2. 可微性与导数存在之间的关系
现在很容易建立下列命题的正确性：
要使函数y=f(x)在点x 处是可微的，其充要条件是它在这点处有有穷的导数y`=f`(x)存在。
0
当这条件获得满足时，等式（1）就在常数A刚好等于这导数时成立。
△y=y` △x+o(△x) (1a)
x
上面(1a)就将（1）中的常数A用函数在x点的微分y` 替换了。
x
必要性，若（1）成立，则由此
△y o(△x)
=A+
△x △x
于是使△x趋于0，实际上就得出
△y
A=lim =y`
△x
充分性，立刻可从函数的增量公式的（2a）哪里推导出来. 因此，函数y=f(x)的微分永远等于
dy=y` *△x (2)
x
注：很容易验证，在前段内所考察的一切情形就都是组成微分的。
例如，在情形1），就有
2
Q=πr , Q`=2πr, dQ=2πr*△r
在这里还需要着重指出，表达式内的△x被我们理解为自变量的任意增量. 就是一个任意数（把它当作并不依赖于x常常更为方便）。在这时完全不必假定△x是无穷小，但假如△x→0，则微分dy也就是无穷小。也（在y` ≠0时）就是函数的无穷小增量△y的主部。
x
这就使近似等式
△y≈y (3)
获得根据，△x愈小则近似的准确度愈大。我们将在微分近似公式[107]的来源里再次考察近似公式(3)。
y M1
K △y
M α dy
N
△x
α
O T x x~△x x
图44
为着要用几何图形说明函数y=f(x)的微分dy及它与增量△y的关系，试参考这函数的图线（44）。变元的数值x及函数的数值y确定着曲线上的一点M。在曲线上的这一点处引切线MT，正如我们看到的[92]导数的定义，它的斜率tgα等于导数y` 。
x
若给横标x以增量△x，则曲线的纵标y就的增量△y=NM1。同时切线的纵标就得增量NK。把NK看做直角三角形MNK的一直角边而计算其长度，就得出
NK=MN*tgα=y` *△x=dy
x
因此，当△y是曲线的纵标的增量时，dy就是切线的纵标的对应增量. 最后再讨论到自变量x本身：称为它的微分的就是增量△x，即约定
dx=△x （4）
假如把自变量x的微分认为就是函数y=x的微分（这同样也是一种约定）, 则公式（4）也可以证明，根据（2）：
dx=x` *△x=1*△x=△x
x
利用约定式（4），现在就可以把给出微分定义的公式（2）改写成为
dy=y` *dx
x
我们通常都把它写成这种形式。由此得
dy
y` = (6)
dx
于是，我们以前把它看做整个记号的那个表达式，现在就可以当作分数来处理了. 读者不要因为在等式左边放着完全确定的数，而同时在右边却有着两个不确定数dy及dx（因为dx=△x是任意的）的比式这一情况感到困惑。
要知道dx及dy本是比例地变动着的，而导数y` 刚好就是比例系数。
x
微分这一概念及《微分》这个术语源于莱伯尼兹，虽然他并不会给出这概念的准确定义。注：微分由拉丁文differentia得来，表示《差》。莱伯尼兹在考察微分时，同时亦会考察《微商》，即两个微分的商，那就相当于我们的导数。然而对于莱伯尼兹，微分确实原始概念。从柯西用自己的极限理论创立一切分析的基础，并且首先明确地定义导数是一极限以后，分析的研究就从导数出发，而微分的概念已经是从导数的基础上建立起来的了。
3. 单方函数
