          

sinθ=θ-        +              -                

          2          6     20      6    20     42    

            9                         11    

          θ      1     1      1     θ      1      1      1      1                

      +                           -          

          6     20     42    72      6    20      42     72    110                              

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰收录于《白芙堂算学丛书》,

用无穷级数展开正矢，

弧求正矢，以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，二除之为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四条，以下例推。除至单位下而止第一条，第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余即正矢。

设如五度二十分二十秒，半径一千万求正矢。

法以半径一千万为第一率，并五度二十分二十秒弧本数，得九十三万一千八百一十一（小于八）为第二率，自乘一率，除之，得八万六千八百二十七（小于三）为第三率，二除之，得四万三千四百一十三（小于六）为第一条，三率乘之，一率除之，得三百七十六（小于九）为第五率，三除之，四除之，得三十一（小于四）为第二条，第一条第二条相减，余四万三千三百八十二，即五度二十分二十秒正矢也。

5°20`20``=0.0931811,

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=0.0931811                               b=θ

                2                                          2    

c    三率     θ   =0.0086827                           c=θ   /r  ,

                 2                                           2    

d    第一条   θ   /2=0.00434135                     d=c/2=θ     /2,

e   五率   0.00434135*0.0086827=0.00003769463965       e=c*d/r

f    第二条   0.00003769463965/12=0.00000314121997      f=e/12

versinθ=1-cosθ=d-f=0.00434135-0.00000314121997=0.00433820878

cosθ=1-versinθ=1-d+f=1-0.00434135+0.00000314121997=0.995661791

                                           2      4  

cosθ=1-versinθ=1-d+f=1-c/2+e/12=1-c/2+cd/12=1-θ    /2+θ   /24

            2          4                              

          θ          θ     1          

versinθ=        +                              

          2          2     12    

                   2          4                              

                 θ          θ     1          

cosθ=1-versinθ=1-        +                              

                  2         2     12    

设如二十六度，半径一千万，求正矢。

法以半径一千万为第一率，并二十六度弧本数，得四百五十三万七千八百五十六（小于零）为第二率，二率自乘，一率除之，得二百零五万九千二百一十三（小于七）为第三率，二除之，得一百零二万九千六百零六（小于八）为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得二十一万二千零一十八（小于零）为第五率，三除之，四除之，得一万七千六百六十八（小于一）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三千六百三十八（小于二）为第七率，五除之，六除之，得一百二十一（小于二）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得二十四（小于九）为第九率，七除之，八除之，得（小于四）为第四条，第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一百零一万二千零六十零，即二十六度正矢也。

versin26°=versin0.4537856=0.1020591561,

26°=0.4537856

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=0.4537856                               b=θ

                2                                           2    

c    三率     θ   =0.20592137                           c=θ     ,

d  第一条     0.20592137/2=0.102960685                       d=c/2    ,

e  五率   0.102960685*0.20592137/1=0.02120180531              e=d*c/r

f   第二条    0.02120180531/12=0.00176681711               f=e/12

g   七率0.00176681711*0.20592137/1=0.00036276531           g=fc/r

h  第三条  0.00036276531/30=0.00001209218             h=g/30

I  九率0.00001209218*0.20592137=0.00000249004              i=h*c/r

j  第四条   0.00000249004/56=0.00000004446        j=i/56

cosθ=1-versinθ=1-d-h+f+j=1-0.102960685-0.00001209218+0.00176681711+0.00000004446=0.89879408439,

                                2       6          4        8    

versinθ=d+h-f-j=c/2+g/30-e/12-i/56=θ     /2+θ     /720-θ     /24-θ     /40320

                           2       6         4        8

cosθ=1-versinθ=1-d-h+f+j=1-θ     /2-θ     /720+θ     /24+θ     /40320

            2          4            6                    8  

          θ          θ     1      θ      1     1       θ      1      1    1

versinθ=         -              +                    -

          2          2    12      2     12     30       2     12    30    56              

cosθ=1-versinθ

             2          4            6                    8  

          θ          θ     1      θ      1     1       θ      1      1    1

=1-         -              +                    -

          2          2    12      2     12     30       2     12    30    56              

设如弧本数一千万，半径一千万，求正矢，

法以半径一千万为第一率，弧本数一千万为第二率，二率自乘，一率除之，得一千万为第三率，二除之，得五百万为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得五百万为第五率，三除之，四除之，得四十一万六千六百六十六（小于六）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得四十一万六千六百六十六（小于六）为第七率，五除之，六除之，得一万三千八百八十八（小于八）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一万三千八百八十八（小于八）为第九率，七除之，八除之，得二百四十八（小于零）为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得二百四十八（小于零）为第十一率，九除之，十除之，得二（小于七）为第五条，第一条第三条第五条相并，第二条第四条相并，两数相减，余四百五十九万六千九百七十七，即五十七度一十七分四十四秒三十六微正矢也。

versin57°17`44``36```=0.04596977

a    一率    r=1                                   a=r

b    二率     θ=1                                 b=θ

                2                                           2    

c    三率     θ   =1                                   c=θ     ,

                2                                    2

d  第一条     θ   /2=1/2=0.5                      d=θ   /2r,

                4  

e  五率       θ   /2=1/2=0.5                       e=d*c/r

                4                

f   第二条    θ   /24=1/24=0.04166666667              f=e/12

g   七率0.04166666667*1/1=0.04166666667               g=fc/r

h  第三条  0.04166666667/30=0.00138888889           h=g/30

I  九率0.00138888889*1/1=0.00138888889              i=h*c/r

j  第四条  0.00138888889/56=0.00002480159      j=i/56

k十一率   0.00002480159*1/1=0.00002480159         k=j*c/r

m第五条   0.00002480159/90=0.00000027557         m=k/90

versinθ=d+h+m-f-j

    2                     2       6          10            4       8                      

=θ     /2r+g/30-k/90-i/56=θ     /2+θ     /720+θ     /3628800-θ     /24-θ     /40320

versinθ=d+h+m-f-j

=0.5+0.00138888889+0.00000027557-0.04166666667-0.00002480159=0.459676962

cosθ=1-versinθ=1-0.459676962=0.5403023038,

         2       4         6               8        10          

cosθ=1-θ     /2-θ     /720-θ     /3628800+θ     /24+θ     /40320

            2          4            6                    8  

          θ          θ     1      θ      1     1       θ      1      1    1

versinθ=         -              +                    -

          2          2    12      2     12     30       2     12    30    56    

              θ     1     1       1     1

    +    

              2     12    30    56     90      

cosθ=1-versinθ

          θ          θ     1      θ      1     1       θ      1      1    1

=1-         +              -                    +

          2          2    12      2     12     30       2     12    30    56    

              θ     1     1       1     1

   -    

              2     12    30    56     90

正弦求弧，

以弦为第一条，以半径为连比例第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得第四率，二除之，三除之，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得第六率，九乘之，四除之，五除之，为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得第八率，二十五乘之，六除之，七除之，为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得第十率，四十九乘之，八除之，九除之，为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，为第六条，以后例推除之单位下而止，诸条相并，即弧本数，以每度分秒之本数收之，得度分秒。

