三角函数泰勒级数推导6-展柜原料-中国面包师贴吧/中国烘焙网贴吧/烘焙师招聘求职贴吧

计算sin x的函数值方法2

根据戴劳公式

2 4 2k

x x k-1 x

cos x=1- + + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

在上式中，可推导, 等比数列通项公式

n x

a =(-1)

n (2n)!

根据[393]司特林公式

n n 12n

n!= 2πn ( ) * e （0<θ<1)

所以

2n 2n 12(2n)

(2n)!= 2π(2n) ( ) * e （0<θ<1)

等比数列公比

n-1

n-1 2n

(-1) x

(2n)!

n-2 2n-2

(-1) x

(2n-2)!

(2n)(2n-1)

当q<1时,

等比数列前n项和

2 2n

-x n x

1- (-1)

a -a *q (2n)(2n-1) (2n)!

S = 1 n = 2

n1 1-q -x

(2n)(2n-1)

2 2n

x n x

1+ (-1)

(2n)(2n-1) θ

2n 2n 12(2n)

2π(2n) ( ) * e

(2n)(2n-1)

所以，模拟计算机可以使用下面的公式计算三角函数

2 4 2k

x x k x

cos x=1- + + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

2 2n

x n x

1+ (-1)

(2n)(2n-1) θ

2n 2n 12(2n)

2π(2n) ( ) * e

(2n)(2n-1)

设setθ=0.5, 当x=3.14时, 设n=1000

2 2n

x n x

1+ (-1)

(2n)(2n-1) θ

2n 2n 12(2n)

2π(2n) ( ) * e

cosx=

(2n)(2n-1)

2 2*1000

3.14 1000 3.14

1+ (-1)

(2*1000)(2*1000-1) 0.5

2*1000 2*1000 12(2*1000)

2π(2*1000) ( ) * 2.718

2.718

cos3.14=

3.14

(2*1000)(2*1000-1)

2 2*1000

3.14 1000 3.14

1+ (-1)

(2*1000)(2*1000-1) 0.5

2*1000 2*1000 12(2*1000)

2π(2*1000) ( ) * 2.718

2.718

3.14

(2*1000)(2*1000-1)

2 2*1000

3.14 1000 3.14

1+ *(-1)

(2*1000)(2*1000-1) 0.5

2*1000 2*1000 12(2*1000)

2π(2*1000) ( ) * 2.718

2.718

第十七部分无穷级数欧拉常数

358.8)依定理2

(a) (b>0) 当s>1时收敛，当s≤1时发散：

0 (a+bn)

1 1 1

: →

s s s

(a+bn) n b

(б) 发散；

n n

1 1

: →1

n n n

(в) sin (0<x<π) 发散；

1 1

sin : →x

n n

类似的，级数

log(1+ ) (x<0)

及

( a -1) (a≠1)也发散；

(г) （1-cos ）收敛；

x 1 x

1-cos : 2 →

n n n

9)下面是这种类型的更复杂的例子：

log n n

(a) （1- ）

用x 表示这个级数的普遍项对1/n的比值

log n

log x =log n+n log(1- )

n n

利用在125，5）中讲到的log(1+x)的展开式，可以写出

log n log n 1 log n 2 log n n

log(1- )=- - ( ) +a *( )

n n 2 n n n

其中a →0，当n→∞时，于是

2 2

1 log n log n

log x =- ( ) +a *( ) →0

n 2 n n n

因而x →1，即所给的级数发散

2n+1

(б) (n log -1 )

2n-1

这儿也利用log(1+x)的展开式，有

2n+1 2

log =log(1+ )

2n-1 2n-1

2 1 2 2 1 2 3 2 3

= - ( ) + ( ) +β *( )

2n-1 2 2n-1 3 2n-1 n 2n-1

其中β →0，当n→∞时，于是

2n+1 2n+3 1 2 8n 1 2

n log -1= *( ) +β * ( ) *( )

2n-1 3(2n-1) 2n-1 n 2n-1 2n-1

1 2

这样，所考虑的级数的普遍项对( ) 的比值具有极限1/3，

2n-1

10)最后考虑级数

1 n+1

( - log n ）

n n

用微分学的方法容易确立不等式：

log (1+x)<x (x≠0,-1<x<+∞)

这是因为

[log (1+x)]`=

1+x

x`=1,

< (x≠0,-1<x<+∞)

(1+x) ln10

所以log (1+x)<x (x≠0,-1<x<+∞), 利用这不等式，可以写出：

n+1 1 1

log = =log(1+ )<

n n n

同时

n+1 n 1 1

log = =-log =-log(1+ )>

n n+1 n+1 n+1

于是

1 n+1 1 1 1

0< -log < - =

n n n n+1 n(n+1)

由此可见，给定级数的各项都是正的且小于收敛级数

[354,4)]

n(n+1)

注：

1 1 1

≡ ( - )

n(n+1) n n+1

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

1 k+1

( - log ) =H -log(n+1)→C

n k n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。这儿可以用log n代替log(n+1)，因为它们的差数等于 n

log(1+ )

这个差数趋于0. 最后：用γ 表示某一无穷小，对于H 我们有一个著名的公式

n n

H =log n+C+γ (4)

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。所以,

1 k+1

( - log ) =H -log(n+1)→C

n k n

1 k+1

( - log ) =log n -log(n+1)+C +γ

n k n

公式(4)中固定的常数C叫欧拉常数。这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.57721566490...

358.10a)最后考虑级数

用微分学的方法容易确立不等式：

<1 (1<x<+∞)

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

=H →C

n n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H = +C+γ (4a)

n n+1 n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

=H →C

n n

1 n

= +C +γ

n n+1 n

公式(4)中固定的常数C叫欧拉常数。这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.57721566490...*π=0.57721566490...*3.1415926=1.813376,

即C=0.57721566490*a, a为校正系数

利用数学归纳法可知

1 1

=1+ =1.5

2 2

≈1/3+C=0.3333+0.5721566490*2=0.3333+1.1544313298=1.487761

1 1 1

=1+ + =1.83333

3 2 3

≈2/4+C=0.5+0.5721566490*2=1.93039

1 1 1 1 1 1 1 1 1

=1+ + + + + + + + =2.8289347111

9 2 3 4 5 6 7 8 9

1 9

≈ +C=0.9+0.57721566490*3.1415=2.713376

9 9+1

358.10b)最后考虑级数

用微分学的方法容易确立不等式：

<1 (1<x<+∞)

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

=H →C

n! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H = +C+γ (4b)

n n+1 n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

=H →C

n! n

1 n

= +C +γ

n! n+1 n

公式(4)中固定的常数C叫欧拉常数。这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.57721566490...*2=1.15443131298,

即C=0.57721566490*a, a为校正系数

利用数学归纳法可知

1 1

=1+ =1.5

2! 2!

