一元多次方程解法3-招聘纳贤-中国面包师贴吧/中国烘焙网贴吧/烘焙师招聘求职贴吧

注意不满足交换律的环成为不易环，反之，满足交换律的环成为可易环,

减法公理,

7.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

b+(a-c)=(b+a)-c,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

bc+(a-b)c=ac,

b+(a-b)=a,

(a-b)c=ac-bc,

环的定义：

定义了下列1种运算（演算）的环叫做域，

除法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的商：

c=a/b,

称环P为域，如至少含有一个不为零的元素，且除开除数为零的情形外，对于其他情形，除法在它里面可以施行而且是唯一确定的，亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。元素q称为元素a与b之商且记之以符号q=a/b, 注意：域中除法的唯一性，有如在环的定义里面假设有减法的唯一性，事实上不难利用在域或环的对应定义中其它一些条件来证明。

代数无关

假设多项式环L由多项式元素a ,a ,a ,...,a 构成,

1 2 3 n

a ,a ,a ,...,a 分别为n未知量多项式,

1 2 3 n

例如a =f(x ,x ,x ,...,x )为n未知量多项式

n 1 2 3 n

1 2 3 n 1 2 n

可以假设在多项式f(x ,x ,...,x )中同类项已合并且系数为0的项已经删除。

1 2 n

环L`是环L的子环,

a ,a ,a ,...,a 等n未知量多项式的中的未知量x ，x ,x ,...,x 的系数属于域P

1 2 3 n 1 2 3 n

环L`上的元素属于环L, 环L`上的多项式元素的系数都属于域P，域P属于可易环L中，

子环L`上的元素是由n未知量多项式a ,a ,...,a 和数域P上的元素经过加减乘等运算

1 2 n

得到的。对于子环L`中的任一元素β，a ，a , a ,...,a 在域P上的系数都是唯一的,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 是环L`上不同的多项式,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 的根不在域P上，根在环L`上,

1 2 3 n

那么就称环L`上的元素和数域P代数无关，

a ，a , a ,...,a 在域P上的系数都是唯一的,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 是域P上不同的多项式,

1 2 3 n

a ，a , a ,...,a 的根在域P上，根不在环L`上

1 2 3 n

那么就称环L`上的元素和数域P代数相关，设P是可易环L内的一个子环，如果n次方程的自变量的系数存在于域P中，同时n≥1,环L中的元素a是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的代数数。反之，如果元素a不是这个方程的根，那么，环L中的元素a称为域P上的超越数。

子域，扩展域

设在域P中，有一部分元素组成集合P`，而且对于域P中的那些运算这一个集合构成一个域，亦即从P`中任意两元素a,b所得出的属于P中的元素a+b,ab,a-b,和当b≠0时的a/b都在域P`内, (P所适合的定律1，2，3，4，5显然对于P`仍能适合), 那么称P`为域P的子域，而P为域P`的扩展域。显然，域P的零元素与么元素都属于P`内，而且亦是P`的零元素和幺元素。例如有理数域是实数域的子域，所有的实数域是复数域的子域。

环属于集合，同时满足下面的条件,

域属于集合，同时满足下面的条件,

1.加法可易律：a+b=b+a,

2.加法可群律：a+(b+c)=(a+b)+c,

3.乘法可易律：ab=ba,

4.乘法可群律：a(bc)=(ab)c,

5.结合加法与乘法的分配率：(a+b)c=ac+bc,

可易环是满足可易律的环，不可易环是不满足可易律的环, 可易域是满足可易律的域，不可易域是不满足可易律的域,

卡尔丹公式的证明调用复数的方根，注：1的立方根共有三个

调用三次方程根的判别式

调用结式求方程的判别式

调用求任意未知量非线性方程的解，可参看代数几何

调用欧几里得演段

调用对称多项式的性质

调用多项式代数无关定义

调用韦达定理

方程有重根的条件

注意：非线性方程组，是n个未知量是高次方程组成的方程组, 齐次线性方程组，里面的方程的n个未知量都是相同次数的,

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是,

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

38.结式、未知量的消去法、判别式,

例：求出三次多项式f(x)=x +ax +bx+c的判别式。由(23),

3 s s

1 2

D= s s s

2 2 3

s s s

2 3 4

由上节我们知道,

s =σ =-a

1 1

2 2

s =σ -σ =a -2b

2 1 2

2 2 3

s =σ -σ σ +3σ =-a +3ab-3c

3 1 2 3

应用牛顿公式，由σ =0，我们求出,

4 2 2 4 2 2

s =σ -4σ σ +4σ σ +2σ =a -4a b-4ac+2b

4 1 1 2 1 2 2

故,

3 2 2 2 2 3 3

D=3s s +2s s s -s -s s -3s =a b -4b -4a c+18abc-27c (24)