设如正弦二百八十三万三千七百八十四，半径一千万，求弧度。法以正弦二百八十三万七百八十四为第一条，半径一千万为第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得八十万零三千零叁拾三，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得二十二万七千五百六十二，为第四率，二除之，三除之，得三万七千九百二十七，为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得三千零四十五（小于六）为第六率，九乘之，四除之，五除之，得一千三百七十零为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得一百一十零为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得六十五为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得五（小于二）为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得三为第五条，以诸条相并，得二百八十七万三千一百五十一，即弧本数以度分秒之本数收之，得一十六度二十七分四十三秒。

a    第一条    sinθ=0.2833784                         a=sinθ

b    一率    r=1                                 b=r

c    二率    sinθ=0.2833784                       c=sinθ ,

                2                                    2

d  三率     sin    θ=0.08030331759              d=sin   θ/r

                3  

e  四率     sin    θ=0.02275622565              e=c*d/r

f   第二条  0.02275622565/6=0.00379270428        f=e/6

g   六率0.00379270428*0.08030331759/1=0.00030456674       g=f*d/r

h  第三条  0.00030456674*9/20=0.00013705503          h=9*g/20

I  八率0.00013705503*0.08030331759=0.00001100597      i=h*d/r

j  第四条  0.00001100597*25/42=0.00000655117     j=25i/42

k十率   0.00000655117*0.08030331759=0.00000052608       k=j*d/r

m第五条   0.0.00000052608*49/72=0.00000035803      m=49k/72

θ=arcsin0.2833784=a+f+h+j+m

=0.2833784+0.00379270428+0.00013705503+0.00000655117+0.00000035803=0.28731506851

θ=arcsin0.2833784=a+f+h+j+m=sinθ+e/6+9g/20+25i/42+49k/72

         3          5           7            9                11                            

=sinθ+sin    θ/6+3sin    θ/40+3sin    θ/40+75sin    θ/1680+3675sin    θ/120960

θ=16°27`43``

            3          5               7                                                                                                        

         sin   θ     sin   θ   9     sin   θ   9      25        

θ=sinθ+          +               +                                  

           6            6     20       6     20     42    

               9              

            sin   θ   9    25     49            

   +    

              6     20     42     72                                          

设如正弦七百零七万一千零六十八，半径一千万，求弧度。

法以正弦七百零七万一千零六十八为第一条，半径一千万，为第一率，正弦为第二率，二率自乘，一率除之，得五百万为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得三百五十三万五千五百三十四为第四率，二除之，三除之，得五十八万九千二百五十五（小于六）为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得二十九万四千六百二十七（小于八）为第六率，九乘之，四除之，五除之，得一十三万二千五百八十二（小于五）为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得六万六千二百九十一（小于二）为第八率，二十五乘之，六除之，七除之，得三万九千四百五十九为第四条，以第四条，三率乘之，一率除之，得一万九千七百二十九（小于五）为第十率，四十九乘之，八除之，九除之，得一万三千四百二十七（小于零）为第五条，以第五条，三率乘之，一率除之，得六千七百一十三（小于五）为第十二率，八十一乘之，十除之，十一除之，得四千九百四十三（小于六）为第六条，以第六条，三率乘之，一率除之，得二千四百七十一（小于七）为第十四率，一百二十一乘之，十二除之，十三除之，得一千九百一十七（小于一）为第七条，以第七条，三率乘之，一率除之，得九百五十八（小于六）为第十六率，一百六十九乘之，十四除之，十五除之，得七百七十一（小于四）为第八条，以第八条，三率乘之，一率除之，得三百八十五（小于七）为第十八率，二百二十五乘之，十六除之，十七除之，得三百一十九（小于一）为第九条，以第九条，三率乘之，一率除之，得一百五十九（小于五）为第二十率，二百八十九乘之，十八除之，十九除之，得一百三十四（小于八）为第十条，以第十条，三率乘之，一率除之，得六十七（小于四）为第二十二率，三百六十一乘之，二十除之，二十一除之，得五十七（小于九）为第十一条，以第十一条，三率乘之，一率除之，得二十八（小于九）为第二十四率，四百四十一乘之，二十二除之，二十三除之，得二十五（小于二）为第十二条，三率乘之，一率除之，得一十二（小于六）为第二十六率，五百二十九乘之，二十四除之，二十五除之，得一十一（小于一）为第十三条，以第十三条，三率乘之，一率除之，得五（小于五）为第二十八率，六百二十五乘之，二十六除之，二十七除之，得四（小于九）为第十四条，以第十四条，三率乘之，一率除之，得二（小于四）为第三十率，七百二十九乘之，二十八除之，二十九除之，得二（小于二）为第十五条，以第十五条，三率乘之，一率除之，得一（小于一）为第三十二率，九百六十一乘之，三十除之，三十一除之，得一（小于零）为第十六条，以诸条相并，得七百八十五万三千九百八十一，即本弧数以度分秒收之，得四十五度。