≈1/2+C=0.5+0.5721566490*2=0.30103+1.1544313298=1.45546

1 1 1

=1!+ + =1.6666

3! 2! 3!

≈2/3+C=0.666+0.5721566490*2=1.8043

1 1 1 1

=1+ + + =1.7

4! 2! 3! 4!

1 1 1 1 1

=1+ + + + =1.71

5! 2! 3! 4! 5!

≈4/5+C=0.8+C =0.8+0.5721566490*2= 1.944

1 1 1

e=1+ + +…+ +…

1! 2! n!

=1+

=1+ +C+γ

n+1 n

358.10c)最后考虑级数

n-1 2n-1

sin x= (-1) x

(2n-1)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n-1 2n-1

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n-1)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H = log(2/π)*x+(2/π)*x*0.001+1 +C+γ (0<x<π/2) (4c)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

n-1 2n-1

sin x= (-1) x = log(2/π)*x+(2/π)*x*0.001+1 +C+γ (0<x<π/2)

(2n-1)! n

公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

sin 0.8=0.717356

sin 0.8= log(2/π)*x+(2/π)*x*0.001+0.01+1= log(1/1.57)*0.8+(1/1.57)*0.8*0.01+0.01+1

= -0.2928+0.0050955+0.01+1 =0.7172

sin 1=0.84147098

sin 1= log(2/π)*x+(2/π)*x*0.001+0.01+1= log(1/1.57)*1+(1/1.57)*1*0.01+1

= -0.1958+0.006369420.01+1 =0.82056

sin 1.5=0.9974

sin 1.5= log(2/π)*x+(2/π)*x*0.001+0.01+1= log(1/1.57)*1.5+(1/1.57)*1.5*0.01+1

= -0.0198+0.00955+0.01+1 =0.99975

358.10d)最后考虑级数

n-1 2n-1

sin x= (-1) x

(2n-1)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n-1 2n-1

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n-1)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =log(1/π)*(π-x)+(1/π)*(π-x)*0.001+1 +C+γ (π/2<x<π) (4d)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

n-1 2n-1

sin x= (-1) x = log(2/π)*(π-x)+(2/π)*(π-x)*0.001+1+C+γ (π/2<x<π)

(2n-1)! n

公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

sin 1.7=0.99164810

sin 1.7=log(2/π)*(π-x)+(2/π)*(π-x)*0.001+0.01+1

=log(1/1.57)*(3.14-1.7)+(1/1.57)*(3.14-1.7)*0.01+0.01+1

=-0.0375371+0.000917197+0.01+1=0.97338

sin 2.3=0.745705

sin 2.3=log(2/π)*(π-x)+(2/π)*(π-x)*0.001+0.01+1

=log(1/1.57)*(3.14-2.3)-(1/1.57)*(3.14-2.3)*0.01-0.01+1

=-0.27162+0.0053503+0.01+1=0.7437

sin 2.8=0.3349

sin 2.8=log(2/π)*(π-x)+(2/π)*(π-x)*0.001+0.01+1

=log(1/1.57)*(3.14-2.8)-(1/1.57)*(3.14-2.8)*0.01-0.01+1

=-0.6644+0.0021656+0.01+1=0.3477656

358.10e)最后考虑级数

n-1 2n-1

sin x= (-1) x

(2n-1)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n-1 2n-1

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n-1)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =-log(1/π)*(x-π/2)-(1/π)*(x-π/2)*0.001-1-C-γ (π<x<3π/2) (4e)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

n-1 2n-1

sin x= (-1) x =-log(2/π)*(x-π/2)-(2/π)*(x-π/2)*0.001-1-C-γ (π<x<3π/2)

(2n-1)! n

公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

sin 3.3=-0.1577

sin3.3=-log(2/π)*(x-π)-(2/π)*(x-π)*0.001-0.01-1

=-log(1/1.57)*(3.3-3.14)+(1/1.57)*(3.3-3.14)*0.01-0.01-1

=0.9917796-0.0010191-0.01-1=-0.0192395

sin 3.8=-0.61185

sin 3.8=-log(2/π)*(x-π)-(2/π)*(x-π)*0.001-0.01-1

=-log(1/1.57)*(3.8-3.14)+(1/1.57)*(3.8-3.14)*0.01-0.01-1

=0.37635-0.004263-0.01-1=0.637913

sin 4.1=-0.81827

=-log(1/1.57)*(3.8-3.14)+(1/1.57)*(3.8-3.14)*0.01-0.01-1

=0.2136-0.006114-0.001-1=-0.8964

358.10f)最后考虑级数

n-1 2n-1

sin x= (-1) x

(2n-1)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n-1 2n-1

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n-1)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =-log(1/π)*(x-π/2)-(1/π)*(x-π/2)*0.001-1-1-C-γ (3π/2<x<2π) (4f)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n-1 2n-1

(-1) x =H →C

(2n-1)! n

n-1 2n-1

sin x= (-1) x =-log(2/π)*(2π-x)-(2/π)*(2π-x)*0.001-1-C-γ (3π/2<x<2π)

(2n-1)! n

公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

sin 4.9=-0.982452

sin 4.9=-log(2/π)*(2π-x)-(2/π)*(2π-x)*0.001-1

=-log(1/1.57)*(6.28-4.9)+(1/1.57)*(6.28-4.9)*0.01-0.01-1

=0.056020-0.0087898-0.01-1=-0.9627098

sin 5.2=-0.8834

sin 5.2=-log(2/π)*(x-π)-(2/π)*(x-π)*0.001-0.01-1

=-log(1/1.57)*(6.28-5.2)+(1/1.57)*(6.28-5.2)*0.01-0.01-1

=0.37635-0.004263-0.01-1=0.637913

sin 4.1=-0.81827

sin 4.1=log(1/1.57)*(4.1-3.14)+(1/1.57)*(4.1-3.14)*0.01-0.01-1

=0.197284-0.006878-0.01-1=-0.819594

358.11a)最后考虑级数

n 2n

cos x= (-1) x

(2n)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n 2n

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =-log(2/π)*(π/2-x)+(2/π)*(π/2-x)*0.01+1+C+γ (0<x<π/2) (5a)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

n 2n

cos x= (-1) x =-log(2/π)*(π/2-x)+(2/π)*(π/2-x)*0.01+1+C+γ (3π/2<x<2π)

