推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版

38.结式、未知量的消去法、判别式

如果给予了环P[x   ,x   ,...,x  ]中的多项式f(x    ,x   ,...,x  )

                1    2    n               1    2     n                          

那么它的解是指在域P或其扩展域  P   中所取的对于未知量这样的一组值。

x    =α    ,x    =α    ,...,x    =α

  1     1     2    2      n     n                    

使多项式f化为零：

f(α   ,α    ,...,α   )=0

   1    2      n

每一个次数大于零的多项式f,都能有解：

如果未知量x  在这多项式中出现，

             1

  那么作为α   ,...,α   可以取域P或其扩展域中基本上是任意的元素，

            2       n

译者注：“或其扩展域”诸字是译者加上的，

例如在Z   中（参考3）就没有元素α  可使

        2    

    2      2    

f=(x  -x  )(x  -x  )+1 的x   有正方次。

    1  2   1   2        1    

又对文中所说的结果可用数学归纳法证明。      

注解结束, 只是使多项式f(x  ,α  ,...,α   )有正的次数，

                         1    2     n

而后利用根的存在定理(33)取域P的这样的扩展域 P  ,

是一个未知量x  的多项式f(x   ,α  α  )在它里面有根α   。            

               1            1    2   n                    

同时我们看到，一个未知量n次多项式在每一个域中根的个数不能超过n这一性质，对于有许多未知量的多项式不再成立。如果给予许多个有n未知量的多项式，那么就有求出所有这些多项式的公共解的问题，亦即求出使所予多项式全为零所得出的这个方程的解。这一问题的一个特殊情形，就是线性方程组的情形，已经在第四章中有过详细的讨论。但对于相反的特殊情形，有任意次数的含一个未知量的一个方程，到现在为止我们除开知道它在基域的某一个扩展域中有根存在之外，还不知道求出它的根的方法。求出与研究有许多未知量的任一非线性方程组的解，当然是很复杂的工作，而且超出了本课程的范围，这是另一数学部门——代数几何学的对象。此处我们只限于有两个未知量两个任意次方程的方程组的情形，来证明这一情形可以化为有一个未知量一个方程的情形。首先研究仅含一个未知量的两个多项式的公根存在的问题。设已予域P上多项式

      n      n-1                                  

f(x)=x   +a  x   +...+a   x+a     ,

          1         n-1        

{                                (1)

      n      n-1                                            

g(x)=x  +b  x   +...+b   x+b     ,                  

          1          n-1    n                  

其首项系数都等于1.  由上一章的结果不难推出，  多项式f(x)与g(x)在P的某一扩展域中有公根的充分必要条件为它们不是互质的。  这样一来，关于已予多项式的公根存在问题可以应用欧几里得演段来解决。   现在我们指出另一方法来得出这一问题的答案。设在P的某一个这样的扩展域，  使f(x)在它里面有n个根α  ,α   ,...,α     ,                            

                                             1    2       n

而g(x)有s个根，β  ,β  ,...,β  ; 可以取乘积f(x)g(x)的分解域为 P  ,

                 1    2      n

域  P 中元素

       n   s                                        

R(f,g)= ∏  ∏(α  -β  )             (2)

      i=1  j=1  i   j    

称为多项式f(x)与g(x)的结式。   显然f(x)与g(x)当且仅当R(f,g)=0时始在 P 中有公根。

由(2)知：

         ns                

R(g,f)=(-1)    R(f,g)

又由等式

       n                                        

f(x)= ∏ (x-α  )          

      i=1     i      

       s                                      

g(x)= ∏ (x-β  )        

      i=1     i      

亦可以写

       n           ns  n                              

R(f,g)= ∏  g(α  )=(-1)   ∏  f(β  )        (3)

      i=1     i         i=1    j

我们来证明，

结式R(f,g)可表示已予多项式f(x)与g(x)的系数a  ,a   ,...,a  ,b  ,b  ,...,b  的多项式，

                                         1   2     n   1  2    n

故由上节末尾的证明，它可表示为这两组未知量的初级对称多项式的多项式。再由韦达公式即可得出。但是应用上节证明中的方法实际上求出以系数表出结式的表示式是很困难的，我们要应用另外的方法。注解：对称多项式定义,