a    第一条    sinθ=0.7071068                        a=sinθ

b    一率    r=1                                 b=r

c    二率    sinθ=0.7071068                     c=sinθ ,

                2                                  2

d  三率     sin    θ=0.50000002661             d=sin   θ/r

                3  

e  四率     sin    θ=0.35355341881             e=c*d/r

f   第二条  0.35355341881/6=0.0589255698       f=e/6

g   六率0.0589255698*0.50000002661/1=0.02946278647       g=f*d/r

h  第三条0.02946278647*9/20=0.01325825391        h=9*g/20

I  八率0.01325825391*0.50000002661=0.00662912731     i=h*d/r

j  第四条0.00662912731*25/42=0.00394590911    j=25i/42

k十率  0.00394590911*0.50000002661=0.00197295466      k=j*d/r

m第五条   0.00197295466*49/72=0.00134270526      m=49k/72

n十二率0.00134270526*0.50000002661=0.00067135266  n=m*d/r

o第六条0.00067135266*81/110=0.00049435969         o=81n/110

p十四率0.00049435969*0.50000002661/1=0.00024717986  p=o*d/r

q第七条0.00024717986*121/12*13=0.00019172284    q=121*p/12*13

s十六率0.00019172284*0.50000002661=0.00009586143  s=q*d/r

t第八条0.00009586143*169/14*15=0.00007714562     t=s*169/14*15

u十八率0.00007714562*0.50000002661=0.00003857302   u=t*d/r

v第九条0.00003857302*225/16*17=0.00003190783       v=225*u/16*17

w二十率0.00003190783*0.50000002661/1=0.000015954    w=v*d/r

δ第十条0.000015954*289/18*19=0.0000134816      δ=289*w/18*19

ε二十二率0.0000134816*0.50000002661=0.0000067408   ε=δ*d/r

ζ第十一条0.0000067408*361/20*21=0.00000579388     ζ=361*ε/20*21

η二十四率0.00000579388*0.50000002661=0.00000289694  η=ζ*d/r

λ第十二条0.00000289694*441/22*23=0.0000025248       λ=441*η/22*23

μ二十六率0.0000025248*0.50000002661=0.0000012624     μ=λ*d/r

σ第十三条0.0000012624*529/24*25=0.00000111302      σ=529*μ/24*25

τ二十八率0.00000111302*0.50000002661=0.00000055651   τ=σ*d/r

φ第十四条0.00000055651*625/26*27=0.00000049547       φ=625τ/26*27

ψ三十率0.00000049547*0.50000002661=0.00000024773     ψ=φ*d/r

б第十六条0.00000024773*729/28*29=0.00000022241       б=729*ψ/28*29

ж三十二率0.00000022241*0.50000002661=0.00000011121    ж=б*d/r

з第十八条961*0.00000011121/30*31=0.00000011491        з=961*ж/30*31

θ=arcsin0.7071068=

0.7071068+0.0589255698+0.01325825391+0.00394590911+0.00134270526+0.00049435969+

+0.00019172284+0.00007714562+0.00003190783+0.0000134816+0.00000579388+ +0.0000025248+0.00000111302+0.00000049547+0.00000022241+0.00000011491

=0.78539812015

θ=arcsin0.2833784=θ+f+h+j+m+o+q+t+v+δ+ζ+λ+σ+φ+б+з, θ=45°,

           3       5            7                  9          

        sin  θ   sin  θ   9   sin  θ    9   25    sin  θ   9    25   49            

θ=sinθ+       +            +                  +        

           6      6     20      6    20    42     6     20   42   72

           11                            13            

        sin  θ   9    25   49    81    sin  θ   9    25   49    81    121  

+                              +        

           6    20   42   72    110      6    20   42   72    110   12*13

           15                                      

        sin  θ   9    25   49    81    121    169

+                                    

           6    20   42   72    110   12*13  14*15

           17                                      

        sin  θ   9    25   49    81   121    169   225

+                                      

           6    20   42   72    110  12*13  14*15 16*17

           19                                      

        sin  θ   9    25   49    81   121    169   225    289

+                                      

           6    20   42   72    110  12*13  14*15 16*17  18*19

           21                                      

        sin  θ   9    25   49    81   121    169   225    289   361    

+                                      

           6    20   42   72    110  12*13  14*15 16*17  18*19  20*21

           23                                      

        sin  θ   9    25   49    81   121    169   225    289   361   441

+                                      

           6    20   42   72    110  12*13  14*15 16*17  18*19  20*21  22*23

所以,

                  3              5                        2n+1        

          1    sin  θ     1*3  sin  θ      1*3*......(2n-1)  sin  θ       2n+2

θ=sinθ+               +             +...+                       +o(sin   θ)

          2     3        2*4    5         2*4*......2n      2n+1

正矢求弧，以正矢倍之为第一条，以半径为连比例第一率，倍正矢为第三率，三率自乘，一率除之，得第五率，三除之，四除之，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得第七率，五除之，六除之，为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得第九率，七除之，八除之，为第四条，以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得第十一率，九除之，十除之，为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得第十三率，十一除之，十二除之，为第六条，以后例推，除至单位下而止，以诸条相并又为连比例第三率，以于第一率半径相乘，开平方，得第二率，即弧本数以度分秒收之，得度分秒。

设如，正矢四十万零九千九百一十八，半径一千万，求弧度，

法以正矢，四十万零九千九百一十八，倍之，得八十一万九千八百三十六，为第一条，以半径一千万，为第一率，倍正矢，为第三率，三率自乘，一率除之，得六万七千二百一十三，为第五率，三除之，四除之，得五千六百零一，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得一千八百三十六，为第七率，五除之，六除之，得六十一，为第三条，以诸条相并，得八十二万五千四百九十九，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得八兆二千五百四十九亿九千万，开方得二百八十七万三千一百五十一，为连比例第二率，即弧本数，以每度分秒之本数收之，得一十六度二十七分四十三秒。

versinθ=0.0409918

a    第一条    2versinθ=0.0409918*2=0.0819836              a=2versinθ

b    一率    r=1                                          b=r                                                      

c    三率    2versinθ=0.0409918*2=0.0819836                c=2versinθ

                                                             2

d  五率     0.0819836*0.0819836=0.00672131067             d=c   /r                

e  第二条   0.00672131067/3*4=0.00056010922               e=d/3*4            

f   七率  0.00056010922*4*0.0819836=0.00018367908     f=4ec

g  第三条0.00018367908/5*6=0.00000612264       g=f/5*6

h  连比例第三率0.0819836+0.00056010922+0.00000612264=0.08254983186

       h=a+e+g

i连比例第二率    0.08254983186*1=    0.08254983186 =0.28731486537

i=     hr

θ=arc(versin0.0409918)=

                                          2            3    

         hr  =    a+e+g =     2versinθ+versin  θ/12+4versin   θ/360

θ=16°27`43``,

                      2            3  

                 versin  θ    4versin   θ    1    

θ=    2versinθ+           +                        

                   4*3         4*3         5*6

                         2            3  

                   (1-cosθ)     4(1-cosθ)     1    

θ=   2（1-cosθ）+           +                        

                     4*3         4*3      5*6

设如正矢，五百万，半径一千万，求弧度，

法以正矢五百万，倍之，得一千万，为第一条，以半径一千万，为第一率，倍正矢为第三率，三率自乘，一率除之，得一千万为第五率，三除之，四除之，得八十三万三千三百三十三，为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得三百三十三万三千三百三十三，为第七率，五除之，六除之，得一十一万一千一百一十一，为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得九十九万九千九百九十九，为第九率，七除之，八除之，得一万七千八百五十七，为第四条,以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得二十八万五千七百一十四，为第十一率，九除之，十除之，得三千一百七十四，为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得七万九千三百六十五，为第十三率，十一除之，十二除之，得六百零一为第六条，以第六条，三十六乘之，三率乘之，一率除之，得二万一千六百三十六，为第十五率，十三除之，十四除之，得一百一十八，为第七条，以第七条，四十九乘之，三率乘之，一率除之，得五千七百八十二，为第十七率，十五除之，十六除之，得二十四为第八条，以第八条，六十四乘之，三率乘之，一率除之，得一千五百五十四，为第十九率，十七除之，十八除之，得五，为第九条，诸条相并，得一千零九十六万六千二百二十五，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得一百零九兆六千六百二十二亿五千万为连比例第二率，即弧本数以每度分秒收之，得六十度。