(2n)! n

公式(5a)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

cos 0.2=0.98006

cos 0.2=-log(2/π)*(π/2-x)+(2/π)*(π/2-x)*0.001+1

=-log(1/1.57)*(1.57-0.2)+(1/1.57)*(1.57-0.2)*0.01+0.01+1

=-0.059179+0.001273+0.01+1=0.952093

cos 1=0.540302

cos 1=-log(2/π)*(π/2-x)+(2/π)*(π/2-x)*0.001+1

=-log(1/1.57)*(1.57-1)+(1/1.57)*(1.57-1)*0.001+0.01+1

=-0.440024+0.003630+0.01+1=0.573606

cos 1.4=0.1699

cos 1.4=-log(2/π)*(π/2-x)+(2/π)*(π/2-x)*0.001+1

=-log(1/1.57)*(1.57-1.4)+(1/1.57)*(1.57-1.4)*0.001+0.01+1

=-0.9654+0.0010828+0.01+1=0.0456828

358.11b)最后考虑级数

n 2n

cos x= (-1) x

(2n)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n 2n

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =-log(1/π)*(x-π/2)-(1/π)*(x-π/2)*0.01-1-C-γ (π/2<x<π) (5b)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

n 2n

cos x= (-1) x =-log(1/π)*(x-π/2)-(1/π)*(x-π/2)*0.01-1-C-γ (π/2<x<π)

(2n)! n

公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

cos 1.7=-0.1288

cos 1.7=-log(2/π)*(x-π/2)-(2/π)*(x-π/2)*0.001-0.01-1

=-log(1/1.57)*(1.7-1.57)-(1/1.57)*(1.7-1.57)*0.01-0.01-1

=1.08195-0.008080-0.01-1=0.06387

cos 2.3=-0.6627

cos 2.3=-log(2/π)*(x-π/2)-(2/π)*(x-π/2)*0.001-0.01-1

=log(1/1.57)*(2.3-1.57)-(1/1.57)*(2.3-1.57)*0.01-0.01+1

=0.332576-0.00464968-0.01-1=-0.68207368

cos 2.8=-0.9422

cos 2.8=-log(2/π)*(x-π/2)-(2/π)*(x-π/2)*0.001-0.01-1

=log(1/1.57)*(2.8-1.57)-(1/1.57)*(2.8-1.57)*0.01-0.01+1

=0.105994-0.007834-0.01-1=-0.91184

358.11c)最后考虑级数

n 2n

cos x= (-1) x

(2n)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n 2n

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =-log(2/π)*(3π/2-x)-(2/π)*(3π/2-x)*0.01-1+C+γ (π<x<3π/2) (5c)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

n 2n

cos x= (-1) x =-log(2/π)*(3π/2-x)-(2/π)*(3π/2-x)*0.01-1-C-γ (π<x<3π/2)

(2n)! n

公式(5c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

cos 3.3=-0.99834

cos 3.3=-log(2/π)*(3π/2-x)+(2/π)*(3π/2-x)*0.01-1-0.01

=-log(1/1.57)*(4.71-3.3)+(1/1.57)*(4.71-3.3)*0.01-0.01

=0.04668-0.008980-0.01-1=-0.9721

cos 4.1=-0.5748

cos 4.1=-log(2/π)*(3π/2-x)+(2/π)*(3π/2-x)*0.001-0.01

=-log(1/1.57)*(4.71-4.1)+(1/1.57)*(4.71-4.1)*0.001-0.01

=0.4105698+0.0038853+0.01-1=-0.5755772

cos 4.5=-0.2179

cos 4.5=-log(2/π)*(3π/2-x)+(2/π)*(3π/2-x)*0.001-0.01

=-log(1/1.57)*(4.71-4.5)+(1/1.57)*(4.71-4.5)*0.001-0.01

=-0.87368+0.0013375+0.01+1=-0.1376575

358.11d)最后考虑级数

n 2n

cos x= (-1) x

(2n)!

用微分学的方法容易确立不等式：

n 2n

(-1) x <1 (1<x<+∞)

(2n)!

如果用C表示这个级数的和数，则部分和数

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，

n n

对于H 我们有一个著名的公式,

H =log(2/π)*(x-3π/2)+(2/π)*(x-3π/2))*0.01-0.01+1+C+γ (3π/2<x<2π) (5d)

n n

这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。

n 2n

(-1) x =H →C

(2n)! n

n 2n

cos x= (-1) x =log(2/π)*(x-3π/2)+(2/π)*(x-3π/2))*0.01-0.01+1-C-γ (3π/2<x<2π)

(2n)! n

公式(5d)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01

例如：利用数学归纳法可知

cos 4.9=0.186512

cos 4.9=log(2/π)*(x-3π/2)+(2/π)*(x-3π/2))*0.01-0.01+1

=log(1/1.57)*(4.9-4.71)+(1/1.57)*(4.9-4.71)*0.01-0.01+1

=-0.917146-0.00120191-0.01+1=0.09405

cos 5.2=0.468516

cos 5.2=log(2/π)*(x-3π/2)+(2/π)*(x-3π/2))*0.001-1-0.01

=log(1/1.57)*(5.2-4.71)+(1/1.57)*(5.2-4.71)*0.01-0.01+1

=-0.505703-0.003121-0.01+1=0.4811754

cos 5.8=0.8855195

cos 5.8=log(2/π)*(x-3π/2)+(2/π)*(x-3π/2))*0.001-1-0.01

=log(1/1.57)*(5.8-4.71)-(1/1.57)*(5.8-4.71)*0.1-0.01+1

=-0.158473-0.0069426-0.01+1=0.8445844

376.非绝对收敛级数的情形

例题1）考虑显然非绝对收敛的级数

1 1 1 1 1

1- + + -…+ - +… (5)

2 3 4 2k-1 2k

容易证得[参看2)它的和数是log 2。我们这样调动它的项，使得在一个正项后面跟着两个负项：

1 1 1 1 1 1 1 1

1- - + - - -…+ - - +… (6)

2 4 3 6 8 2k-1 4k-2 4k

我们断定，这样调换后的级数的和数减小一半。

事实上，如果分别用A 与A` 表示这两个级数的部分和数，则

n n

1 1 1 1 1

A` = ( - - )= ( - )

3m 2k-1 4k-2 4k 4k-2 4k

1 1 1

= ( ( - )

2 2k-1 2k

= A

2 2m

于是so

A` → log2

3m 2

因为

1 1

A` =A` + 与 A` =A` +

3m-1 3m 4m 3m-2 3m-1 4m-2

趋于同一极限 log2, 所以级数（6）收敛并且即以数为自己的和数。

2）如果从调和级数的部分和数H 的公式[358(4)]