在有许多未知量的多项式中，提出那些在未知量的置换后，没有变动的多项式。在这些多项式中，所有未知量的出现完全成对称形状的。所以称这些多项式为对称多项式(或对称函数)。

最简单的例子是：

所有未知量的和x   +x   +...+x     ,

                1     2      n

未知量的平方和x   +x    +...+x    ,

                1     2       n

  未知量的乘积x   x    ...x    等等。

               1    2      n

由于n符号对每一个置换都是对换的乘积（参看9），在证明某一项多项式有对称时，只要检验其对每两个未知量的对换都没有变动，就已足够。对称多项式中，所有未知量都可以交换位置，多项式的只不发生改变,

              2   2      2                                      

例如在多项式x  +x   +...+x    中  

              1   2      n

例如根据加法的交换律，把多项式x  +x   +...,x   中的x  ,x   ,...,x   任意交换位置，

                               1    2      n       1   2     n

多项式的值不变,    注解结束。

我们所求出的多项式（1）的结式表示式是对于任何一对这种多项式都能适合的。

所以我们视这些多项式的系数,

a   ,...,a    ,a   ,b   ,...,b   ,b                  (4)

  1     n-1  n    1     s-1   s      

为符号。这应当这样来了解：系数组(4)是为一组n+s个独立的未知量，亦即在35中的意义，

一组域P上代数无关的n+s元素。这相当于假设，多项式(1)的这一组根,

α  ，α   ,...,α    ,β   ,β   ,...,β              (5)

   1    2        n    1     2      n

在域P上代数无关。事实上，在这一场合，

多项式(1)的系数取适当的正负号可以各为α  ,α  ,...,α  ,的初级对称多项式

                                      1    2     n

σ  ,σ   ,...,σ   和β  ,β   ,...,β  的初级对称多项式γ  ,γ  ,...,γ  。

  1    2       n     1    2      n                   1   2      n

但是组σ  ,σ   ,...,σ    ,γ    ,γ    ,..,γ

        1   2      n    1     2      n

已经在上节的末尾证明了是在域P上代数无关的。

注：由组(5)的代数无关性就可以述及多项式环P[α  ,α   ,...,α  ,β   ,β   ,...,β   ]  

                                             1    2       n   1    2       n

由35知其含于一个为这些未知量的有理分式。亦即现在可以在这一个域里面展开我们的理论。引入辅组参数t且讨论次之有n+s个新未知量y   ,y   ,y    ,...,y   ,n+s个齐次线性方

                                             0   1    2      n+s-1                          

程的辅助方程组：

  y    +a   y    +...+a    y  +a  y                        =0  

   n+s-1  1  n+s-2     n-1  s   n  s-1

          y    +a   y    +...+a    y   +a  y               =0  

           n+s-2  1  n+s-3     n-1  s-1   n  s-2

                            ……………….              

                  y    +a   y    +...+a    y   +a  y        =0  

                   n     1   n-1      n-1  1    n  0

y    +b   y    +...+b    y  +(b  -t)y                        =0        }(7)

   n+s-1  1  n+s-2     s-1  n   s    n-1

          y    +b   y    +...+b    y   +b  y                 =0  

           n+s-2  1  n+s-3     s-1  n-1   s  n-2

                            ……………….              

                  y    +b   y    +...+b    y   +b  y         =0  

                   s     1   s-1      s-1   1    s  0

  这方程组的行列式有次之形状(其空白地位为零元素):

            1    a    ...a      a

                   1      n-1   n                                                        

                  1    a    ...a      a

                         1      n-1   n                }s行

                  …………………….

                         1    a    ...a      a

                                1      n-1   n  

  △(t)=                          

             1    b    ...b      b

                   1      n-1    n                                                        

                  1    b    ...b      b

                         1      n-1   n                 }n行    

                  …………………….