2 4 1 2 3 2 1 4 3

所以,

2 2 3 3

D=a *0 -4*0 -4a c+18a*0*c-27c

D=-4a c-27c

因为, a=0,b=p,c=q,

所以,

D=-4a c-27c

一个域P上面的n未知量x ,x ,x ,...,x 的多项式

1 2 3 n

f(x ,x ,...,x )是指系数在数域P中的有限个形为x x ...x 各项

1 2 n 1 2 n

之和，其中所有的k ≥0

4.说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

3 2

y +ay +by+c=0 (1)

设y=x+h,得

3 2

(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0

3 2 2 3

x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0

上面方程可转化为,

x +px+q=0 (3)

其中, y=x-a/3, (2)

h=-a/3,

2 2

p=3h +b+2ah=b-a /3,

3 3

q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,

方根来表出：

3 3

2 3 2 3

-q q p q q p

x = + + + - - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 q q p

x =ε + + +ε - - +

2 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p q q p

x =ε + + +ε - - +

3 2 4 27 2 4 27

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

三.计算一元四次，五次方程的近似解法

1.计算一元四次方程的近似解

4 3 2

x +ax +bx +cx+d=0

4 4

假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,

设x=y+h，得

4 3 2

(y+h) +a (y+h) +b(y+h) +c(y+h)+d=0 (1)

化简(1)得,

4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2 2

y +4h y+6h y +4hy +h +ay +3ah y+3ahy +ah +by +2bhy+bh +cy+ch+d=0

4 3 2 2 3 2 4 3 2

y +(4h+a)y +(6h +3ah+b)y +(4h +3ah +2bh)y+h +ah +bh +ch+d=0 (2)

设 a+4h=0,得

h=-a/4,

化简(2)得

4 2 2 3 2 4 3 2

y +(6h +3ah+b)y +(4h +3ah +2bh)y+h +ah +bh +ch+d=0

设y=u-v+w，得

4 2 2 3 2 4 3 2

(u+v) +(6h +3ah+b)(u+v) +(4h +3ah +2bh)(u+v)+h +ah +bh +ch+d=0

4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2

u +4uv +6u v +4u v+v +(6h +3ah+b)u +2(6h +3ah+b)uv+(6h +3ah+b)v

3 2 3 2 4 3 2

+(4h +3ah +2bh)u+(4h +3ah +2bh)v+h +ah +bh +ch+d=0

3 3 2 2 2 3 2 3

u[u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+v[v +

2 3 2 4 3 2

(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+h +ah +bh +ch+d=0

所以，可以这样选取u,v使得

3 3 2 2 2 3 2

u[u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]=0 (3)

{

3 2 3 2 4 3 2

v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+h +ah +bh +ch+d=0 (4)

由(4)得,

3 2 3 2 4 3 2

v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]=-(h +ah +bh +ch+d=0)

3 2 3 2

v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]

4 3 2

-(h +ah +bh +ch+d)

3 2 3 2

v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)] 1

4 3 2 100000

-100000(h +ah +bh +ch+d)

由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,

3 2 3 2

v[v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]

=0.00001v

4 3 2

-100000(h +ah +bh +ch+d)

注意：

3 2 3 2 4 3 2

v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)≈-0.01v(h +ah +bh +ch+d)

4 3 2

0.01v(h +ah +bh +ch+d)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，

4 3 2

当a,b,c都小于100时，取0.01v(h +ah +bh +ch+d),

4 3 2

当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，取0.001v(h +ah +bh +ch+d),

4 3 2

当a,b,c都大于1100时，且a,b,c的值都小于10000时，取0.0001v(h +ah +bh +ch+d),

其它情况依次类推, 所以,

3 2 4 3 2 3 2

v +[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]v+(4h +3ah +2bh)≈0

上面方程（5）可转化为,

x` +p`x`+q`=0,

其中, x`=v,

2 4 3 2

p`=[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]

3 2

q`=4h +3ah +2bh

根据一元三次方程卡尔丹公式上面方程的根为:

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` q` q` p`

v = + + + - - +

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` 2 q` q` p`

v =ε + + +ε - - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q` q` p` q` q` p`

v =ε + + +ε - - +

2 2 4 27 2 4 27

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

由(3)得,

3 3 2 2 2 3 2

u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)=0 (9)

上面方程（9）可转化为,

3 2

y`` +a``y`` +b``y``+c``=0 (1)

其中, a``=4v,

b``=6h +3ah+b+6v,

3 2 3 2

c``=4v +2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)

上面方程可转化为,

x`` +p``x``+q``=0 (3)

其中,

y``=x``-a``/3 (2)

p``=-a`` +b``,

q``=-a``b``/3+c``,

上面方程的根为:

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` q`` q`` p``

u = + + + - - + -a``/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` 2 q`` q`` p``

u =ε + + +ε - - + -a``/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q`` q`` p`` q`` q`` p``

u =ε + + +ε - - + -a``/3

2 2 4 27 2 4 27

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

最后得到上面一元四次方程的解, x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` q` q` p`

x = + + + - - +

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` q`` q`` p``

+ + + + - - + -a``/3-a/4

2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` 2 q` q` p`

x =ε + + +ε - - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` 2 q`` q`` p``

+ε + + +ε - - + -a``/3-a/4

2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q` q` p` q` q` p`

x =ε + + +ε - - +

2 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q`` q`` p`` q`` q`` p``

+ε + + +ε - - + -a``/3-a/4

2 4 27 2 4 27

2.计算一元五次方程的近似解

5 4 3 2

x +ax +bx +cx +dx+e=0

5 5

假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,

设x=y+h，得

5 4 3 2

(y+h) +a (y+h) +b(y+h) +c(y+h) +d (y+h)+e=0 (1)

化简(1)得,

5 4 2 3 3 2 4 5 4 3 2 2 3

y +5hy +10h y +10h y +5h y+h +ay +4ahy +6ah y +4ah y

4 3 2 2 3 2 2

+ahn +by +3bhy +3bh y+bh +cy +2chy +ch +dy+dh+e=0

5 4 2 3 2 3 2 3 4 5

y +(a+5h)y +(4a+10h +b)y +(6ah +10h +c+3bh)y +(4ah +5h +2ch+3bh+d)y+h

4 3 2

+ah +bh +ch +dh+e=0

设a+5h=0,得, h=-a/5, x=y-a/5,

化简(2)得,

5 2 3 2 3 2 3 4 5 4

y +(4a+10h +b)y +(6ah +10h +c+3bh)y +(4ah +5h +2ch+3bh+d)y+h +ah

3 2

+bh +ch +dh+e=0

设 y=u+v，得

5 2 3 2 3 2 3 4

(u+v) +(4a+10h +b)(u+v) +(6ah +10h +c+3bh)(u+v) +(4ah +5h

5 4 3 2

+2ch+3bh+d)(u+v)+h +ah +bh +ch +dh+e=0 (3)

因为,

5 5 4 2 3 3 2 4 5

(u+v) =u +5vu +10v u +10v u +5v u+v (4)

2 3 3 2 2 3 2 3 2 2

(4a+10h +b)(u+v) =4au +12avu +12av u+4av +10h u +30h vu

2 2 2 3 3 2 2 3

+30h v u+10h v +bu +3bvu +3bv u+bv (5)

2 3 2 2 2 2 2 3 2 3

(6ah +10h +c+3bh)(u+v) =6ah u+12ah vu+6ah v +10h u +20h vu

3 2 2 2 2 2

+10h v +cu +2cuv+cu +3bhu +6bhu+3bhu (6)

3 4 3 4 3 4

(4ah +5h +2ch+3bh+d)(u+v)=4ah u+5h u+2chu+3bhu+du+4ah v+5h v+2chv+3bhv+dv (7)

化简(3)得,

4 3 2 2 3 4 2 2 2

u[u +5vu +10v u +10v u+5v +(4a+10h +b)u +3v(4a+10h +b)u

2 2 2 3 2 3

+3v (4a+10h +b) +(6ah +10h +c+3bh)u+2v(6ah +10h +c+3bh)

3 4 4 2 2 2 3

+(4ah +5h +2ch+3bh+d)]+v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v

3 4 5 4 3 2

+(4a +5h +2ch+3bh+d)]+h +ah +bh +ch +dh+e=0

所以，可以这样选取u,v，使得

4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2

u[u +5vu +10v u +10v u+5v +(4a+10h +b)u +3v(4a+10h +b)u+3v (4a+10h +b)

2 3 2 3 3 4

+(6ah +10h +c+3bh)u+2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)]=0 (8)

{

4 2 2 2 3 3 5 4 3

v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]+h +ah +bh

+ch +dh+e=0 (9)

由(9)得

4 2 2 2 3 3 4

v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]

5 4 3 2

=-(h +ah +bh +ch +dh+e)

4 2 2 2 3 3 4

v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]

5 4 3 2

-(h +ah +bh +ch +dh+e)

4 2 2 2 3 3 4

v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)] 1

5 4 3 2

-100000(h +ah +bh +ch +dh+e) 100000

由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,

4 2 2 2 3 3 4

v[v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)]

≈0.00001v

5 4 3 2

-100000(h +ah +bh +ch +dh+e)

4 2 2 2 3 3 4

v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)

5 4 3 2

≈-0.01v(h +ah +bh +ch +dh+e)

注意：

5 4 3 2

0.001v(h +ah +bh +ch +dh+e)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，