1 1

H =1+ +…+ =log n+C+γ

n 2 n n

出发（其中C是欧拉常数，而γ 是无穷小），可以得到更普遍的结果。由此，首先有

注：读者容易想出，如何安排给定级数的项，使得变形过的级数的部分和数，具有两个预先给定的数B与C>B作为最大的与最小的极限。

1 1 1 1

+ +…+ = H

2 4 2m 2 m

1 1 1

= log m + C + γ

2 2 2 m

1 1 1

1+ +…+ = H - H

3 2K-1 2k 2 k

1 1 1 1

= log 2 + log k + C+γ - γ

2 2 2 2k 2 k

现在把级数（5）的项排成这样的次序：首先放p个正项与q个负项，然后又放p个正项与q个负项，如此下去, 为了要确定出级数

1 1 1 1 1 1 1

1- +…+ - -…- + +…+ - -… (7)

3 2p-1 2 2q 2p+1 4p-1 2p+2

的和数，轮流把p项或q项的数串结合起来是更方便的。

用这方法得到的级数的部分和数A 等于

~ p

A =log(2 )+a (a →0)

2n q n n

并且趋于极限

log(2 )

和数A 也趋于同一极限。

2n-1

最后，由于374的说明，级数（7）也将以这个数

log(2 )

作为自己的和数, 特别的，对级数（5）来说，可得到log2(p=q=1), 对级数（6）来说，与1）中一样，得到, 类似的：

1 1 1 1 1 3

1+ - + + - +…= log2 (p=2, q= 1),

3 2 5 7 4 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1- - - - + - - - - + -…+=0 (p=1, q= 4),

2 4 6 8 3 10 12 14 16 5

如此类推。例如：

1 1 1 1 1 1 1 1

1+ + + + + + + +

3 5 7 9 11 13 15 17

1 1 1 1 1 1 1

- + + + + +…+ - -…- +...= log3 (p=9, q= 4),

2 4 6 8 19 35 10

1 1 1 1 1 1 1 1

1+ +…+ - -…- + +…+ - -…- +…=log4 (p=16, q= 4),

3 33 2 8 35 65 10 16

可以求log3.5的近似值, log3.5=log3*0.5=log3+log0.5

1 1 1 1 1 1 1 1

1- -…- + - -…- + - -…- +…=log0.5 (p=1, q= 16),

2 32 3 34 64 5 66 128

1 1 1 1 1 1 1 1

1+ + + + + + + +

3 5 7 9 11 13 15 17

1 1 1 1 1 1 1

- + + + + +…+ - -…- +...= log3 (p=9, q= 4),

2 4 6 8 19 35 10

log0.7=log7*0.1=log7+log0.1

1 1 1 1 1 1 1 1

1- -…- + - -…- + - -…- +…=log0.1 (p=1, q= 400),

2 800 3 802 1600 5 1602 2400

1 1 1 1 1 1 1 1

1- +…+ - -…- + +…+ - -…- +…=log7 (p=49, q= 4),

3 99 2 8 101 199 10 16

我们指出，如果正项及负项的数串组中的项数从一组到另一组还要改变的话，那么，这个变化的规律容易这样选择，使得对变形过的级数来说，实际上，得到任何预先给定的和数，这点留给读者去证明。

388.例题1）

(1- )

因为部分乘积

1 1 1

P =(1- )(1- )……(1- )

n 2 2 2

2 3 n

1 n+1

= *

2 n

→

所以无穷乘积收敛，而它的值是1/2.;

2)瓦里斯公式[305]

π 2*2*4*4......2n*2n

= lim

2 n→∞ 1*3*3*5......(2n-1)*(2n+1)

显然，相当于数π/2的无穷乘积展开式,

π 2 2 4 4 2n 2n

= * * * …… * ……

2 1 3 3 5 2n-1 2n+1

这公式可化为下列公式：

1 π

[1- ]=

(2m+1) 4

1 2

[1- ]=

4m π

3)证明（当｜x｜<1时）

2 4 2n-1 1

(1+x)(1+x )(1+x )...(1+x )...=

1-x

实际上，速乘以后就容易断定

2 2n-1 2n

(1+x)*P =(1-x)(1+x)(1+x )...(1+x )=1-x

1-x

P =

n 1-x

由此取极限，就得到所求等式。

4）在54，7a中我们曾经有极限

φ φ φ sin φ

lim cos *cos ……cos = (φ≠0)

n→∞ 2 n

2 2 2 φ

现在我们可以写成

φ sin φ

cos ]=

2 φ

特别的，当φ=π/2时，得到展开式

2 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= * + * + + *……

π 2 2 2 2 2 2 2 2 2

[维也达（F.Vieta）]这个公式与瓦里斯公式一起，在分析史上提供给我们最初两个无穷乘积的例子。

5）在303(10)中，对于第一类全椭圆积分，我们确立了公式

F(k)= lim (1+k )(1+k )...(1+k )

π n→∞ 1 2 n

其中数串k 用下面的循环关系式来确定：

1- 1-k

n-1

k = (k =k)

2 0

1+ 1-k

n-1

这公式给出F(k)的无穷乘积展开式

F(k)= * (1+k )

π n

6)再考虑这样的无穷乘积

在给定情形下中部分乘积具有下面的形状

1 1

1+ +…+

2 n

P =

n n+1

log n+C+γ

n+1

C γ

n n

= *e *e

n+1

其中C是欧拉常数，γ 是无穷小量[358,4]。由此可知，乘积收敛，并且它的值

P=e

369.交错级数

级数的项轮流地一会儿有正号，一会儿有负号，叫做交错级数, 把交错级数的项的符号明白地写出来是更方便的，例如

n-1

c -c +c -c +...+(-1) c +... (c >0) (7)

1 2 3 4 n n

关于交错级数，有下面的简单定理。

莱布尼兹定理, 如果交错级数（7）的项的绝对值单调递减：

c <c (n=1,2,3,...) (8)

n+1 n

并且趋于0：

lim c =0,

则级数收敛。证明，偶数个项的部分和数C 可写成下面的形状：

C =(c -c )+(c -c )+...+(c -c )

2m 1 2 3 4 2m-1 2m

因为每个括号都是正数[由（8）]，由此就显然有，随着m的增大和数C 也增大。

另一方面，如果改写C 成为

C =c -(c -c )-...-(c -c )-c

2m 1 2 3 2m-2 2m-1 2m

那么就容易看出，C 囿于上;

C <c

2m 1

在这情形下，依关于单调数串的定理[34],

当m无限增大时部分和数C 具有有穷极限,

lim C =C

m→∞ 2m

现在讨论奇数个项的部分和数C ,

2m-1

显然有，

C =C +c

2m-1 2m 2m

因为普遍项趋于0，故也有

lim C =C

m→∞ 2m-1

由此推知，C就是给定级数的和数,

附注，我们看见过，偶数个项的部分和数C 递增地向级数的和数C接近。写C 成

2m 2m-1

C =c -(c -c )-...-(c -c )

2m-1 1 2 3 2m-2 2m-1

后，容易确定，奇数个项的和数递减地趋近于C。这样，就总有：

C <C<C

2m 2m-1

特别地，可以断定：

0<C<c

这使我们得到一个对于所考虑级数的余式（它本身也是交错级数）的极简单而方便的估计。即是，对于

γ =c -c +...