在结束这一节时，我们来考察一些关于导数可能产生的特殊情形。先建立单方导数的概念开始。若所考察的数值x就是函数y=f(x)的定义区间ж的端点之一，则在求比式△y/△x的极限时，△x接近于0就仅限于从右（当讲到区间的左端点时）或从左（右端点时）。在这种情形若极限存在，就成为右单方导数，或左单方导数。函数的图线在对应点处就有单方切线。函数的图线在对应点处就有单方切线。
也可能碰到，在内点x处比式△y/△x仅各有单方极限存在(在△x→+0或△x→-0时). 且并不相等；它们也称为单方导数。函数的图线在对应点处将仅有两单方切线存在，它们组成一个角，该点就是角的顶点. 函数的内部点M是函数的最大值极限点，从它向左向右做切线，就组成一个角。在M点，△x值的值趋近于0，函数值的极限存在. M点的导数就是单方导数，从M点向左，向右做函数图线的切线，两个切线的夹角就是角点。
y
右单方切线T1
右单方导数
左单方切线T2
左单方导数
O x x
图42
考察函数y=f(x)=｜x｜作为一例。从数值x=0出发，将有
△y=f(0+△x)-f(0)=f(△x)=｜△x｜
若△x>0，则
△y
△y=△x, lim =1
△x→0 △x
又若△x<0，则
△y
△y=-△x, lim =-1
△x→0 △x
这函数的图线由第一及第二象限角的分角线所组成，原点就成为角的顶点。
4. 求导数的几个简单法则
在前几段内我们已求出初等函数的导数。在这一段内，我们将建立一系列的法则，用了它们就可以求任何由初等函数经过有限次的算术运算及叠置所得的函数的导数。
Ⅰ.设函数u=ψ(x)(在定点x处）有导数u`。我们要证明，函数y=cu(c=常数）（在同一点处）也有导数，并求出它。
若自变量x得一增量△x，则函数u亦得一增量△u，而由开始的数值u变为数值u+△x。函数y的新值就是y+△y=c(u+△u)。
由此△y=c*△u而
△y △u
lim =c* lim =c*u`
△x→0 △x △x→0 △x
因此，导数存在且等于
y`=(c*u)`=c*u`
这公式表示这样一条法则：常数因子可以从导数的符号内取出。
Ⅱ.设函数u=ψ(x),v=ψ(x)，（在定点x处）有导数u`，v`。今证明，函数y=u±v（在同一点处）也有导数，并求出它。
给x以增量△x；于是u,v及y就对应地各得增量△u,△v及△y。它们的新值u+△u,v+△v,及y+△y可用同样的关系式连接着
y+△y=(u+△u)±(v+△v),
由此
△y △u △v
△y=△u±△v, = ±
△x △x △x
而
△y △u △v
lim = lim ± lim = u`±v`
△x→0 △x △x→0 △x △x→0 △x
于是导数y`存在且等于
y`=(u±v)`=u`±v`
这个结果可以很容易地推广到任意有限个加数的情形（用同样的方法）。
Ⅲ.在关于函数u,v的同样的假定下，我们证明，函数y=u*v也有导数，并求出它。
同上面一样，对应于增量△x有增量△u，△v及△y；这时y+△y=(u+△u)(v+△v) ,于是
△y=△u*v+u*△v+△u*△v
及
△y △u △v △u
= *v+u* + *△v
△x △x △x △x
因为根据[96,2]函数的增量的公式的(2)，当△x→0也有△v→0，故
.
△y △u △v
lim = lim *v+u* lim
△x→0 △x △x→0 △x △x→0 △x
=u`*v+u*v`
即导数y`存在并等于
y`=(u*v)`=u`*v+u*v`.