5 4 3 2

当a,b,c都小于100时，取0.01v(h +ah +bh +ch +dh+e)

当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，

5 4 3 2

取0.001v(h +ah +bh +ch +dh+e),

当a,b,c都大于1100时，且a,b,c的值都小于10000时，

5 4 3 2

取0.0001v(h +ah +bh +ch +dh+e),

其它情况依次类推, 所以,

4 2 2 2 3 3 4

v +(4a+10h +b)v +(6ah +10h +c+3bh)v+(4a +5h +2ch+3bh+d)

5 4 3 2

+0.01v(h +ah +bh +ch +dh+e)≈0

上面方程（10）可转化为,

4 2

x` +p`x` +q`x`+r`=0

上式中,

v=x`,

p`=4a+10h +b,

2 3 5 4 3 2

q`=6ah +10h +c+3bh+0.01(h +ah +bh +ch +dh+e)

4 3

r`=4a +5h +2ch+3bh+d

根据一元四次方程费拉里公式上面方程的根为:

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

v=x`= -

其中,

3 3

2 3 2 3

-q``` q``` p``` -q``` q``` p```

t` = + + + - + -p`/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q``` q``` p``` 2 -q``` q``` p```

t` =ε + + +ε - + -p`/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q``` q``` p``` -q``` q``` p```

t` =ε + + +ε - + -p`/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

p```=-r`+p` /4-p`/3,

3 2 2

q```=-p` /27-p`(-r`+p` )/12-q` /8

由(8)得

4 3 2 2 3 4 2 2 2 2 2

u +5vu +10v u +10v u+5v +(4a+10h +b)u +3v(4a+10h +b)u+3v (4a+10h +b)

2 3 2 3 3 4

+(6ah +10h +c+3bh)u+2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)=0

4 3 2 2 2 3 2 2 3

u +5vu +(10v +4a+10h +b)u +[10v +3v(4a+10h +b)+6ah +10h +c+3bh]u

4 2 3 3 4

+5v +2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)=0 (11)

上面方程（11）可转化为,

4 3 2

y`` +a``y`` +b``y`` +c``y``+d``=0

上式中, a``=5v,

2 2

b``=10v +4a+10h +b

3 2 2 3

c``=10v +3v(4a+10h +b)+6ah +10h +c+3bh

4 2 3 3 4

d``=5v +2v(6ah +10h +c+3bh)+(4ah +5h +2ch+3bh+d)

预先代以y``=x``-a``/4化方程为:

4 2

x`` +p``x`` +q``x``+r``=0

上式中,

h``=-a``/4,

2 4 3

p``=6h`` +3a``h``, r``=h`` +a``h`` +h``+d``, y``=x``-a``/4,

3 2

q``=4h`` +3a``h`` +c``

解得,

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

u=y``=x``-a``/4= -

其中,

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` = + + + - + -p``/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` 2 -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

p````=-r``+p`` /4-p``/3,

3 2 2

q````=-p`` /27-p``(-r``+p`` )/12-q`` /8

最后得到上面一元四次方程的解x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

x= -

p`` q``

2t`` ± 2t`` -4( +t`` + )

0 0 2 0 2 2t``

+ - -a``/4-a/4

3.由数学归纳法可知，计算一元n次方程近似解的公式如下

n 3 2

x +...+ax +bx +cx+d=0

4 4

假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,

设x=y+h，得,

n 3 2

(y+h) +...+a (y+h) +b(y+h) +c(y+h)+d=0 (1)

化简(1)得,

n n 3 2 2 3 2 2

y +...+h +...+ay +3ah y+3ahy +ah +by +2bhy+bh +cy+ch+d=0

n n-1 2 3 4 3 2

y +(nh+a)y +(...+3ah+b)y +(...+3ah +2bh)y+...+h +ah +bh +ch+d=0 (2)

设a+nh=0,得, h=-a/n

化简(2)得,

n 2 3 4 3 2

y +(...+3ah+b)y +(...+3ah +2bh)y+...+h +ah +bh +ch+d=0

n次方程各项的系数可以通过二项式定理计算, 二项式展开公式如下:

n 0 n 1 n-1 k n-k k n n

(a+b) =C a +C a b+...+C a b +...+C b

n n n n

设y=u-v+w，得

n 2 3 4 3 2

(u+v) +(...+3ah+b)(u+v) +(...+3ah +2bh)(u+v)+...+h +ah +bh +ch+d=0

n-1 3 3 2 2 2 3 2

u[u +...+u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]

n-1 3 2 3 2 n 4 3 2

+v[v +...+v +(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]+h +...+h +ah +bh +ch+d=0

所以，可以这样选取u,v使得,

n-1 3 3 2 2 2 3 2

u[u +...+u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)]=0 (3)

{

n-1 3 2 3 2 n 4 3 2

v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]+h +...+h +ah +bh +ch+d=0 (4)