2m 2m+1 2m+2

显然有

0<γ <c

2m 2m+1

相反地，对于

γ =-c +c -...=-(c -c +...)

2m-1 2m 2m+1 2m 2m+1

有

γ <0,｜γ ｜<c

2m-1 2m-1 2m

这样，在所有的情形下，莱布尼兹型级数的余式都具有与自己的第一项相同的符号，并且绝对值比这第一项小。

注：我们把满足莱布尼兹定理的条件的交错级数叫作莱布尼兹型级数。再利用级数作近似计算时[参看396]常常要用到这个附注。

370.例题1）下面两个级数都可作为莱布尼兹型级数的最简单的例子：

n-1

(-1) 1 1 n-1 1

（a） =1- + -…+(-1) +…

n 2 3 n

n-1

(-1) 1 1 n-1 1

(б) =1- + -…+(-1) +…

2n-1 3 5 2n-1

二者的收敛性都可以从上面证明过的定理推得。但同时，这两个级数的绝对值级数都发散：对于级数（a）这绝对值级数是调和级数，对于级数(б)可得级数

1 1 1

1+ + -…+ +…

3 5 2n-1

这个级数的发散性从它的部分和数,

n-1

(-1) 1 1

> = H

2k-1 k=1 2k 2 k

可以明显看出, 这样，我们就有了级数(a)与(б)这样两个非绝对收敛级数的例子。[以后我们将看到，第一个级数的和数是log 2，而第二个的和数等于π/4；376，2）；393，392]

2)依莱布尼兹定理下面几个级数都收敛：

n-1 n n-1

(-1) (-1) (-1)

, , (s>0)

s n=2 s n=2 s

n n*log n n*log n*(loglog n)

如果依这些级数的项的绝对值来替代级数的项，那么，我们知道，当s>1时得到收敛级数，而当s≤1时得到发散级数。由此可见，原来的级数当s>1时是绝对收敛的，而当s≤1时是非绝对收敛的。特别地，关于在361与367中我们曾经考虑过的幂级数

现在可以说，在级数收敛区间的端点x=-1处，当s≤1时级数仍然收敛，但非绝对收敛。

3）对任何x≠0考虑级数

n x

(-1) sin

莱布尼兹定理是可以应用的，如果不能应用到这个级数上的话，也可应用到它的充分远的（对下标来说的）余式上。事实上，当n充分大时，

sin 有与x相同的符号，并且它的绝对值随着n的增大而减少。

所以级数收敛[显然非绝对收敛，参看358，8）（в）].

4)为了要说明在莱布尼兹定理中数c 单调递减的要求决不是多余的，我们考虑交错级数

1 1 1 1 1 1

- + - +…+ - +…

2 -1 2 +1 3 -1 3 +1 n -1 n -1

它的普遍项趋于0. 它的2n个项的和数等于,

1 1 2

( - )= =2H

k -1 k +1 k=2 k-1 n

并且与n同时无限增大，级数发散! 不难验出，递减的单调性在每一次由项

n -1

变到项

n+1 -1

时都被破坏了, 为了同一目的，发散级数

n-1

(-1) 1

[ + ]

n n

也可以供我们应用，证明留给读者去作。

证明上述级数发散, 我们考虑交错级数

1 1 1 1 1 1 1 1

+ - + - + +…+ + +…

1 1 2 2 3 3 n -1 n

它的普遍项趋于0. 它的2n个项的和数等于

n-1

(-1) 1 2

[ + ]= =2H

n n n n

也可以供我们应用，证明留给读者去作。

并且与n同时无限增大，级数发散! 不难验出，递减的单调性在每一次由项

1 1

- +

n n

变到项

1 1

n n

时都被破坏了.

5）最后的级数还引起这样的说明。

如果把那个级数跟收敛级数

n-1

(-1)

相比较, 就可以发现，它们的普遍项的比值趋于1. 由此可见，第357目定理2在任意项级数中没有类似的定理。

第十八部分级数的乘法

377.级数的乘法

关于两个收敛级数的逐项相加（或相减），以及以常数因数与收敛级数逐项相乘，已经在355，3与4中讲过。现在我们研究级数乘法的问题，设给定两个收敛级数

A= a =a +a +...+a +... (A)

n 1 2 n

与

B= b =b +b +...+b +... (B)

m 1 2 m

仿照有穷和数乘法的规则，在这儿也考虑这两个级数的项所有可能的成对的乘积a b

i k

从这些乘积可作为无穷矩阵

a b a b a b … a b …

1 1 2 1 3 1 i 1

a b a b a b … a b …

1 3 2 2 3 2 i 2

a b a b a b … a b …

1 3 2 3 3 3 i 3

……………………………………

a b a b a b … a b …

1 k 2 k 3 k i k

………………………………………

这些乘积可以用很多方法排成简单数串的形状。例如，可以按对角线或按正方形写出乘积

a b a b a b …

1 1 2 1 3 1

a b a b a b …

1 3 2 2 3 2

a b a b a b …

1 3 2 3 3 3

……………………………………

(8)

a b a b a b …

1 1 2 1 3 1

a b a b a b …

1 3 2 2 3 2

a b a b a b …

1 3 2 3 3 3

……………………………………

a b a b a b … a b …

0 0 1 0 2 0 3 0

a b a b a b … a b …

0 1 1 1 2 1 3 1

a b a b a b … a b …

0 2 1 2 2 2 3 2

a b a b a b … a b …

0 3 1 3 2 3 3 3

………………………………………

a b a b a b …

0 0 1 0 2 0

a b a b a b …

0 1 1 1 2 1

a b a b a b …

0 2 1 2 2 2

……………………………………

它们分别引出数串

a b ; a b , a b ; a b , a b , a b ; （9）

1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1

或

a b ; a b , a b , a b ; a b ; a b , a b ; a b , a b ; （10）

1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1

歌西定理，如果级数（A)与（B）绝对收敛，则由在任何次序下得到的（8）的那些乘积组成的级数也收敛，并且这级数的和数既是和数的乘积AB, 证明，依假定，级数

｜a ｜=｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜+... （A*）

n 1 2 n

与

｜b ｜=｜b ｜+｜b ｜+...+｜b ｜+... （B*）

m 1 2 m

收敛，既是，具有有穷和数，比方说，A*与B*。把乘积（8）的那些用任意方式排列成数串的形状后，从它们作出级数

a b =a b +a b +..+a b (11)

is ks i1 k1 i2 k2 is ks

为要证明相应的绝对值级数

｜a b ｜=｜a b ｜+｜a b ｜+...+｜a b ｜+... (12)

is ks i1 k2 i2 k2 is ks

的收敛性，考虑它的第s部分和数；

如果用v表示记号i ,k ,i ,k ,...,i ,k 中最大的一个，则显然

1 1 2 2 n n

｜a b ｜+｜a b ｜+...+｜a b ｜+...≤

i1 k1 i2 k2 is ks

(｜a ｜=｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜) (｜b ｜+｜b ｜+...+｜b ｜) ≤A*B

n 2 2 n 2 3 n

由此[356]得出级数(12)的收敛性，因而也得出级数（11）的绝对收敛性。剩下的只是确定级数的和数。为此，我们先给级数（11）的项以更适当的排列，因为，这个级数，像绝对收敛级数一样，具有可交换性[375]。把这些项依正方形想（10）中那样排列出来后，我们把彼此不在同一正方形的数串组结合起来：

a b +(a b +a b +a b )+(a b +a b +a b +a b +a b )+...