a    第一条  2versinθ=0.50000*2=1                 a=2versinθ

b    一率    r=1                                 b=r                                                      

c    三率   2versinθ=0.50000*2=1                  c=2versinθ

                                                 2

d  五率     1*1/1=1                           d=c   /r

e  第二条    1/12=0.08333333                  e=d/3*4            

f   七率  1/12=0.33333333                      f=4e/c

g   第三条   0.33333333/30=0.0111111111        g=f/5*6

h  九率0.0111111111*9/1=0.0999999999          h=9*g/c

I  第四条0.0999999999/56=0.001785714286        i=h*/7*8

j  十一率0.001785714286*16*1/1=0.028571428     j=16ic/r

k第五条  0.028571428/9*10=0.0003174603175      k=j/9*10

m十三率  25*0.0003174603175/1=0.007936507937  m=25kc/r

n第六条0.007936507937/11*12=0.00006012506013   n=m/11*12

o十五率   36*0.00006012506013=0.002164502165  o=36nc/r

p第七条0.002164502165/13*14=0.00001189286904  p=o/13*14

q十七率49*0.00001189286904*1/1=0.0005827505827   q=49pc/r

s第八条0.0005827505827/15*16=0.000002428127428  s=q/15*16

t十九率0.000002428127428*64*1/1=0.0001554001554    t=64sc/r

u第九条0.0001554001554/17*18=0.0000005078436451   u=t/17*18

v连比例第三率

1+0.08333333+0.0111111111+0.001785714286 +0.0003174603175+0.00006012506013+

+0.00001189286904+0.000002428127428++0.000002428127428+0.0000005078436451

=1.09664685                                 v=a+e+g+i+k+n+p+s+u

w连比例第二率1.09664685*1=1.09664685         w=v*c

θ=arcsin0.5

=1+0.08333333+0.0111111111+0.001785714286 +0.0003174603175+0.00006012506013+

+0.00001189286904+0.000002428127428 +0.000002428127428+0.0000005078436451

=1.09664685

θ=60°,

θ=arcsin0.2833784=(a+e+g+i+k+n+p+s+u)*d

=2versinθ+d/12+f/5*6+h/7*8+j/9*10+m/11*12+o/13*14+q/15*16+t/17*18

                    2           3                    4  

            (2versinθ)    4(2versinθ)   1    9*4*(2versinθ)    1     1        

θ=2versinθ+          +                 +                    

              3*4         3*4      5*6      3*4         5*6   7*8

                           5

            9*4*16*(2versinθ)    1       1     1

+                            

                  3*4         5*6     7*8   9*10

                              6

            9*4*16*25*(2versinθ)   1       1     1      1    

+                            

                  3*4           5*6     7*8   9*10   11*12

                                 7

            9*4*16*25*36*(2versinθ)   1       1     1      1         1

+                            

                  3*4               5*6     7*8   9*10   11*12   13*14

                    2           3                    4  

            [2(1-cosθ)]  4[2(1-cosθ)]   1    9*4*[2(1-cosθ)]    1     1        

θ=2(1-coθ)+          +                 +                    

              3*4         3*4      5*6      3*4         5*6   7*8

                           5

            9*4*16*[2(1-cosθ)]    1       1     1

+                            

                  3*4         5*6     7*8   9*10

                              6

            9*4*16*25*[2(1-cosθ)]  1       1     1      1    

+                            

                  3*4           5*6     7*8   9*10   11*12

                                 7

            9*4*16*25*36*[2(1-cosθ)]   1       1     1      1         1

+                            

                  3*4               5*6     7*8   9*10   11*12   13*14

                   2            3                        2         n

           [2(1-cosθ)]   [2(1-cosθ)]   1       (1*2*3*4*5...*n)  [2(1-cosθ)]        n+1

θ=2(1-coθ)+          +                +...+                       +o[[2(1-cosθ)]  ]

             3*4        3*4      5*6       3*4*......(2n+1)   2n+2

设如，通弧六十度，半径一千万，求矢，

法以半径一千万，为第一率，六十度弧本数一千零四十七万一千九百七十五（小于五一），为第二率，二率自乘，一率除之，又四除之，得二百七十四万一千五百五十六（小于七七），为第三率，二除之，得一百三十七万零七百其实吧（小于三八），为第一条，以第一条，三率乘之，一率除之，得三十七万五千八百零六（小于六七），为第五率，三除之，四除之，得三万一千三百一十七（小于二二），为第二条，以第二条，三率乘之，一率除之，得八千五百八十五（小于七九），为第七率，五除之，六除之，得二百八十六（小于一九），为第三条，以第三条，三率乘之，一率除之，得七十八（小于四六），为第九率，七除之，八除之，得一（小于四零），为第四条，以第一条第三条相并，第二条第四条相并，两数相减，余一百三十万九千七百四十五（小于九五），即六十度通弧之矢也，