若y=uvw,并且u`,v`,w`都存在，则
y`=[(uv)*w]`=(uv)`*w+(uv)*w`=u`vw+uv`w+uvw`
很容易判断，在n个因子相乘时将类似地有：
n
[uvw...s]`=u`vw...s+uv`w...s+uvw`...s+...+uvw...s` (4)
要证明这事，我们利用数学归纳法。假定公式（4）在n个因子相乘时是真实的，在证明它在（n+1）个因子相乘时也是真实的。
n+1 n
[uvw...st]`=[(uvw...s)*t]`=(uvw...s)`*t+(uvw...s)*t`
将导数（uvw...s)`依公式（4）展开，就得出公式
[uvw...st]`=u`vw...st+uv`w...st+...+uvw...s`t+uvw...st`
完全类似于（4）。因为公式（4）在n=2及3时的真实性我们已直接证明了，所以这公式对于任意的n也是真实的。
Ⅳ.最后，若u,v满足于前面的假定，此外，又假定v异于0，则我们将证明，
函数y=u/v也有导数，并求出它。
用同上面一样的表示法，就有
u+△u
y+△y=
v+△v
于是
△u*v-u*△v
△y=
v(v+△v)
而
△u △v
*v-u*
△y △x △x
=
△x v(v+△v)
在此处使△x趋向于0（则同时亦有△v→0),就证明了导数的存在，且
u` u`*v-u*v`
y`=( )`=
v 2
v
第十三部分 方程的近似解1
80.关于函数取零值的定理
今着手研究在某一区间内连续的函数的基本性质。这些性质是很有趣的，而且在以后的叙述中，经常要用它们作为各种论断的根据。先从下面的波查诺(B.Bolzano)和柯西(A.L.Cauchy)的简单定理开始。
波查诺-柯西第一定理
设函数f(x)是在闭区间[a,b]内定义着并且连续的，又在这区间的两端点处取得异号的数值。则在a与b之间必能求出一点c，在这点处函数等于零：
f(c)=0 (a<c<b)
f(b)>0
y
f(c)=0
a1=a2 a3 c
O b2=b3 b=b1 x
图31
这定理有很简单的几何意义：
若连续的曲线从x轴的一方移到另一方，则它必与这轴相交（图31）。
第一种证明
我们将依波查诺的方法进行[41]——即用逐次等分区间的方法。为着确定起见，令f(a)<0,f(b)>0. 我们用点(a+b)/2把区间[a,b]分成两半。可能偶然地遇到函数f(x)恰在这点处等于零，那么令c=(a+b)/2, 定理就已得到证明。次设f(（a+b)/2)≠0; 则两区间[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]中必有一个，在它的两端点处函数取得异号的数值(且这时在左端为负值，在右端为正值). 用[a1,b1]表示这个区间，就有
f(a1)<0,f(b1)>0
再把区间[a1,b1]分成两半，且仍丢开当f(x)在区间的中点(a1+b1)/2处等于零的情形，因为那时定理已得到证明。再用[a2,b2]表示那半个区间，它使
f(a )<0,f(b )>0
2 2
继续进行这种构成区间的步骤。这时，或则在有限次步骤以后，我们碰到作为分点的某一点，在该处函数等于零——而定理的证明就完成了， -或则我们得出内含区间(依次地一个包含一个)的无穷序列。我们就来讨论论这最后的情形。 对于第n个区间[a ,b ](n=1,2,3,...)必有
f(a )<0,f(b )>0, (1)
n n
并且它的长度显然等于
b-a
b -a = (2)
n n n
2
易见这些区间所构成的序列满足内含区间的预备定理中[38]所列的条件，因为，由于(2),
lim(b -a )=0;
n n
因此，在区间[a,b]内存在着一点c，满足
lim a =lim b =c
n n
兹证明这点恰好能满足定理要求。
将不等式(1)取极限，同时并应用函数的连续性(特别是，在点x=c处),就同时得出
f(c)=lim f(a )≤0即f(c)=lim f(a )≤0