由(4)得,

n-1 3 2 3 2 n 4 3 2

v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]=-(h +...+h +ah +bh +ch+d)

n-1 3 2 3 2

v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]

n 4 3 2

-(h +...+h +ah +bh +ch+d)

n-1 3 2 3 2

v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)] 1

n 4 3 2 100000

-100000(h +...+h +ah +bh +ch+d)

由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,

n-1 3 2 3 2

v[v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)]

≈0.00001v

n 4 3 2

-100000(h +...+h +ah +bh +ch+d)

注意：

n-1 3 2 3 2 4 3 2

v +...+v +(6h +3ah+b)v +(4h +3ah +2bh)≈-0.01v(h +ah +bh +ch+d)

n 4 3 2

0.01v(h +...+h +ah +bh +ch+d)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，

n 4 3 2

当a,b,c都小于100时，取0.01v(h +...+h +ah +bh +ch+d),

n 4 3 2

当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，取0.001v(h +...+h +ah +bh +ch+d),

当a,b,c都大于1100时，且a,b,c的值都小于10000时，

n 4 3 2

取0.0001v(h +...+h +ah +bh +ch+d)

其它情况依次类推, 所以,

n-1 3 2 4 3 2 3 2

v +...+v +[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]v+(4h +3ah +2bh)≈0 (5)

上面方程（5）可转化为:

n-1

x` +...+p`x`+q`=0

其中, x`=v,

2 4 3 2

p`=[(6h +3ah+b)+0.01(h +ah +bh +ch+d)]

3 2

q`=4h +3ah +2bh

根据一元n-1次方程求根公式:

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` -q` q` p`

v = + + + - + (6)

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` 2 -q` q` p`

v =ε + + +ε - + (7)

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q` q` p` -q` q` p`

v =ε + + +ε - + (8)

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

由(3)得,

n-1 3 3 2 2 2 3 2

u +...+u +4v +6uv+4u v+(6h +3ah+b)u+2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)=0 (9)

上面方程（9）可转化为:

n-1 2

y`` +...+a``y`` +b``y``+c``=0 (1)

其中, a``=4v,

2 3 2 3 2

b``=6h +3ah+b+6v, c``=4v +2(6h +3ah+b)v+(4h +3ah +2bh)

上面方程可转化为:

n-1

x`` +...+p``x``+q``=0 (3)

其中,

y``=x``-a``/3 (2)

p``=-a`` +b`` , q``=-a``b``/3+c``

上面方程的根为:

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` -q`` q`` p``

u = + + + - + -a``/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` 2 -q` q` p`

u =ε + + +ε - + -a``/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q` q` p` -q` q` p`

u =ε + + +ε - + -a``/3

2 2 4 27 2 4 27

其中, ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是:

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

最后得到上面一元n-1次方程的解, x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` -q` q` p`

x = + + + - +

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` -q`` q`` p``

+ + + + - + -a``/3-a/4

2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q` q` p` 2 -q` q` p`

x =ε + + +ε - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q`` q`` p`` 2 -q`` q`` p``

+ε + + +ε - + -a``/3-a/4

2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q` q` p` -q` q` p`

x =ε + + +ε - +

2 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q`` q`` p`` -q`` q`` p``

+ε + + +ε - + -a``/3-a/4

2 4 27 2 4 27

5. 说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

3 2

y +ay +by+c=0

上面方程可转化为:

x +px+q=0

其中, y=x-a/3, h=-a/3,

2 2 3 2

p=3h +b+2ah=b-a /3, q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c

上面方程的根为:

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

y = + + + - +

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 -q q p

y =ε + + +ε - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p -q q p

y =ε + + +ε - +

2 2 4 27 2 4 27

其中, ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是:

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

2 3 2 3

-q q p -q q p

a = + + b= + +

2 4 27 2 4 27

5.一元四次方程费拉里求根公式

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0 (13)

预先代以y=x-a/4化方程(13)为:

4 2

x +px +qx+r=0

上式中h=-a/4, y=x-a/4,

2 4 3 3 2

p=6h +3ah, r=h +ah +h+d, q=4h +3ah +c,

解得,

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

u=y``=x``-a``/4= -

其中,

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` = + + + - + -p``/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` 2 -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

p````=-r``+p`` /4-p``/3,

3 2 2

q````=-p`` /27-p``(-r``+p`` )/12-q`` /8

最后得到上面一元四次方程的解x=y+h=u+v+h=u+v-a/4,

p q

2t ± 2t -4( +t + )