versin60°=versin1.0471975=0.139745

a一率r=1              a=1

b二率θ=1.0471975      b=θ

        2                                               2  

c三率θ   /4*1=1.0471975* 1.0471975/4=0.274155651      c=θ   /4

d第一条0.274155651/2=0.137077825                     d=c/2

e五率0.137077825*0.274155651=0.03758066              e=d*c/r

f第二条0.03758066/12=0.003131721707                   f=e/3*4

g七率0.003131721707*0.274155651=0.0008585818936      g=f*c/r

h第三条0.0008585818936/5*6=0.00002861939645      h=g/5*6

i九率0.00002861939645*0.274155651=0.000007846169266   i=h*c/r

j第四条0.000007846169266/7*8=0.0000001401101655      j=i/7*8

versinθ=d+h-f-j=c/2+g/5*6-e/3*4-i/7*8

=0.137077825+0.00002861939645-0.003131721707-0.0000001401101655=0.133974582

           2       4      2            4    2     2          

          θ       θ     θ     1      θ    θ     θ      1      

versinθ=       -                    +                  

           8      8     4     3*4    8    4      4     5*6  

           4       2      2     2            

          θ       θ     θ     θ      1

-      -                                      

           8      4     4     4     7*8

           2       6             8                 10

          θ       θ      1      θ    1     1     θ      1     1     1

versinθ=       -             +                  -

          8      32     3*4    128   3*4  5*6    512   3*4    5*6  7*8

           2       6         8       10  

          θ       θ        θ       θ  

versinθ=        -       +        -                        

           8      384    46080   10321920

           2       6         8       10  

          θ       θ        θ       θ  

cosθ=1-        +       -        +                        

           8      384    46080   10321920

正矢求通弧，以正矢，八乘之，为第一条，以半径为连比例第一率，八乘正矢，为第三率，四除之，以为每次所用之第三率，与正矢求弧之法同。

设如，正矢五百万，半径一千万，求通弦，

法取正矢五百万，八乘之，得四千万，为第一条，以半径一千万，为第一率，八乘正矢，又四除之，得一千万，为第三率，以第一条，三率乘之，一率除之，得四千万，为第五率，三除之，四除之，得三百三十万三千三百三十（小于三三），为第二条，以第二条，四乘之，三率乘之，一率除之，得一千三百三十三万三千三百三十三，为第七率，五除之，六除之，得四十四万四千四百四十四（小于四四），为第三条，以第三条，九乘之，三率乘之，一率除之，得四百万，为第九率，七除之，八除之，得七万一千四百二十八（小于五七），为第四条，以第四条，十六乘之，三率乘之，一率除之，得一百一十四万二千八百五十七（小于一四），为第十一率，九除之，十除之，得一万二千六百九十八（小于四一），为第五条，以第五条，二十五乘之，三率乘之，一率除之，得三十一万七千四百六十零（小于三一），为第十三率，十一除之，十二除之，得二千四百零五，为第六条，以第六条，三十六乘之，三率乘之，一率除之，，得八万六千五百八十零（小于零八），为第十五率，十三除之，十四除之，得四百七十五（小于七一），为第七条，以第七率，四十九乘之，三率乘之，一率除之，得二万三千一十零（小于零二），为第十七率，十五除之，十六除之，得九十七，（小于一二），为第八条，以第八条，六十四乘之，三率乘之，一率除之，得六千二百一十六，为第十九率，十七除之，十八除之，得二十零（小于三一），为第九条，八十一乘之，三率乘之，一率除之，得一千六百四十五（小于四一），为第二十一率，十九除之，二十除之，得四（小于三三），为第十条，以诸条相并，得四千三百八十六万四千九百零七，又为连比例第三率，以与一率半径一千万相乘，得四百三十八兆六千四百九十亿零七千万，开平方，得二千零九十四万三千九百五十零，为连比例第二率，即通弧本数也，以每十度之本数收之，得一百二十度，即所求通弧度数也。

versinθ=0.5

a第一条versinθ*8=0.5*8=4             a=8*versinθ

b一率r=1                            b=r

c三率versinθ*8/4=1                                   c=a/4

d五率1*4/1=4                                       d=ac/r

e第二条   4/3*4=0.33333333                          e=d/3*4

f七率0.33333333*4*1/1=1.3333333                     f=4ec/r

g第三条1.3333333/5*6=0.0444444444                  g=f/5*6

h九率0.0444444444*9*1/1=0.399999996    h=9gc/r

i第四条0.399999996/7*8=0.007142857071  i=h/7*8

j十一率0.007142857071*16*1/1=0.114285713    j=1hc/r

k第五条0.114285713/9*10=0.001269841257              k=j/9*10

m十三率0.001269841257*25=0.031746031       m=25kc/r

n第六条0.031746031/11*12=0.0002405002381    n=m/11*12

o十五率0.0002405002381*36=0.008658008571    o=36nc/r

p第七条0.008658008571/13*14=0.00004757147567   p=o/13*14

q十七率0.00004757147567*49=0.002331002308      q=49pc/r

s第八条0.002331002308/15*16=0.000009712509615   s=q/15*16

t十九率0.000009712509615*64=0.0006216006154     t=64sc/r

u第九条0.0006216006154/17*18=0.00000203137456    u=t/17*18

v二十一率0.00000203137456*81=1.645413394        v=81uc/r

w第十条1.645413394/19*20=0.0000004330035246     w=v/19*20

δ连比例第三率

4+0.33333333+0.0444444444+0.007142857071+0.001269841257+0.0002405002381+0.00004757147567 +0.000009712509615+0.00000203137456+0.0000004330035246

=4.386493588                                    δ=a+e+g+i+k+n+p+s+u+w

θ=     δ*b   =a+e+g+i+k+n+p+s+u+w=    4.386493588*1    =2.094395757

θ=180°-120°=60°, versinθ=1-cosθ=0.5,

                        2                   2    

                (8versinθ)     1     (8versinθ)   8versinθ    1     4        

θ=π-  8versinθ+         +        +                    

                  4         3*4        4         4      3*4    5*6

                 2                  

         (8versinθ)  8versinθ   8versinθ    1     4     9  

+         +        +                    

             4        4         4      3*4   5*6   7*8

                 2                      

         (8versinθ)   8versinθ   8versinθ  8versinθ   1     1     9     1

+                                      

            4         4         4         4    3*4    5*6   7*8   9*10

                 2                      

         (8versinθ)   8versinθ   8versinθ  8versinθ  8versinθ  1     1     1     1

+                                      

            4         4         4         4       4    3*4  5*6*7*8 *9*10*11*12

                        2             2    

                16(1-cosθ)    16(1-cosθ)   [2(1-cosθ)]    4        

θ=π-  8(1-cosθ)+        +                            

                  3*4             3*4               5*6

                   2          2        

         16(1-cosθ)   [2(1-cosθ)]    4      9

+                                    

                3*4             5*6    7*8  

                 2           3            

         16(1-cosθ)  [2(1-cosθ)]     4       9     1                  

+                                      

                3*4             5*6     7*8   9*10      

                  2          4              

         16(1-cosθ)  [2(1-cosθ)]    4       9     1     25  

+                                      

                3*4            5*6     7*8   9*10  11*12                  

推导过程参见《割圆八线缀术》，清同治十二年荷池精舍出版，吴嘉善，徐有壬在长沙编撰

  收录于《白芙堂算学丛书》,  推导过程参见《测圆海镜细州》，清同治十二年荷池精舍出版，金李治1248年编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》, 推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,

借弧求正余弦,

视本弧过三十度至六十度内者，对于本身弧长30度到60度的弧，借四十五度弧，如甲丙与本弧甲丁或甲戊相减，余为较弧如丁丙或丙戊，较弧只在十五度内，如法求得较弧正弦，如丁戌如戊戌，皆即酉戌正矢，如丙戌，仍以半径丙已为一率，借弧弦，如丙庚或丙辛，为二率，较弧弦矢相加，如丙酉，或相减如申酉，为三率，四率为弦较，如丙丑，如丙演，或如申卯，如申辰与卯酉，丁丑，辰酉，戊演，俱等以与借弧弦相加，如戊亥同丁子，或相减，如丁壬同戊葵，即得本弧之正弦，正弦如丁壬同戊葵，余弦如丁子同戊亥，三率，本弧在六十度内，求正弦，则加成丙酉，求余弦，则减余申酉，本弧在三十度外，求正弦，则减余申酉，求余弦，则加成丙酉，四率，在四十五度内求正弦，则减余丑庚，求余弦，则加成丁子，在四十五度外，求正弦，则加成戊亥，求余弦则减余演辛。