n n
因此，实际上，必有f(c)=0. 定理证明完毕。
以下我们将给出柯西定理的第二种证明，它是依据另一种观念的。预先叙述下面的明显的命题：
预备定理，
若函数f(x)在点x=x 处为连续，且f(x )的数值异于0，
0 0
则对于充分接近于x 的一切x的数值，函数f(x)仍保持着在点x 处的符号。
0 0
这可由55,1的论点2推得,
不过在本题的情形，函数的极限A这一角色(由于连续性)由f(x )担任。
0
第二种证明，
考察区间[a,b]内使f( x )<0的一切点x= x 。在这些点之中显然应有点a以及(根据预备定理)接近于a的许多点。数b局限于集{ x }上。今令c=sup{x};我们要证f(c)=0,
注：sup表示数集的上确界，详细内容见[11]数集的界
实因，假设情形与此相反，那么或则f(c)<0，或则f(c)>0. 若是f(c)<0(则显知c<b，因为我们给定f(b)>0), 则依预备定理，在c的稍右处将能找出数值 x, 使f(x)<0,而这就违反了c是{x}的上界的定义。又若是f(c)>0，则——仍根据预备定理——在c的左方的近处，就是在某一充分小的区间(c-δ,c)内，全部成立f(x)<0,于是在那里就根本不能有数值x。但这同样是不可能的，因为按照定义，c是{x}的上确界。
定理证明完毕。
需注意，函数f(x)在闭区间[a,b]内连续的要求很重要：函数只要在一点处有间断，就可以从负值转变为正值而并不等于零。例如，f(x)=E(x)-1/2就是这样的函数，虽然f(0)=-1/2,而f(1)=1/2(在x=1时有跃度), 但它并不在任何一点等于零。
81.应用于解方程
已证明的定理在解方程时是有用处的。首先，用它来确定根的存在。例如，对于方程
x
2 =4x,
根x=4是很明显的，但要指出再有一个根存在就较为困难了。而其实，函数
x
f(x)=2 -4x
在x=0时取值f(0)=1>0，而在x=1/2时取值f(1/2)=√2-2<0，因此(因为它是连续的)它必在0与1/2之间的某一点等于零。所以将0到1/2之间分成10等分，得
0.45
f(0.45)= 2 -4*0.45≈1.3660-1.8 =-0.434
0.40
f(0.40)= 2 -4*0.40≈1.3195-1.6 =-0.2805
0.35
f(0.35)= 2 -4*0.35≈1.2746-1.4 =-0.1254
0.30
f(0.30)= 2 -4*0.30≈1.2311-1.2 =0.0311
因为f(0.35)<0,f(0.30)>0，所以在它们中间，存在一点使得f(x)=0, 所以，可以将0.35和0.30之间分成均匀的10份，其中必有一个函数值约等于0，这时函数的x值就是方程的近似解。
0.31
f(0.31)= 2 -4*0.30≈1.2397-1.24 =-0.0002
所以上述方程的近似解就是x=0.31
另一例子：考察一般奇次幂（实系数）的代数方程。
2n+1 2n
f(x)≡a x +a x +...+a x+a =0
0 1 2n 2n+1
当x的绝对值充分大时，多项式的符号全视最高次幂的项的符号而定，
即当x为正时与a 同号，当x为负时与a 异号。
0 0
因为多项式是连续函数，既然要变号，则它在区间内某一点处必然要等于0. 由此：一切奇次（实系数）代数方程至少必有一个实根。
柯西定理不仅可以应用于确定实根的存在，并且可以用来计算它的近似值。 用例题来说明。
4
设f(x)=x -x-1. 因为f(1)=-1,f(2)=13, 所以多项式在1与2之间必有一根。把这区间[1,2]分成10等分，各分点为1.1，1.2，1.3,...并逐个计算;
f(1.1)=-0.63...;f(1.2)=-0.12...;f(1.3)=+0.55...;...
就看出在1.2与1.3之间包含着一个根。再把这个区间分成10等分，求出：
f(1.21)-0.06...;f(1.22)=-0.004...;f(1.23)=+0.058...;...