0 0 2 0 2 2t

y=x-a/4= - -a/4

其中,

3 3

2 3 2 3

-q q p -q q p

t = + + + - + -p/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 -q q p

t =ε + + +ε - + -p/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p -q q p

t =ε + + +ε - + -p/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

2 3 2 2

p`=-r+p /4-p/3, q`=-p /27-p(-r+p )/12-q /8,

7.二项式定理：

二项式展开公式

n 0 n 1 n-1 k n-k k n n

(a+b) =C a +C a b+...+C a b +...+C b

n n n n

二项式系数：

0 1 2 r n

C C C … C … C

n n n n n

二项式展开的通项:

k n-k k

T =C a b

k+1 n

n n

(b+a) ,(a-b) 的通项规则分别为：

k n-k k

T =C a a

k+1 n

k n-k k

T =C a (-b)

k+1 n

4.在定理中，令a=1,b=x,则

n 0 1 k k n n

(1+x) =C +C x+...+C x +...+C x

n n n n

四.计算一元六次方程的近似解

6 5 4 3 2

x +ax +bx +cx +dx +ex+f=0

6 6

假设x 的系数k ≠1, 可以给方程左边同时除以k，使x 的系数k变成1,

设 x=y+h，得

6 5 4 3 2

(y+h) +a (y+h) +b(y+h) +c(y+h) +d (y+h) +e(y+h)+f=0 (1)

化简(1)得

6 4 2 5 3 3 2 4 5 6 5 4 2 3 3 2

y +15h y +6hy +20h y +15h y +6h y+h +ay +5ayh +10ay h +10ay h

4 5 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 2

+5ay h+ah +by +4bh y+6bh y +4bhy +bh +cy +3ch y+3chy +ch +dy

+2dhy+h +ey+eh+f=0

6 5 2 4 4 3 2 3 4 3 2

y +(6h+a)y +(15h +5ah +b)y +(20h +10ah +4bh+c)y +(15h +10ah +6bh

2 5 4 3 2 6 5 4 3 2

+3ch+d)y +(6h +5ah +4bh +3ch +2dh)y+h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f=0 (2)

设6h+a=0,得h=-a/6

化简(2)得

6 2 4 4 3 2 3 4 3 2 2

y +(15h +5ah +b)y +(20h +10ah +4bh+c)y +(15h +10ah +6bh +3ch+d)y

5 4 3 2 6 5 4 3 2

+(6h +5ah +4bh +3ch +2dh)y+h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f=0

设y=u+v，得

6 2 4 4 3 2 3 4 3 2

(u+v) +(15h +5ah +b)(u+v) +(20h +10ah +4bh+c)(u+v) +(15h +10ah +6bh

2 5 4 3 2 6 5 4 3 2

+3ch+d)(u+v) +(6h +5ah +4bh +3ch +2dh)(u+v)+h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f=0

化简(3)，得

5 2 3 4 3 2 4 5 2 4 3 3 2 4

u[u +15v u +6vu +20v u +15v u+6v +(15h +5ah +b)u +4v (15h +5ah +b)

2 2 4 2 2 4 3 2 2

+6v u(15h +5ah +b)+4vu (15h +5ah +b)+(20h +10ah +4bh+c)u

2 3 2 3 2 4 3 2

+3v (20h +10ah +4bh+c)+3vu(20h +10ah +4bh+c)+u(15h +10ah +6bh +3ch+d)

4 3 2 5 4 3 2 4 2 4 3

+2v(15h +10ah +6bh +3ch+d)+6h +5ah +4bh +3ch +2dh]+v[v +(15h +5ah +b)v

3 2 2 4 3 2 5 4 3 2

+(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h +5ah +4bh +3ch +2dh]

6 5 4 3 2

+h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f=0=0

所以，可以这样选取u,v使得,

5 2 3 4 3 2 4 5 2 4 3 3 2 4

u[u +15v u +6vu +20v u +15v u+6v +(15h +5ah +b)u +4v (15h +5ah +b)

2 2 4 2 2 4 3 2 2

+6v u(15h +5ah +b)+4vu (15h +5ah +b)+(20h +10ah +4bh+c)u

2 3 2 3 2 4 3 2

+3v (20h +10ah +4bh+c)+3vu(20h +10ah +4bh+c)+u(15h +10ah +6bh +3ch+d)

4 3 2 5 4 3 2

+2v(15h +10ah +6bh +3ch+d)+6h +5ah +4bh +3ch +2dh]=0 (4)

{

4 2 4 3 3 2 2 4 3 2 5

v[v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h

4 3 2 6 5 4 3 2

+5ah +4bh +3ch +2dh]+h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f=0=0 (5)

由(5)得

4 2 4 3 3 2 2 4 3 2 5

v[v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h

4 3 2 6 5 4 3 2

+5ah +4bh +3ch +2dh]=-(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

4 2 4 3 3 2 2 4 3 2 5

v[v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h

4 3 2

+5ah +4bh +3ch +2dh]