设如，本弧三十三度，求正弦。

法以本弧三十三度，减借弧四十五度，余一十二度，如法求之，得正弦二百零七万九千一百一十七，得正矢二十一万八千五百二十四，弦矢相加，得二百二十九万七千六百四十一，乃以半径为一率，借弧正弦七百零七万一千零六十八，为二率，较弧弦矢相加得二百二十九万七千六百四十一，为三率，求得四率，一百有六十有二万四千六百七十七，以与借弧正弦七百零七万一千零六十八相减，余五百四十四万六千三百九十一，即三十三度之正弦也，

33°<45°,

45°-33°=12°,

sin12°=0.2079117,

versin12°=0.0218524,

a一率r=1                       a=1

b二率sin45°=0.7071068           b=sin45°

c三率  sin12°+versin12°=0.2079117+0.0218524=0.2297641    c=sin12°+versin12°

d四率0.2297641/1.414213562=0.162467753                d=c/√2

     sin33°=b-d=0.7071068-0.162467753=0.544639046，

sin33°=b-d=sin45°-(sin12°+versin12°)/√2

=sin45°-[sin(45°-33°)+versin(45°-33°)]/√2

sinθ=sinπ/4-[sin(π/4-θ)+versin(π/4-θ)]/√2，   0<θ≤π/4，

如求五十七度正弦，则以较弧弦矢相减，余一百八十六万零五百九十三，为三率，求得四率，一百三十一万五千六百三十七，与借弦正弦七百零七万一千零六十八相加，得八百三十八万六千七百零六，即五十七度之正弦也。

57°>45°，

57°-45°=12°，

sin12°=0.2079117，

versin12°=0.0218524，

a一率r=1                             a=1

b二率sin45°=0.7071068                 b=sin45°

c三率sin12°-versin12°=0.2079117-0.0218524=0.1860593        c=sin12°-versin12°

d四率0.1860593/1.414213562=0.131563792                   d=c/√2

sin57°=b-d=0.7071068-0.131563792=0.575543007，

sin57°=b-d=sin45°-(sin12°-versin12°)/√2

=sin57°-[sin(57°-45°)+versin(57°-45°)]/√2

sinθ=sinπ/4-[sin(π/4-θ)-versin(π/4-θ)]/√2，π/4<θ≤π/2，

借弦求弧，

视正弦，若过半径十分之五至十分之六，借三十度正弦五零零零零零零，余弦八六六零二五四，用之，若过半径十分之六至十分之八，借四十五度正弦，余弦，皆七零七一零六八，用之若过半径十分之八至十分之九，借六十度正弦八六六零二五四，余弦五零零零零零零，用之，先以本弧正弦求得，本弧余弦，次以本弧正弦，与借弧正弦相减，余为正弦，较如丙演，或戊辰，皆为股以本弧余弦，与借弧余弦，相减，余为余弦，较如，演丁，或辰丙，皆为勾，求得弦如丙丁，或丙戊，为较弧通弦，如法求得较弧，如丙丁弧，或丙戊弧，与借弧相加减，得本弧，本弧正弦大于借弧正弦，则两弧相加，本弧正弦小于借弧正弦，则两弧相减。

设如正弦五百四十四万六千三百九十一，求弧度，

法以半径一千万为弦，正弦五百四十四万六千三百九十一为勾，次借三十度正弦五百万，与本弧正弦五百四十四万六千三百九十一相减，余四十四万六千三百九十一，为正弦，较为股，借三十度余弦八百六十六万零二百五十四，与本弧余弦八百三十八万六千七百零六相减，

余二十七万三千五百四十八，为余弦，较为勾，求得弦五十二万三千五百三十九，为通弦，如法求之得通弦三度，以与借弧三十度相加，得三十三度，即所求之弧度也，如正弦为八百三十八万六千七百零六，则借六十度正弦，余弦，如法求之，亦得通弦五十二万三千五百三十九，求得通弧三度，与借弧六十度相减，的五十七度，亦所求之弧度也。

33°<45°，sinθ=0.5446391，

45°-33°=12°，versin12°=0.0218524，

a弦r=1               a=1

b勾sinθ=0.5446391     b=sinθ

c  较为股sinθ-sin30°=0.5446391-0.5=0.0446391   c=sinθ-sin30°

d较为勾cosθ-cos30°=0.8660254-0.8386706=0.0273549   d=c/√2,

                    2               2                                

通弦      (sinθ-sin30°)   +(cosθ-cos30°)   =     0.001992649249+0.000748290554

=    0.002740939803   =0.052353985=3°

θ=3°+30°=33°,

                      2             2

θ=30 °-    (sinθ-sin30°)   +(cosθ-cos30°)               30°<θ≤45°

                      2             2

θ=30 °+    (sinθ-sin30°)   +(cosθ-cos30°)               30°<θ≤45°

                      2             2

θ=60 °-    (sinθ-sin60°)   +(cosθ-cos60°)               45°<θ≤60°

                      2             2

θ=60 °+    (sinθ-sin30°)   +(cosθ-cos30°)               60°<θ≤90°

上二法，又为捷法中之捷法，借弧求弦，先求较弧之弦矢，弦矢可并求也，法以半径为连比例第一率，弧本数为第二率，二率自乘，一率除之，得第三率，后每率皆用二率自乘一率除之，得相连诸率。

第一率半径，第二率弧本数，一除之（其数不变）为第一条，（求弦第一条）, 第三率二除之，为第二条，（求矢第一条）, 第四率三除之，为第三条，（求弦第二条）, 第六率五除之，为第五条，（求弦第三条）, 第七率六除之，为第六条，（求矢第三条）, 第八率七除之，为第七条，（求弦第四条）, 第九率八除之，为第八条，（求矢第四条）, 第一条与第五条相并，第三条与第七条相并，两数相减，余即正弦，第二条与第六条相并，第四条与第八条相并，两数相减，余即正矢。