                         1    b    ...b      b

                                1      n-1   n  

这一行列式是t的n次多项式，所以对之取△(t)的写法。这行列式里面只有一个项含t的最高次n，

                                              n    

就是由位于主对角线上诸元素相乘所得出的项(b  -t)   。

                                              s

                        n              n              

故可推知，多项式△(t)中t  的系数等于(-1)     。      

  如果我们取,   t=g(α   )           (9)

                     i

  其中α ，i=1,2,...,n,为多项式f(x)的一个根，那么齐次线性方程组(7)就有非零解，                                  

        i

即由元素α  的方次所组成的解：

          i

      k          

y  =α    , k=0,1,...,n+s-1;         (10)

  k   i

特别是，y   =1.

         0

事实上，代未知量以值(10)后，组(7)的前s个方程变为等式,

  s-1          s-2            

α   f(α  )=0, α  f(α  )=0,..., α  f(α  )=0, f(α  )=0,...,

  i      i      i     i         i     i       i  

这是正确的，因为α  是f(x)根；经过代换后，后面n个方程为

                  i

     n-1                                                

   α  [g(α  )-t]=0,                              

     i     i

     n-2                                                

   α  [g(α  )-t]=0,                              

     i     i

        ………

   [g(α  )-t]=0,  

       i

由(9)知道它们亦都是等式。因为对于条件(9)，其次组(7)有非零解，所以对于这个t的值行列式△t必须等于零。这样一来,

g(α    ),g(α    ),...,g(α    )                      (11)

    1       2        n                    

是多项式△(t)的根。由这组根(5)在域P上的代数无关性，和多项式g(x)的系数可以经它的根来表出，推知多项式△(t)的诸根(11)是各不相同的；如果说有等式g(α  )=g(α  ),i≠j,

                                                             i        j

那么把多项式g(x)的系数经其根来表出，

我们将得出α  ,α   ,和β  ,β   ,...,β  之间的一个在域P上不是无意义的代数相关性。    

            i     j      1    2      s                                    

  这就证明了组(11)为n次多项式△(t)的全部根。但已知每一个n次多项式的常数项等于其

               n            

根的乘积乘以(-1)  再除以这个多项式的首项系数。

                                       n

     我们知道多项式△t的首项系数等于(-1)  ，故其常数项为其根(11)的乘积，亦即，                      

     由(3)，等于结式R(f,g)。另一方面，每一个t的多项式的常数项等于其在t=0时的值。这样一来，在等式(8)中取t=0，我们得到所要求出的经多项式(1)的系数所表出的这些多项式的结式表示式：

            1    a    ...a      a

                   1      n-1   n                                                        

                  1    a    ...a      a

                         1      n-1   n                }s行

                  …………………….

                         1    a    ...a      a

                                1      n-1   n  

  R(f,g)=                          

             1    b    ...b      b

                   1      s-1     s                                                        

                  1    b    ...b      b

                         1      s-1     s                 }n行    

                  …………………….

                         1    b    ...b      b

                                1      s-1    s  

现在来讨论多项式,

        n      n-1                                            

f(x)=a  x  +a  x   +...+a  x+a     ,

     0      1         n-1   n

                                  }(13)

        s      s-1                                      

g(x)=b  x  +b  x   +...+b   x+b    ,                                                              

      0     1          s-1    s                    

其首项系数不仅不一定等于1，而且也可能等于零，亦即关于多项式f(x)与g(x)的次数只可以说它们个不大于n与s。

注释：

这是暂时否认了一直到现在都这样做的多项式首项系数的条件，因为以后的应用有这种情形。   我们要讨论一组有两个未知量的多项式而其中一个未知量将包含在系数里面，故对于这一未知量的某些值，        首相系数可能变为零。  注释结束。      

命这些多项式的结式R(f,g)为行列式(在空白地位上都是零元素):

            a    a    ...a      a

              0     1      n-1   n                                                        

                  a    a    ...a      a

                    0     1      n-1   n                }s行

                  …………………….