6 5 4 3 2

-(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

4 2 4 3 3 2 2 4 3 2 5

v[v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h

4 3 2

+5ah +4bh +3ch +2dh] 1

6 5 4 3 2 100000

-100000(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

由于上面方程左右两边的值都小于0.0001，所以给方程左边除以一个数v，再给方程右边乘以一个数v，方程左右两边近似相等,

4 2 4 3 3 2 2 4 3 2 5

v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h

4 3 2

+5ah +4bh +3ch +2dh

≈0.00001v

6 5 4 3 2

-100000(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

注意：

5 2 4 3 3 2 2 4 3 2

v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v

5 4 3 2 6 5 4 3 2

+6h +5ah +4bh +3ch +2dh≈-0.01(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

6 5 4 3 2

0.01(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)中的0.0001的取值和方程系数a,b,c有关系有关系，

6 5 4 3 2

当a,b,c都小于100时，取0.01(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

当a,b,c都大于100时，且a,b,c的值都小于1000时，

6 5 4 3 2

取0.001(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

当a,b,c都大于1000时，且a,b,c的值都小于10000时，

6 5 4 3 2

取0.0001(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

其它情况依次类推, 所以,

5 2 4 3 3 2 2 4 3 2 5

v +(15h +5ah +b)v +(20h +10ah +4bh+c)v +(15h +10ah +6bh +3ch+d)v+6h

4 3 2 6 5 4 3 2

+5ah +4bh +3ch +2dh+0.01(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)≈0 (6)

根据上节所求的一元五次方程的求根公式，u=u`+v`,

下面是计算v`的方程:

5 4 3 2

x` +a`x` +b`x` +c`x` +d`x`+e`=0

上式中, v=x`,a`=0,

2 4 3 2 4 3 2

b`=15h +5ah +b, c`=20h +10ah +4bh+c, d`=15h +10ah +6bh +3ch+d,

5 4 3 2 6 5 4 3 2

e`=6h +5ah +4bh +3ch +2dh+0.01(h +ah +bh +ch +dh +ey+eh+f)

上面方程可转化为:

4 2

y` +p`y` +q`y`+r`=0

上式中, x`=y`-a`/5, h`=-a`/5,

2 2 3 5 4 3 2

p`=4a`+10h` +b`,q`=6a`h` +10h` +c`+3b`h`+0.01(h` +a`h` +b`h` +c`h` +d`h`+e`)

4 3

r`=4a` +5h` +2c`h`+3b`h`+d`

根据上节所求的一元五次方程的求根公式，y`=u`+x`

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

v`= - -a/4

其中,

3 3

2 3 2 3

-q``` q``` p``` -q``` q``` p```

t` = + + + - + -p`/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q``` q``` p``` 2 -q``` q``` p```

t` =ε + + +ε - + -p`/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q``` q``` p``` -q``` q``` p```

t` =ε + + +ε - + -p`/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

2 3 2 2

p`=-r+p /4-p/3, q`=-p /27-p(-r+p )/12-q /8,

下面是计算u`的方程,

4 3 2

y`` +a``y`` +b``y`` +c``y``+d``=0

上式中, u`=y``, a``=5v`,

2 2 2

b``=10v` +4a`+10h` +b`=10v` +b`

3 2 2 3 3

c``=10v` +3v`(4a`+10h` +b`)+6a`h` +10h` +c`+3b`h`=10v` +3v`b`+c`

4 2 3 3 4 4

d``=5v` +2v`(6a`h` +10h` +c`+3b`h`)+(4a`h` +5h` +2c`h`+3b`h`+d`)=5v` +2c`v`+d`

2 4 3

h``=-a``/4, p``=6h`` +3a``h``, r``=h`` +a``h`` +h``+d``,

3 2

y``=x``-a``/4, q``=4h`` +3a``h`` +c``

解得,

p`` q``

2t`` ± 2t`` -4( +t`` + )

0 0 2 0 2 2t``

u`= - -a``/4

其中,

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` = + + + - + -p``/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` 2 -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

2 3 2 2

p````=-r``+p`` /4-p``/3, q````=-p`` /27-p``(-r``+p`` )/12-q`` /8,

最后得到上面一元四次方程的解, v=u`+v`-a`/4,

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t`` + )

0 0 2 0 2 2t`

p`` q``

2t`` ± 2t`` -4( +t`` + )

0 0 2 0 2 2t``

+ -a``/4-a`/4

2. 由(4)得

5 2 3 4 3 2 4 5 2 4 3

u +15v u +6vu +20v u +15v u+6v +(15h +5ah +b)u

3 2 4 2 2 4 2 2 4

+4v (15h +5ah +b)+6v u(15h +5ah +b)+4vu (15h +5ah +b)

3 2 2 2 3 2

+(20h +10ah +4bh+c)u +3v (20h +10ah +4bh+c)