七求弦矢：

法以半径一千万，为第一率，弧本数五百二十三万五千九百八十七，为第二率，一除之，得五百二十三万五千九百八十七，为第一条，（求弦第一条）, 以第一条，二率乘之，一率除之，得二百七十四万一千五百五十六，为第三率，二除之，得一百三十七万零七百七十八，为第二条，（求矢第一条）, 以第二条，二率乘之，一率除之，得七十一万七千七百三十七，为第四率，三除之，得二十三万九千二百四十五，为第三条，（求弦第二条）, 以第三条，二率乘之，一率除之，得一十二万五千二百六十八，为第五率，四除之，得三万一千三百一十七，为第四条，（求矢第二条）, 以第四条，二率乘之，一率除之，得一万六千三百九十七，为第六率，五除之，得三千二百七十九，为第五条，（求弦第三条）, 以第五条，二率乘之，一率除之，得一千七百一十六，为第七率，六除之，得二百八十六，为第六条，（求矢第三条）, 以第六条，二率乘之，一率除之，得一百四十九，为第八率，七除之，得二十一，为第七条，（求弦第四条）, 以第七条，二率乘之，一率除之，得一十零，为第九率，八除之，得一，为第八条，（求矢第四条）,第一条与第五条相并，第三条与第七条相并，两数相减，余五百万，即三十度正弦，第二条与第六条相并，第四条与第八条相并，两数相减，余一百三十三万九千七百四十六，即三十度正矢。

a一率r=1

b二率θ=0.5235987              b=θ,

c第一条，求弦第一条θ=0.5235987            c=θ，

        2                                         2

d三率θ   =0.274155598,                       d=θ   /r

                     2                      

e第二条, 求矢第一条θ   /2=0.274155598/2=0.137077799       e=d/2

f四率0.137077799*0.5235987=0.071773757                    f=eb/r、

g第三条，求弦第二条0.071773757/3=0.023924585              g=f/3，

h五率  0.023924585*0.5235987/1=0.012526882                 h=g*b/r

i 第四条, 求矢第二条0.012526882/4=0.003131720511            i=h/4

j六率0.003131720511*0.5235987/1=0.001639764788             j=i*b/r

k 第五条, 求弦第三条0.001639764788/5=0.0003279529577        k=j/5.

m七率0.0003279529577*0.5235987=0.001717157423            m=kb/r

n第六条, 求矢第三条0.001717157423/6=0.00002861929038       n=m/6

o八率0.00002861929038*0.52359871=0.00001498502353         o=nb/r

p第七条，求弦第四条0.00001498502353/7=0.000002140717647   p=o/7,

q九率0.000002140717647*0.5235987=0.000001120876977        q=pb/r，

s第八条, 求矢第四条0.000001120876977/8=0.0000001401096221  s=q/8,

sin0.5235987=c+k-g-p

=θ+j/5-f/3-o/7=0.5235987+0.0003279529577-0.023924585-0.000002140717647=0.4999999927

           2              2                        2        

          θ      θ      θ     θ      θ     θ     θ      θ     θ    θ    θ    θ

sinθ=θ-              +                         -

          2      3      2     3      4      5     2      3     4     5   6   7                                                  

           3        5        7                  

          θ       θ        θ    

sinθ=θ-        +       -        -                        

           6     120      5040              

        3     5        7                  

sinθ=θ-θ   /6+θ   /120-θ   /5040

sinθ=c+k-g-p=θ+j/5-f/3-o/7

=0.5235987+0.0003279529577-0.023924585-0.000002140717647=0.4999999927

versin0.5235987=e+n-i-s

=0.137077799+0.00002861929038-0.003131720511-0.0000001401096221=0.133974557

cos0.5235987=1-e-n+i+s

=1-0.137077799-0.00002861929038+0.003131720511+0.0000001401096221=0.866025442

           2       2                   2        

          θ      θ      θ     θ      θ     θ     θ      θ     θ    

versinθ=       -                   +                                        

          2      2      3     4      2      3     4      5     6                                

           2        4        6       8          

          θ       θ        θ       θ

versinθ=        -       +       - -                      

          2       24      720     40320      

           2        4        6       8          

          θ       θ        θ       θ

cosθ=1-     -  +       -         +              

          2       24      720     40320          

         2    4       6        8                                                          

versinθ=θ   /2-θ   /24+θ   /720-θ   /40320

         2    4       6        8  

cosθ=1-θ   /2+θ   /24-θ   /720+θ   /40320

借弧求弦矢，极多不过求至四条，如或只有三条（四条已在单位下），即一第一条与第三条相并，与第二条相减，若只有一条，一条即弦矢也，弦矢并求极多，不过求至八条，即得弦矢可用八线相求切割。附录梅文穆赤水遗珍。

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰, 收录于《白芙堂算学丛书》,

弧线表

度、分、秒化弧度表

度

1，0.017453292519943

2，0.034906585039886

3，0.052359877559829

4，0.069813170079773

5，0.087266462599716

6，0.104719755119659

7，0.122173047639603

8，0.139626340159546

9，0.15709632679489

10，0.174532925199432

分

1，0.000290888208665

2，0.000581776417331

3，0.000872664625997

4，0.001163552834662

5，0.001454441043328

6，0.001745329251994

7，0.002036217460660

8，0.002327105669325

9，0.002617993877991

10，0.002908882086657

秒

1，0.000004848136811

2，0.000009696273623

3，0.000014544410432

4，0.000019392547244

5，0.000024240684055

6，0.000029088820866

7，0.000033936957677

8，0.000038785094488

9，0.000043633221299

10，0.000048481368111

注：90°=1.570796226794896，

59°=5*0.174532925199432+9*0.017453292519943=1.029744258，

立表之法

置全周密率为实，以三百六十度，除之，得每度之弧线，屡加之至十度，又置一度之弧线为实，以六十分除之，得一分之弧线，屡加之至十分，又置一分之弧线为实，以六十秒除之，得一秒之弧线，屡加之至十秒，表而列之，为求弦矢之用。

求弦矢捷法

弧矢，割圆之术，有弧背，即可以求弦矢，然非密率大，测割圆之法，理精数密，然不能随度，以求弦矢，今任设畸零之弧，分，度，不必符乎，六宗法不必依乎，三要而弦矢可得，且与密率无殊焉，斯诚术之奇而捷者。

设弧二十一度一十九分五十一秒，（半径八位），求其正弦，

21°19`51``=0.34906585+0.01745329+0.0029088+0.00261799+0.0002424+0.0000484

=0.37229325

法于弧线表内，取二十度一十九分五十一秒之弧线，而并之得三七二二九三二五（因半径八位，故弧线亦之用八位），为设弧之，其分自乘得一三八六零二二六（亦只用八位），为屡乘数，又以二三四五六七之六数相挨，两两相乘为除数，（如二三相乘，得六，为第一除数，四五相乘，得二十，为第二除数，六七相乘，得四十二，为第三除数），即用设弧，其分为第一得数，复为实，以屡乘数乘之，（凡乘出之数，截去末八位后，放此），第一除数六除之得八六零零一一，为第二得数，又为实，以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得五九五九，为第三得数，又为实，以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得一十九，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，末以后并数，减前并数，余三六三七五二五四，截去末一位，即所求之正弦也。（凡正弦俱小于半径，人算时，多用一位以齐尾数，故得数后，亦截去一位，也后放此，）