                         a    a    ...a      a

                           0     1      n-1   n  

  R(f,g)=                          

             b    b    ...b      b

               0    1      s-1     s                                                        

                  b    b    ...b      b

                    0     1      s-1     s                 }n行    

                  …………………….

                         b    b    ...b      b

                           0     1      s-1    s  

显然，当a  =b   =1时我们得出上面所讨论的表示式(12)。

          0    0

但是“结式”这一名词现在比早先获得一些别的意义，就在这新意义中我们以后要用到它。其实，如果a  =0与b  =0，那么R(f,g)=0与多项式f与g之有无公根没有关系。

            0       0

然而我们指出这是唯一的情形使得结式等于零不能得出多项式有公根存在的结论。

事实上，设a  ≠0与b  ≠0,那么

             0        0                          

         f(x)=a  φ(x),    g(x)=b  ψ(x),

              0              0

其中，

            a            a         a              

       n      1  n-1       n-1        n                                      

φ(x)=x   +      x    +…+       x+      

            a              a        a        

             0              0         0                

            a            a         a              

       s      1  s-1       s-1       s                                      

ψ(x)=x   +      x    +…+       x+      

            a              a        a        

             0              0         0      

  这些多项式的首项系数都等于1.  在行列式(14)的前s行中每行中每行提出因子a   ,

                                                                         0

后n行中每行提出因子b ，显然我们得出等式

                      0            

      n  n                                  

R(f,g)=a  b  R(φ,ψ)                        (15)

       0  0

如果α  ,α   ,...,α   ,为f(x)的根因而是φ(x)的根，

      1    2      n

β  ,β  ,...,β  为g(x)的根，因而是ψ(x)的根，故有

  1   2      n

       n   n   n   n                                        

R(f,g)=a   b    ∏  ∏(α  -β  )            

       0   0  i=1  j=1  i   j    

  由(15)知道当且仅当R(φ,ψ)=0时始有R(f,g)=0。  但是我们知道前一等式是多项式φ与ψ有公根存在的充分必要条件。故推知结式R(f,g)等于零是多项式φ与ψ有公根存在的充分必要条件，   因而亦是多项f与g有公根存在的充分必要条件。  最后设多项式(13)中有一个首项系数，例如a  ,不等于零，而另一首项系数b  等于零。  

                0                          0

更普遍的，如果

b   =b   =...=b   =0,

  0    1      k-1

而 b   ≠0, 且命

     k          

             s-k       s-k-1                      

g   (x)=b  x   +b   x    +...+b   x+b     ,

           k      k+1          s-1   s                          

那么，在行列式(14)中换元素b  ,b   ,...,b   为零且应用拉普拉斯定理，

                           0   1      k-1

显然我们得到等式,

             k                                    

R(f,g)=a   R(f,  g   )             (16)

             0                        

但因多项式f与   g   的首项系数都不为零，

故从上面的证明知等式R(f,g)=0是多项式f与 g  有公根存在的充分必要条件。  

  另一方面，由(16)，等式R(f,g)=0与等式R(f,  g  )是相当的，

而且多项式g与  g  当然有相同的根，所以我们得出，在所讨论的情形结式R(f,g)等于零是多项式f(x)与g(x)有公根存在的充分必要条件。  我们证明了次之定理：如果给予有任意首项系数的多项式(13)，      那么这些多项式的结式(14),        当仅当这些多项式有公根存在或其首项系数都等于零时，   始等于零。  求出下列两个二次多项式的结式

            2                            

f(x)=a  x  +a  x+a    ,    

     0      1     2

        2                                          

g(x)=b  x  +b  x+b    ,    

      0     1    2        

由(14)      

            a     a     a     0

              0     1     2          

            0    a      a      a

                    0     1      2              

    R(f,g)=              

            b    b    ...b      b

               0     1    2      0

             0    b    ...b      b

                     0    1      2                                                          

照第一行与第三行展开这一行列式，得

R(f,g)=(a   b   -a   b   ) -(a   b  -a   b   )(a   b  -a   b   )          (17)

        0  2    2   0      0   1  1   0    1   2   2   1            

例如给予多项式

         2                 2              

   f(x)=x   -6x+2,      g(x)=x  -x+5,    

那么由(17)，R(f,g)=233, 所以这两个多项式没有公根。如果给予多项式,

         2                 2              

   f(x)=x   -4x-5,      g(x)=x  -7x+10,  

那么R(f,g)=0，亦即这两个多项式有公根，这个根为5.