1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1

如果像通常那样用A 与B 表示级数（A）与（B）的部分和数。

n m

则对级数（13）说来，部分和数是

A B ,A B ,A B ,...,A B ,...;

1 1 2 2 3 3 k k

它们趋于乘积AB，这样一来，AB就不仅是级数(13)的和数，而且也是级数（11）的和数了。在级数的实际相乘时，像（9）中按对角线排列（8）的那些乘积，常常是更便利的；通常把在同一对角线上的那些项结合在一起。

AB=a b +(a b +a b )+(a b +a b +a b )+... (14)

1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1

例如，设把下列两个幂级数相乘：

n 2 n

a x =a +a x +a x +...+a x +...

n 0 1 2 n

m 2 m

b x =b +b x +b x +...+b x +...

m 0 1 2 m

并且x取在相应的收敛区间内部[368]。在这情形下，不难想出，上述方法可得出乘积中同类项的系数：

n m

b x * b x

n m

=a b +(a b +a b )x+(a b +a b +a b )x +...

0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 1 2

公式推导1

根据级数的乘法

n m

b x * b x

n m

=a b +(a b +a b )x+(a b +a b +a b )x +...

0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 1 2

因为tg x=sin x/cos x

3 5 2k-1

x x k-1 x 2k

sin x=x- + -…+(-1) +o(x )

3! 5! (2k-1)!

1 1 1 1

a =1, a = , a = , a = , …, a = ,

1 6 2 120 3 5040 2 (2k-1)!

1 1

cos 2 4 2k

x x k x

1- + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

1 1 24

b =1, b = =2,b = = ,

1 2 1 3 1 1 11

1- 1- +

2! 2! 4!

1 720

b = = ,

3 1 1 1 329

1- + -

2! 4! 6!

b =

n 2 4 2k

x x k x

1- + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

tg x=sin x*(1/cos x)

1 24 1 1 2 720 1 1 1 3

=1*1-(1*2+ )x+(1* +2* +1* )x -(1* +2* +2* +1* )x

6 11 6 120 329 6 120 5040

1 24 1 1 2 720 1 1 1 3

=1-(2+ )x+( + + )x -(1* + + + )x

6 11 3 120 329 3 60 5040

tg30°=tg0.523599=0.5774,

1 24 1 1 2

tg0.523599≈1-(2+ )*0.523599+( + + )*0.523599

6 11 3 120

720 1 1 1 3

-(1* + + + ) *0.523599

329 3 60 5040

tg60°=tg1.047195=1.732

1 24 1 1 2

tg1.047195≈1-(2+ )* 1.047195+( + + )* 1.047195

6 11 3 120

720 1 1 1 3

-(1* + + + ) *1.047195

329 3 60 5040

因为ctg x=cos x/sin x

2 4 2k

x x k x

cos x= 1- + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

1 1 1 1

a =1, a = , a = , a = , …, a = ,

1 2 2 24 3 720 2 (2k)!

1 1

sin x 3 5 2k-1

x x k-1 x

x- + -…+(-1) +…

3! 5! (2k-1)!

1 6 1 120

b =1, b = = , b = = ,

1 2 1 5 2 1 1 19

1- 1- +

3! 3! 5!

1 5040

b = = ,

3 1 1 1 797

1- + -

3! 5! 7!

b =

n 2 4 2k

x x k x

1- + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

ctg x=cos x*(1/sin x)

6 1 120 1 6 1 2 5040 1 120 1 1 3

=1*1-(1* +1* )x+(1* + * +1* )x -(1* + * +1* +1* )x

5 2 19 2 5 24 797 2 19 24 720

6 1 120 3 1 2 5040 60 1 1 3

=1-( + )x+( + + )x -( + + + )x

5 2 19 5 24 797 19 24 720

ctg30°=ctg0.523599=1.732

ctg0.523599=

6 1 120 3 1 2 5040 60 1 1 3

=1-( + ) *0.523599+( + + ) *0.523599 -( + + + ) *0.523599

5 2 19 5 24 797 19 24 720

ctg60°=ctg1.047195=0.5774

ctg1.047195=

6 1 120 3 1 2 5040 60 1 1 3

=1-( + ) *1.047195+( + + ) *1.047195 -( + + + ) *1.047195

5 2 19 5 24 797 19 24 720

根据级数的除法定理，

例如，设把下列两个幂级数相除：

3 5 2k-1

x x k-1 x 2k

sin x=x- + -…+(-1) +o(x )

3! 5! (2k-1)!

2 4 2k

x x k x 2k+1

cos x= 1- + -…+(-1) +o(x )

2! 4! (2k)!

例如：tg x=sin x/cos x

根据级数的除法定理，

1 1

cos x 2 4 2k

x x k x

1- + -…+(-1) +…

2! 4! (2k)!

k (2k)! k (2k)!

(-1) -(2k+1) (-1)

2k 2k 2k

k x x x

= (-1) -

(2k)! k (2k)!

(-1)

2 4 2k

x x k x

= 1- + -…+(-1) +…+

2! 4! (2k)!

-2! 4! -6! (2k!) 2! 4! k (2k)!

1* * * *(-…+(-1) +（2k+1）(1- + -…+(-1) +…

2 4 6 2k 2 4 2k

x x x x x x x

2! 4! k (2k)!

= 1- + -…+(-1) +…+

2 4 2k

x x x

tg x=sin x/cos x

k (2k)! k (2k)!

(-1) -(2k+1) (-1)

2k-1 2k 2k 2k

k-1 x x x x

(-1) [ (-1) - ]

(2k-1)! (2k)! k (2k)!

(-1)

2k-1 2 4 2k

x x x x x k x

=(x- + -…+(-1) +…)*[ 1- + -…+(-1) +…+

3! 5! (2k-1)! 2! 4! (2k)!