21°19`51``=0.37229325

                                                      2      

a第一数0.37229325*0.37229325=0.138602264           a=θ

                                                       3

b第二数0.138602264*0.37229325/6=0.008600114554      b=θ   /6

c第三数0.008600114554*0.138602264/20=0.00005959976739       c=ab/20

d第四条0.00005959976739*0.138602264/42=0.0000001966824451     d=ac/42

sin0.37229325

=0.37229325+0.0005959976739-0.008600114554-0.0000001966824451=0.364288936

           3       3      2     3     2      2           3       2          2          

          θ      θ      θ     θ      θ     θ           θ       θ          θ

sinθ=θ-       +            -                   +...-(-1)                   …            

         2*3     2*3    4*5   2*3   4*5   6*7    (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)..(n+k)(n+k+1)                              

设弧十六度二十七分四十三秒（半径九位），

求其正弦，

16°27`43``=0.17453292519+0.10471975511+0.0581776417+0.203621746+0.0019392547+0.0001454441=0.28731513181

法取，设弧度分秒之弧线而并之，得二八七三一五一三（因半径九位，故弧线亦用九位），为设弧之其分自乘，得八二五四九九八五零，为屡乘数，又用二三相乘之六，为第一除数，四五相乘之二十，为第二除数，六七相乘之四十二，为第三除数，即用设弧其分为第一得数，复为实以屡乘数乘之，第一除数六除之，得三九五二九七六为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十二除之，得一六三一五，为第三得数，又为实以屡乘数乘之，第三除数四十二除之，得三二，为第四得数，乃以第一得数与第三得数相并，又以第二得数与第四得数相并，复以后并数减前并数，余二八三三七八四三九，截去末一位，即所求之正弦也。

16°27`43``=0.28731513181,

                                                       2

a第一数0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497    a=θ

                                                        3

b第二数0.28731513181*0.08254998497/6=0.00395297664    b=θ  /6

c第三数0.00395297664*0.08254998497/20=0.00001631591     c=ab/20\

d第四条0.00001631591*0.08254998497/42=0.00000003207  d=ac/42

sin0.28731513181=0.08254998497+0.00001631591-0.00395297664-0.00000003207

=0.283378439

           3       3      2     3     2      2                  

          θ      θ      θ     θ      θ     θ          

sinθ=θ-       +            -                                              

         2*3     2*3    4*5   2*3   4*5   6*7                                  

           3      3      2     3     2      2             3       2          2          

          θ      θ      θ     θ      θ     θ        n+1  θ      θ          θ

sinθ=θ-       +            -                   +...-(-1)                   …            

         2*3     2*3    4*5   2*3   4*5   6*7    (n+1)(n+2) (n+3)(n+4)..(n+k)(n+k+1)                              

如求正矢，法以设弧其分自乘之，八二五四九九八五零为屡乘数，又以三四相乘之十二，为第一除数，五六相乘之三十，为第二除数，七八相乘之五十六，为第三除数，乃以屡乘数折半，为第一得数，为实以屡乘数乘之，第一除数二十除之，得二八三九三八六，为第二得数，又为实以屡乘数乘之，第二除数十三除之，得七八一三，为第三得数，又为实以屡乘数五十六除之，得一一，为第四得数，于是以第一得数与第三得数相并，以第二得数与第四得数相并，复以两并数相减，得四零九九一八三四一。截去末二位，即所求之正矢也。以正矢减半径，得九五九零零八一七，即设弧之余弦，亦即余弧七十三度三十二分十七秒之正弦。如设弧过四十五度以上者，先求得余弧之正矢，以减半径，即得设弧之正弦也。

16°27`43``=0.28731513181

                                                          2

a      0.28731513181*0.28731513181=0.08254998497        a=θ

                                                         2  

b第一数0.08254998497/2=0.04127499249                  b=θ   /2

c第三数0.0002839375*0.08254998497/30=0.0000007813      d=ac/30

e第四条0.0000007813*0.08254998497/56=0.000000115       e=da/56

versin0.28731513181=0.04127499249+0.0000007813-0.0002839375-0.000000115=0.409918341

           2       2      2     2     2      2                  

          θ      θ      θ     θ      θ     θ          

versinθ=       -             +                                              

        1*2     1*2    3*4  1*2    3*4   5*6                        

           2       2      2     2     2      2            2       2     2          

          θ      θ      θ     θ      θ     θ        n+1  θ      θ      θ

versinθ=       -            -+                  +...-(-1)                        …            

         1*2     1*2    3*4  1*2    3*4   5*6         n(n+1) (n+2)(n+3)…n(n+k)

           2       2      2     2     2      2                  

          θ      θ      θ     θ      θ     θ          

cosθ=1-   -    +            -                                

        1*2     1*2   3*4  1*2    3*4   5*6                        

           2       2      2     2     2      2            2       2     2          

          θ      θ      θ     θ      θ     θ        n+1  θ      θ      θ

cosθ=1-       -            -+                  +...-(-1)                        …            

         1*2     1*2    3*4  1*2    3*4   5*6         n(n+1) (n+2)(n+3)…n(n+k)

tgθ=sinθ/cosθ=

           3       3      2     3     2      2            3       2     2          

          θ      θ      θ     θ      θ     θ        n+1  θ      θ      θ

      θ- -     -+           -                    +...-(-1)               …            

         2*3     2*3   4*5   2*3    4*5   6*7     (n+1)(n+2)(n+3)(n+4) (n+k)(n+k+1)

           2       2      2     2     2      2            2       2     2          

          θ      θ      θ     θ      θ     θ        n+1  θ      θ      θ

      1- -            -+                        +...-(-1)                        …            

         1*2     1*2    3*4  1*2    3*4   5*6         n(n+1) (n+2)(n+3)…n(n+k)

右三术，梅文穆所译，杜德美法也，而弦矢求弧背者，缺焉，其于立法之原，亦无一语道及，盖杜氏藏匿根数秘而不宣，今乃知其用连比例术，以半径为一率，设弧共分为二率，二率自乘，一率除之，得三率，二率三率相乘，一乘，除之，得四率，由是推之，三率自乘，一率除之，得五率，三率四率相乘，一率除之，得六率，三率五率相乘，一率除之，得七率，三率六率相乘，一率除之，得八率，三率七率相乘，一率除之，得九率，循序而进，虽至亿万胥，如是也，文穆所谓，设弧共分自乘，为屡乘数，即二率之自乘也，其截去末八位者，即以一率半径一千万除之也，以七千万除其数，不变降八位而已，设半径为十万，则所截者，为末六位，而非八位，或半径非一之整数，则又非以其数除之，不可以皆布算者，宜知也至其立法之原则，有明净庵氏，董方立氏，项梅吕氏，戴鄂士氏，及徐庄憨公，各自立术，开发靡遗，皆详，本书兹不赘。