从有两个未知量两个方程的方程组中消去一个未知量, 设已予两个未知量x与y的两个多项式f与g，其系数在某一个域P里面。我们照未知量x的降幂来写出这些多项式：

            k        k-1                                    

f(x,y)=a   (y)x  +a  (y)x   +...+a   (y)x+a  (y),

       0        1            k-1      k    

                                                       }    （18）

             k        k-1                                                          

g(x,y)=b  (y)x  +b  (y)x   +...+b   (y)x+b  (y),          

        0        1           k-1      k              

其系数为环P[y]中多项式。   视多项式f与g为x的多项式，

求出它们的结式且记之为R  (f,g)；    

                        x

由(14)，知其为系数在域P中的一个未知量y的多项式：

R   (f,g)=F(y)                   (19)

  x

设多项式组(18)在P的某一扩展域中有公共解x=α,y=β。以β代(18)中的y，我们得出两个仅含一个未知量x的多项式f(x,β)与g(x,β)。这两个多项式有公根α，故由(19)它们的结式F(β)应当等于零，

是即β必须是结式R  (f,g)的根。反之，如果多项式(18)的结式R  (f,g)有根β，

                  x                                     x

那么多项式f(x,β)与a(x,β)的结式等于零，亦即这两个多项式或者有公根，或者两个首项系数都等于零。  

                  a   (β)=b  (β)=0

                    0      0  

这一方法把多项式组(18)公共解的求出化为求一个仅有一未知量y的多项式(19)的根。是即所谓，由多项式组(18)消去未知量x。次之定理回答了，    关于由有两个未知量与两个多项式的多项式组消去一个未知量后所得出的多项式的次数问题：如果多项式f(x,y)与g(x,y)对于全部未知量来说，各有次数n与s，  

那么多项式R  (f,g)对于未知量y的次数不能大于乘积ns。  

            x  

首先，如果我们讨论首项系数等1的两个仅有一未知量的多项式，那么由(2)它们的结式R(f,g)是α  ,α   ,...,α   ,β  ,β   ,...,β  的ns次齐次多项式。

1    2       n   1    2       s

  因之，如果经系数a  ,a  ,...,a   ,b  ,b  ,...,b  表出的结式表示式中有一项

                   1    2    n    1  2    s

      k    k    k      l      l      l

        1    2   n      1     2      s                  

      a    a    …a     b      b     b

        1    2   n       1     2      s  

而且这一项的权是指下面的数,

k   +2k  +...+nk  +l   +2l  +...+sl

  1     2      n   1    2       s

那么经系数表出的R(f,g)的表示式中，所有的项都有同一的权，等于ns, 这一个论断在一般的情形对于结式(14)的项亦是正确的，如果项,

      k    k    k      l      l      l

        1    2   n      1     2      s                  

      a    a    …a     b      b     b

        1    2   n       1     2      s  

的权是指下面的数

0*k  +1*k  +...+nk   +0*l   +1*l   +...+s*l              (20)

    0     1       n    0      l         s                        

事实上，在行列式(14)中换因子a  与b  为1，我们得出行列式(12)的项，

                             0    0  

而这些因子的幂次在(20)中的系数都等于0，  所以它们的权仍为ns。现在写多项式f与g为次之形状：

            n         n-1                                                                      

f(x,y)=a   (y)x   +a  (y)x   +...+a  (y),

          0         1            n

               n         s-1                              

   g(x,y)=b  (y)x   +b   (y)x   +...+b  (y),                                

          0         1            s

因f(x,y)对于全部未知量的次数为n，

所以系数a  (y)，r=0,1,1,...,n,的次数不能超过他们的足够数r；这对于b  (y)亦是正确的。

          r                                                    r

因此结式R  (f,g)中每一个项的次数不能大于这一项的权，亦即不能大于数sn,  

           x                                                        

  这就是所要证明的结果。                    

例子：

1.求出次之方程组的公共解

       2                

f(x,y)=x   y+3xy+2y+3,

g(x,y)=2xy-2x+2y+3

为了消去未知量x，把他们写为次之形状

         2                    

f(x,y)=y*x   +(3y)*x+(2y+3),

                         }            (21)

g(x,y)=(2y-2)*x+(2y+3)  