-2! 4! -6! k (2k!) 2! 4! k (2k)!

1* * * *(-…+(-1) +（2k+1）(1- + -…+(-1) +…

2 4 6 2k 2 4 2k

x x x x x x x

2! 4! k (2k)!

= 1- + -…+(-1) +…+

2 4 2k

x x x

例如：

tg30°=tg0.523599=0.5774,

cos30°=cos0.523599=0.866,

1/cos0.523599=1.15473

2 4

0.523599 0.523599

1/cos0.523599≈ 1- + -…+

2! 4!

-2! 4! 2! 4!

1* * +5*(1- + )

2 4 2 4

0.523599 0.523599 0.523599 0.523599

-2! 4!

1* *

2 4

0.523599 0.523599

≈1.300309

sin30°=sin0.523599=0.5

tg0.523599≈1.300309*0.5=0.65

例如：ctg x=cos x/sin x

根据级数的除法定理，

1 1

sin x 3 5 2k-1

x x k-1 x

x- + -…+(-1) +…

3! 5! (2k-1)!

k (2k-1)! k-1 (2k-1)!

(-1) -(2k) (-1)

2k-1 2k-1 2k-1

k-1 x x x

= (-1) -

(2k-1)! k-1 (2k-1)!

(-1)

2k-1

3 5 2k-1

x x k-1 x

=x- + -…+(-1) +…

3! 5! (2k-1)!

-3! 5! -7! k-1 (2k-1)! 3! 5! k (2k-1)!

x* * * *(-…+(-1) +（2k）(x- + -…+(-1) +…

3 5 7 2k-1 3 5 2k-1

x x x x x x x

-3! 5! k-1 (2k-1)!

x* * *…*((-1) )

3 5 2k-1

x x x

ctg x=cos x/sin x

k-1 (2k-1)! k-1 (2k-1)!

(-1) -(2k)* (-1)

2k 2k-1 2k-1 2k-1

k x k-1 x x x

(-1) [ (-1) - ]

(2k)! (2k-1)! k-1 (2k-1)!

(-1)

2k-1

3 5 2k-1 3 5 2k-1

x x k-1 x x x k-1 x

=(x- + -…+(-1) +…)*[ x- + -…+(-1) +…+

3! 5! (2k-1)! 3! 5! (2k-1)!

-3! 5! -7! k-1 (2k!-1) 3! 5! k-1 (2k-1)!

x* * * *(-…+(-1) +（2k）(x- + -…+(-1) +…

3 5 7 2k-1 3 5 2k-1

x x x x x x x

-3! 5! k-1 (2k-1)!

x* * *…((-1) )

3 5 2k-1

x x x

例如：

ctg30°=ctg0.523599=1.732,

sin0.523599=0.5,

1/sin0.523599=2,

3 5

0.523599 0.523599

1/sin0.523599≈0.523599- + -…+

3! 5!

-3! 5! 3! 5!

0.523599* * +4*(0.523599- + )

3 5 3 5

0.523599 0.523599 0.523599 0.523599

-3! 5!

0.523599 * *

3 5

0.523599 0.523599

≈1.87

cos0.523599=0.866,

tg0.523599≈0.866*1.87=1.6192

378.例题1）级数

1 n 2 3 n

= x =1+x+x +x +...+x +... (｜x<1｜)

1-x

自乘，用这方法可得

1 n-1 2 3 n

= nx =1+2x+3x +4x +...+nx +...

1-x

2)把级数

1 n 2 3 n n

= (-1)x =1+x+x +x +...+(-1) x +...

1-x

与级数

m 2 3 m

m-1 x x x m-1 x

(-1) =x- + -…+(-1) +… (15)

m 2 3 m

相乘（其中｜x｜<1),给出这样的结果

k-1 k 1 2 k-1 1 1 k

(-1) H x =x-(1+ )x +…+(-1) (1+ +…+ )x +…

k 2 2 k

以后我们将看到[393]，级数（15）的和数是log(1+x)，于是最后的展开式是函数

log(1+x)

1+x

3)求出(z是任意的)

2μ 2

μ z

1= (-1)

2μ 2

2 *(μ!)

提示，利用公式

μ 2 μ 2v!

(C ) =C =

v 2v 2

(v!)

答案：

v 2v!z

1= (-1)

2v 4

2 *(v!)

4)用把级数

n m 1

a x 与 x =

n 1-x

逐项相乘的方法证明在373.6）中的恒等式。

5）我们已经知道[367.10(a)]，级数

n 2 3 n

x x x x x

=1+ + + +…+ +…

n! 1! 2! 3! n!

对所有的x值绝对收敛；我们用E(x)表示它的和数。E(x)与E(y)的乘积可以按照级数乘法的规则得到。乘积的普遍项是这样的：

5）我们已经知道[367.10(a)]，级数

n n-1 2 n-2 k n-k n

y x y x y x y x

1* + * + * +…+ * +…+ *1=

n! 1! (n-1)! 2! (n-2)! k! (n-k)! n!

1 k n-k

= x y

k!(n-k)!

1 k k n-k (x+y)

= C x y =

n! n n!

这样，我们对于暂时未知的函数E(x)得到对于任何实数x及y的关系式.

E(x)*E(y)=E(x+y)

以后这将给我们已建立E(x)是指数函数的可能性[411.1);比较751].

6)借助于打郎伯尔判别法容易证明，级数

2n 2 4 2n

n x x x n x

C(x)= (-1) =1- + -…+(-1) +…

(2n)! 2! 4! (2n)!

2m-1 3 5 2m-1

m-1 x x x m-1 x

S(x)= (-1) =x- + -…+(-1) +…

(2m-1)! 3! 5! (2m-1)!

对所有的x值绝对收敛。用级数乘法可以证得关系式

C(x+y)=C(x)*C(y)-S(x)*S(y),

S(x+y)=S(x)*C(y)+C(x)*S(y),

因为实际上S(x)与C(x)不是别的，而是sin x与cos x[392], 所以我们在这儿得以知道这些函数的有名的加法定理.