3 2 4 3 2

+3vu(20h +10ah +4bh+c)+u(15h +10ah +6bh +3ch+d)

4 3 2 5 4 3 2

+2v(15h +10ah +6bh +3ch+d)+6h +5ah +4bh +3ch +2dh=0 (7)

根据上节所求的一元五次方程的求根公式，u=u`+v`,

下面是计算v`的方程,

5 4 3 2

x` +a`x` +b`x` +c`x` +d`x`+e`=0

上式中, v`=x`, a`=6v,

2 2 4

b`=15v +15h +5ah +b

3 2 4 3 2

c`=20v +4v(15h +5ah +b)+20h +10ah +4bh+c

4 2 2 4 3 2 4 3 2

d`=15v +6v (15h +5ah +b)+3v(20h +10ah +4bh+c)+15h +10ah +6bh +3ch+d

2 3 2 4 3 2 5 4 3 2

e`=3v (20h +10ah +4bh+c)+2v(15h +10ah +6bh +3ch+d)+6h +5ah +4bh +3ch +2dh

上面方程可转化为,

4 2

y` +p`y` +q`y`+r`=0

上式中, x`=y`-a`/5, h`=-a`/5,

p`=4a`+10h` +b`,

2 3 5 4 3 2

q`=6a`h` +10h` +c`+3b`h`+0.01(h` +a`h` +b`h` +c`h` +d`h`+e`)

4 3

r`=4a` +5h` +2c`h`+3b`h`+d`

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

v`=

其中,

3 3

2 3 2 3

-q``` q``` p``` -q``` q``` p```

t` = + + + - + -p`/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q``` q``` p``` 2 -q``` q``` p```

t` =ε + + +ε - + -p`/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q``` q``` p``` -q``` q``` p```

t` =ε + + +ε - + -p`/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

2 3 2 2

p```=-r`+p` /4-p`/3, q```=-p` /27-p`(-r`+p` )/12-q` /8,

下面是计算u`的方程

4 3 2

y`` +a``y`` +b``y`` +c``y``+d``=0

上式中, u`=y``, a``=5v`,

2 2 3 2 2 3

b``=10v` +4a`+10h` +b`, c``=10v` +3v`(4a`+10h` +b`)+6a`h` +10h` +c`+3b`h`

4 2 3 3 4

d``=5v` +2v`(6a`h` +10h` +c`+3b`h`)+(4a`h` +5h` +2c`h`+3b`h`+d`)

预先代以y``=x``-a``/4化方程为:

4 2

x`` +p``x`` +q``x``+r``=0

2 4 3

h``=-a``/4, p``=6h`` +3a``h``, r``=h`` +a``h`` +h``+d``,

3 2

y``=x``-a``/4, q``=4h`` +3a``h`` +c``,

r`=4a` +5h` +2c`h`+3b`h`+d`

p`` q``

2t`` ± 2t`` -4( +t`` + )

0 0 2 0 2 2t``

u`= -a``/4

其中,

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` = + + + - + -p``/3

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q```` q```` p```` 2 -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q```` q```` p```` -q```` q```` p````

t`` =ε + + +ε - + -p``/3

2 2 4 27 2 4 27

上式中,

2 3 2 2

p````=-r``+p`` /4-p`/3, q````=-p`` /27-p``(-r``+p`` )/12-q`` /8,

最后得到上面一元四次方程的解, v=u`+v`-a`/4,

p` q`

2t` ± 2t` -4( +t` + )

0 0 2 0 2 2t`

p`` q``

2t`` ± 2t`` -4( +t`` + )

0 0 2 0 2 2t``

+ -a``/4-a`/4

3. 换元求分数次幂方程法

计算一元3/2次方程的近似解,

2 3/2 1/2

x +ax +bx+cx +d=0 (1)

设,

1/2

x =y,

即,

3/2 3

x =y

2 4

x =y

则(1)可以化简为

4 3 2

y +ay +by +cy+d=0

这个方程可以根据上面的一元四次方程求根公式解出,

计算一元2/3次方程的近似解,

2 2/3 1/3

x +ax +bx+cx +d=0 (1)

设,

1/3

x =y

即,

2/3 2

x =y

2 6

x =y

则(1)可以化简为

6 2 3

y +ay +by +cy+d=0

这个方程可以根据上面的一元六次方程求根公式解出,

计算一元2/3次方程的近似解,

2 2/3 1/2

x +ax +bx+cx +d=0 (1)

设,

1/3

x =y

1/2

x =y

即,

2 4

x =y

x=z

2/3 2

x =y

3 2

y =z

则(1)可以化简为,

4 2 3

z +ay +bz +cz+d=0

{

3 2

y =z

这个方程可以根据上面的一元四次方程求根公式解出

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中国面包师贴吧-楼主(阅：3829/回：0)一元多次方程解法3