此时,    

            y      3y     2y+3

                                        2              

            2y-2   2y+3     0        =2y  +11y+12            

    R(f,g)=              

            0      2y-2    2y+3

这样结式的根为数β=-4，β=-3/2, 以这些值代换未知量y时，  多项式(21)的首项式不等于零，所以它们的每一个与x的某一值构成这组多项式的公解。  多项式

          2                        

f(x,-4)=-4x  -12-5  

g(x,-4)=-10x-5

有公根α  =-1/2。多项式

        1  

       3         3    2    9

  f(x,-      )=-       x   -      x  

       2         2         2

        3          

  g(x,-      )=-5x              

        2  

有公根α  =0。

        2

这样一来，所予多项式组有两个解：

               1              

α  =-        ,  β  =-4,          

        1      2         1

与

                               1  

α  =0        ,  β  =-          

        2               2      2        

2.从次之多项式组消去一个未知量

            3     2                

f(x,y)=2x   y-xy   +x+5,    

       2   2     2                                          

g(x,y)=x   y   +2xy  -5y+1

因为两个多项式对于未知量y的次数都是2，  而有一个多项式对于未知量x有次数3，所以消去y较为合适。写这一组为次之形状。

           2    3                  

f(x,y)=(-x)*y   +(2x  )*y+(x+5),

                                }             (22)

         2      2                      

g(x,y)=(x  +2x)*y  -5*y+1        

且用(17)式求出它们的结式：

                   2     2          3  2        3                                  

R  (f,g)=[(-x)*1-(x+5)(x  +2x)]  -[(-x)(-5)-2x  (x  +2x)][2x  *1-(x+5)(-5)]

         8    7     6     5     4      3     2                                                                              

=4x  +8x  +11x  +84x  +161x  +154x  +96x  -125x

结式的根里面有一个等于0. 但是对于未知量x的这一个值，多项式(22)的首项系数都等于零，同时亦易知多项式f(0,y)与g(0,y)没有公根。我们没有办法求出结式的另一根。只能断定，如果我们能够求出其它的根, [例如在R  (f,g)的分解域里面]

                                  y

那么它们的每一个都不能使多项式(22)的首项系数全等于零，所以把每一个根作为未知量x的值可以得出未知量y的某一些值（一个或者甚至于许多个）组成所予多项式组的公共解。有方法存在，可以在有任意多项式未知量与多项式的多项式组中依次消去未知量。但是这一方法非常麻烦，所以在我们的课程中不予引入。

2. 判别式

类似于引入结式概念的问题，可以建立这样的问题，关于环P[x]中n次多项式f(x)有重根的条件是怎样的。设多项式f(x)首项系数等于1，且设在某一个P的扩展域中这一多项式有根a   ,a   ,...,a   。

   1   2     n

显然，在这些根里有等根的充分必要条件，是乘积

△=(a   -a   )(a   -a   )...(a   -a   )

      1   1    3    1      n   1  

*(a   -a   )(a   -a   )...(a   -a   )

   3    2    4   2      n    2

…………………….