模拟计算机用下面的公式计算三角函数

同时还可以证明

C(x)* S(x)

=C(0.5x+0.5x)* S(0.5x+0.5x)= [C(0.5x)*C(0.5x)-S(0.5x)*S(0.5x)]* [S(0.5x)*C(0.5x)+C(0.5x)*S(0.5x)]

tgx= S(x)/ C(x)

=S(0.5x+0.5x)/C(0.5x+0.5x)=[S(0.5x)*C(0.5x)+C(0.5x)*S(0.5x)]/[C(0.5x)*C(0.5x)-S(0.5x)*S(0.5x)]

ctgx= C(x)/ S(x)

=C(0.5x+0.5x)/S(0.5x+0.5x)=[C(0.5x)*C(0.5x)-S(0.5x)*S(0.5x)]/[S(0.5x)*C(0.5x)+C(0.5x)*S(0.5x)]

例如：

tg30°= tg0.523599= S(0.523599)/ C(0.523599)

=S(0.2617995+0.2617995)/C(0.2617995+0.2617995)

=[S(0.2617995)*C(0.2617995)+C(0.2617995)*S(0.2617995)]

/[C(0.2617995)*C(0.2617995)-S(0.2617995)*S(0.2617995)]

=[0.9657*0.2588+0.2588* 0.9657]/[0.2588*0.2588- 0.9657*0.9657]

=0.49984632/0.86559905

=0.577457

0.2617995

S(0.2617995)=sin 0.2617995=0.2617995- =0.2588

0.2617995

C(0.2617995)=cos 0.2617995= 1- =0.9657

7）最后，考虑正项级数

ζ(x)= x

这级数对x>1收敛[356,2)]并且是黎曼函数ζ。借助于级数乘法。计算它的平方.

我们把所有可能的乘积

1 1 1

* =

x x x

n m (n*m)

这样排列，使得在分母中有同一数目k=n*m的那些项列在一起，然后把它们结合起来。对应于每一个k，形如

的项供有τ(k)个, [ τ(k)是数k的除数n的个数。参看361.4）-译者]。所以，最后

τ(k)

[ζ(x)]= x

373.例题6）

最后作为直接应用亚贝尔变换（10）的一个例子，我们举出恒等式

n n

a x =(1-x) s x

n n

这儿

s =a +a +...+a (n=0,1,2,...)

n 1 2 n

同时可假定｜x｜不仅小于第一个级数的收敛半径R,而且小于1, 实际上，我们有：

i i i+1 n

a x =(1-x) s (x -x )+s x

i i n

由此，当n→∞,只要再确定s x →0, 就可得到所求的等式。

为此目的，在条件下取数r , 于是｜a ｜r ≤L(对i=0,1,2,...而言）并且

0 i

n 1 1 1 n

｜s x ｜≤L(1+ + +…+ )｜x｜

n 2 n

r r r

L ｜x｜ n L n

= ( ) - ｜x｜

1-r r 1-r

最后的表达式在所作假定下显然趋于0.

379.级数乘法定理的推广

麦尔滕（F.Mertens)已经指出，上面那些结果在某一意义下可以推广到更一般的情形下去。

麦尔藤定理，如果级数（A）与（B）收敛，并且至少它们中的一个绝对收敛，则展开式（14）成立。

证明，比方说，设级数（A）绝对收敛，即级数（A*）收敛, 把第k条对角线上的项结合起来，令

c =a b +a b +...+a b +a b

k 1 k 2 k-1 k-1 2 k 1

而

C =c +c +...+c

k 1 2 k

于是需要证明C →AB

首先，不难看出

C =a B +a B +...+a B +a B

k 1 k 2 k-1 k-1 2 k 1

如果令

B =B-β

m m

(其中余式β →0，当m→0时)，则和数C 可改写成这样：

m k

C =A B-γ

k k

其中

γ =α β +α β +...+α β +α β

k 1 k 2 k-1 k-1 2 k 1

因为

A →A

所以整个问题就归结为证明关系式limγ =0

我们这样分解数k成为两项：k=p+q, 使得p与q两项都与k同时无限增大, （例如，当k是偶数时可令

p=q=k/2

或者当k是奇数时令

k-1

k+1

q= )。

由此，表达式γ 可分成两部分

α β +α β +...+α β

1 k 2 k-1 p q+1

与

α β +α β +...+α β

p+1 q p+2 q-1 k 1

因为β →0，所以给定ε>0, 即可找到这样的下标M，使得｜β｜<ε, 只要m>M,

并且变量β 是有界的，即

｜β ｜<ε

只要m>M, 并且变量β 是有界的，即｜β ｜≤L, 不管m是怎样的下标。

m m

另一方面，级数（A*）收敛。于是对于ε>0可以找到这样的下标N，使得

｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜<ε

n+1 n+2 n+s

只要n>N（对于任何s）。此外，永远有

｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜≤K（K=常数）

1 2 n

如果假定k那么样的大，使得p>N与q>M,那么，由此可推出不等式

｜α β +α β +...+α β ｜<ε(｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜)≤K*ε

1 k 2 k-1 p q+1 1 2 n

｜α β +α β +...+α β ｜<L(｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜)<L*ε

p+1 q p+2 q-1 k 1 p+1 p+2 k

于是

｜γ ｜<(K+L)*ε

这就完成了我们的证明, 用例子来说明定理的应用，我们回到上目中的问题4）。现在可以看出，哪儿提到的等式在级数.

x a x

的收敛区间的端点x=±R也成立，如果R<1并且级数在这端点上一般地是收敛的（哪怕是非绝对收敛也行）的话。我们指出，如果级数（A）与（B）二者都是非绝对收敛，那么就不能保证级数（14）的收敛性。作为例子，使把下面的级数[我们在370，2中已知，它是非绝对收敛的]自乘一次；

n-1

(-1) 1 1 1

(-1) =1- + -…+(-1) +…

n 2 3 n

在这情形下

k-1 1 1

c =(-1) ( + +…+

k 1* k 2 * k-1

1 1

+…+ )

i * k-i+1 k *1

因为括号中的每一项都大于1/k，所以｜c ｜>1（当k>1时）因而级数

x c

发散[355,6], 可是，如果类似地处理也是非绝对收敛的[370,1)]级数

n-1

(-1)

log2=

1 1 n-1 1

=1- + -…+(-1) +…

2 3 n

那么，有

k-1 1 1 1 1

c =(-1) [ + +…+ +…+ ]

k 1*k 2*(k-1) i*(k-i+1) k*1

k-1 2 1 1

=(-1) (1+ +…+ )

1*k 2 k

这儿，当k增大时，｜c ｜趋于0，单调递减，于是[依莱布尼兹定理，369]级数

c 仍然是收敛的。它的和数是怎样的，是否等于(log2) ?

答案是肯定的，它的和数是(log2) , 以后我们要回来将这个问题[411,7)], 附注，在本节的末了，我们要再一次强调：-在无穷级数中——正是绝对收敛级数具有有穷和数的普遍性质。在非绝对收敛级数上，这些性质只是部分地保持着，而且带有附加条件.

第十九部分数π的计算

详细内容参见菲赫金哥尔茨著1954年版《微积分教程》第二卷第二分册

8.借助于级数作近似计算

396.一般说明

在我们所得到的具体的展开式的例子上，

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中国面包师贴吧-楼主(阅：3195/回：0)三角函数泰勒级数推导6