*(a   -a   )=  ∏     (a   -a   )

    n  n-1   n≥i＞j≥1  i   j  

等于零，或者是这一乘积的平方

                         2                  

D=  ∏       (a  -a   )

     n≥i＞j≥1   i    j        

等于零，我们称D为多项式f(x)的判别式。经过根的置换后，乘积△可能变号，但判别式D任然不变，为a   ,a   ,...,a   的对称多项式，

               1   2      n

故可以用多项式f(x)的系数表出。在域P的特征为零的假设之下，为了求出这一个多项式，可以利用多项式f(x)的判别式与这一多项式和其导数的结式之间所存在的关系。这种关系的存在是想象得到的：我们从32.已知多项式有重根的充分必要条件是它和它的导数f`(x)有公根存在，因而D=0的充分必要条件为R(f,f`)=0, 由本节的(3)式,

        n              

R(f,f`)=  ∏  f`(α  )

       i=1     i

微分等式

        n              

f(x)= ∏  (x-α  )

       i=1      i

我们得出：

         n              

f`(x)= ∑  ∏  (x-α  )

        k=1  j≠k    j

   换所有项中的x以α  ，除第i个乘积外都变为零，所以有,  

                      i

      f`(α  )=  ∏  (α  -α  )  

         i     j≠i   i    j        

故,  

                n                            

        R(f,f`)=  ∏ ∏  (α  -α  )  

         i     i=1  j≠i   i    j  

在这一乘积中对于任何i与j,,i>j， 都出现两个因式：α  -α   与α  -α   。

                                                i     j      j     i

                            2      

它们的乘积等于(-1)*(α  α )    ,  

                      i   j    

  又因有

n(n-1)

  2

对足数i,j存在适合不等式n≥i>j≥1,所以

         n(n-1)                    n(n-1)    

           2                 2      2                        

R(f,f`)=(-1)       ∏  (α  -α   )   =(-1)     D          

            n≥i>j≥1  I    j

                           2                  

例：求出二次多项式f(x)=x  +bx+c的判别式, 因为f`(x)=2x+b,    

故可由本节的(17)式取a  =1,a  =b,a   =c,b   =0,b  =2,b  =b来求出R(f,f`)：      

                     0     1    2     0      1     2

        2    2       2                                                  

R(f,f`)=b  -2(b  -2c)=4c-b            

因而,

     n(n-1)              

       2                 2  

D=(-1)      R(f,f`)=-R(f,f`)=b  -4c,  

亦即与平常初等代数中所说的二次方程的判别式一致。另一求判别式的方法有如次之所述：

建立根α  ,α   ,...,α   的方次的范达蒙行列式。  

        1    2      n

在§12中已经证明

由(14)      

            1     1     …     1        

            α    α          α

              1      2          n    

              2      2          2        =   ∏    (α  -α   )=△                              

            α    α          α           n≥i>j≥1   I    j                

              1      2          n  

              n-1    n-1         n-1                                                        

            α    α          α

              1      2          n                                                          

所以判别式等于这一个行列式的平方。以矩阵的乘法规则乘出这一行列式与其转置行列式且用上节中等次之和的定义，我们得出：

            n     s      s    …    s      

                    1     2         n-1      

            s      s      s   …     s

              1      2     3         n    

    D=                                            (23)

            s      s      s   …     s

              2      3     4         n+1    

                 ……………………

            s      s      s   …     s

              n-1    n     n+1        2n-2      

  其中s   为根α  ,α  ,...,α  的k次方之和。

        k       1    2      n

                       3     2                              

例：求出三次多项式f(x)=x  +ax  +bx+c的判别式.由(23)

            3      s      s  

                     1     2        

    D=                                        

            s      s      s  

              1      2     3          

            s      s      s  

              2      3     4          

由上节我们知道

s   =σ   =-a,

  1    1

       2         2                

s   =σ   -2σ   =a  -2b,    

  2    1    2                                    

          3                3                                  

s  =σ  -3σ  σ  +3σ  =-a  +3ab-3c

      3  1    1  2    3  

  应用牛顿公式，由σ  =0我们求出      

                    4

        4    2               2   4    2        2                      

  s  =σ   -4σ  σ  +4σ  σ  +2σ  =a  -4a  b+4ac+2b                                                        

    4        1  2    1  3    2                                          

  故,

                                   2  2    3   3           2      

D=3s  s  +2s  s  s  -s  -s  s  -3s  =a  b  -4b  -4a  c+18abc-27c            (24)

     2  4   1  2  3  2  1  4    3

3.   韦达公式

设n次多项式在域P中没有根或者它的根的个数小于n。  则有域P的扩展域Q存在，使在Q中f(x)有n个根(k重根以k个计)。   故域Q上多项式f(x)可分解为线性因式的乘积，而且不能在扩展域Q使得f(x)有新的根出现。    每一个这样的域称为多项式f(x)的分解域。对于已予多项式关于其分解域的存在问题将在次节中来讨论，现在我们假定多项式f(x)有一个分解域，  来讨论次二问题：关于多项式的根据系数的关系与关于多项式的重根问题。

韦达公式.

设在环P[x]中给予首项系数为1的n次多项式f(x),

      n     n-1     n-1                                                        

f(x)=x   +a  x   +a  x  +...+a   x+a      ,

          1       2        n-1   n

且设α  ,α   ,...,α  为其根，

      1    2      n

注：对于k重根须重复写上k个。都在某一分解域Q中，则Q上多项式f(x)有次之分解式：

         f(x)=(x-α  )(x-α  )...(x-α  )

                 1    2       n

展开右边的括号，而后合并同类项，比较所得出的系数与(4)式的系数，我们得出次诸等式，称为韦达公式，把多项式的系数经由它的根来表出：

       a  =-(α  +α  +...+α   ),

        1     1   2      n

a  =α  α  +α  α  +...+α  α  +α  α  +...+α   α

  2  1   2   1  3      1 n    2  3      n-1  n  

a  =-(α   α   α   +α   α   α   ...+α    α    α   )    

   3    1   2   3     1   2   4     n-2  n-1   n                                                    

      ………………….

        n-1                                

a   =(-1)   (α   α   ...α   +α   α   ...α   +...+α   α   ...α   ),                      

n-1         1    2    n-1   1   2     n-2     2   3     n

          n                              

  a   =(-1)   (α   α   ...α   ),    

   n           1    2    n

这样一来，第k个等式的右边，k=1,2,...,n,是所有可能的k个根的乘积之和，取加号或减号随k之为偶数或奇数而定。当n=2时，这公式变为初等代数中所熟悉的二次多项式的根与系数的关系。当n=3时，亦即对于三次多项式，这公式有形状,

a  =-(α  +α   +α   ),

1     1   2    3

a   =α   α   +α   α   +α   α    ,

  2    1   2    1   3    2    3

a   =-α   α   α      ,

  3    1    2   3

已予多项式的根时，用韦达公式很容易写出这一多项式。

例如求一个有单根5,-2与重根3的四次多项式f(x)。我们有:

a  =-(5-2+3+3）=-9，

  1

a  =5*(-2)+5*3+5*3+(-2)*3+(-2)*3+3*3=17  

   2

a  =-[5*(-2)*3+5*9-2）*3+5*3*3+（-2）*3*3]=33，

   3

  a  =5*(-2)*3*3=-90,  

    4

故,

     4    3      2                      

f(x)=x   -9x  +17x  +33x-90

如果多项式f(x)的首项系数a  不为1，

                         0

那么应用韦达公式时需首先除所有的系数以a    , 这并不变更多项式的根。

                                        0

这样一来，在这一情形韦达公式给予所有系数对首项系数的比值的表示式。

重根

在上节中已经证明了，特征为0的域P上多项式f(x)没有重因式的充分必要条件，是它和它的导数互质，同时我们注意到，从f(x)在P中无重因式可推知其在域P的任一扩展域  P   中亦无重因式。用之到这一情形，P   是f(x)的某一分解域，而且回想一下上述重根的定义，

我们得到次之结果：如果特征为0的域P上多项式f(x)在已予分解域中无重根，那么它和它的导数f`(x)互质，反之，如果f(x)与其导数互质，那么在其分解域中没有重根。因之，特别的推知，在特征为0的域P上不可约多项式f(x)，在P的任何扩展域中都没有重根，对于有限特征的域，这一论断不再正确——, 这一情况在域的普遍理论里面，有显著的作用