现在很清楚，可知这根位于1.22与1.23之间；这样，我们已经知道根的数值准确度达0.01，余类推。注：可是，实际上这方法是不方便的。在第四章（§5）内将指出远比它更为有效的方法。
由于f(1.22)<0,f(1.23)>0,所以在1.22和1.23之间必存在一个根。同时，也可以将1.22之1.23之间分成均等的10份。
f(1.220)=-0.004
f(1.221)=0.0016
所以1.221是上述方程的近似根。
有了这些事实以后，现在再来把同一定理的上述两种证明比较一下该是很有趣味的。第二种证明仅是方程f(x)=0的根的《存在的证明》，并没有说及怎样求出这根。而第一种证明却指出了实际求根的确定方法；用两半两半地逐次等分区间的方法（我们限于分成两半是为了简便），在实际上可以把所求的根包含于长度为任意小的区间内，既可以计算这根至任意的准确度。
1. 方程的近似解
153.导言
现在将研究求已给函数f(x)的零点或根，即方程式
f(x)=0 (1)
的实根的问题。而且在解决这问题时，我们将先假定，所求的根ξ是孤立的，即必能求出含有这根的区间[a,b]；
a<ξ<b,
在这区间内不再有其他的根。
再次，若在区间的两端处f(x)有异号的函数值f(a)及f(b)，则正如在81内读到波查诺-柯西第一定理的应用时所阐明的，可以逐步分割含根区间使成许多部分，并确定函数f(x)在分点处的符号，这样就可以任意地缩小含根区间而实现了根的近似计算。然而这方法，尽管它在原理上是简单的，在实用上却往往是不合用的，因为这需要太多的计算。在本节内将使读者熟悉计算方程式（1）的（孤立）根的近似值的最简方法，它是更有系统而且能快速地达到目的。在这里我们仍将利用微积分学的基本概念与方法。
我们永远要假定下列条件成立：
1）函数f(x)连同它的导数f`(x)及f``(x)在区间[a,b]内是连续的；
2）在区间的两端点处的函数值f(a)及f(b)有异号：f(a)*f(b)<0
3)两种导数f`(x)及f``(x)在区间[a,b]内都各自保持着一定的符号。
由函数f(x)的连续性及条件2)，推得在a与b之间含有方程式（1）的根ξ[80]。因为导数f(x)保持着一定的符号[3)]，所以f(x)在区间[a,b]内渐增或渐减，因此，只有一次等于0；故根ξ是孤立的。
条件3)在几何上指出，曲线y=f(x)不仅朝一个方向伸展，-总是向上或总是向下，看f``(x)的符号而定[132]。-而且还永远向下凸或向下凸（狭义的），看f``(x)的符号而定[143]。在图82上画着四种可能的情形，对应于f`(x)及f``(x)的两种符号的不同结合。
代数学内已证明，在计算代数方程式的（实）根时，总可以设法使条件1），2），3）成立，因此这些条件在原则上并不会限制下述方法的效用。至于超越（非代数的）方程式就不能这样说。然而在实用上，我们所设立的限制很少有妨碍，因为在绝大多数的场合，这些条件总是满足的。
154.比例法则（弦线法）
若区间[a,b]充分小，则在某种近似程度下，可以当作-当x在它的范围内变动时-函数f(x)的增量与变元的增量成比例。用ξ表示函数的根，就有
f(ξ)-f(a) ξ-a
≈
f(b)-f(a) b-a
由此，因 f(ξ)=0, 即得
(b-1)*f(a)
ξ≈a-
f(b)-f(a)
这样，在此处可用数x 作为根的近似值，
1
(b-a)*f(a)
x =a- （2）
1 f(b)-f(a)
这式子显然又可以表示为这样的形式：
(b-a)*f(a)
x =b- （2*）
1 f(b)-f(a)
上述的求根的近似值的法则也称为比例法则。
注：在以前，它被称为《错位法则》，因为它所根据的假定，严格来说，是并不符合于实际的。
它可以有简单的几何说明。用弦MM`代替曲线弧MM`(图82)。弦的方程式可以写成
f(b)-f(a)
y-f(a)= (x-a) （3）
b-a
我们的法则本质上就变成不去确定曲线与x轴的交点A，而去确定弦与x轴的交点D。
事实上，令(3)内的y=0，则解出点D的横标x ，刚好符合式子（2）
1
因这缘故，比例法则亦成为弦线法。今转而探究点x 与根ξ的相互位置。
1
显然，点x 位于a和b之间，但是在ξ的哪一边呢？
1
因为在情形Ⅰ和Ⅱ（Ⅲ和Ⅳ）我们遇到的是向下（向上）凸的函数，所有曲线MM`落在弦MM`的下面（上面），即
f(b)-f(a)
f(x)<f(a)+ (x-a) (a<x<b) （4）
b-a
或
f(b)-f(a)
f(x)>f(a)+ (x-a) (a<x<b) （4*）
b-a
令这里x=x ，直接得出
1
y
f`>0
f``>0
M`
P D P`
O A T` T x
a
M
b
Ⅰ
y
f`>0
f``<0
M
a
D P`
T` O P T A x
M`
b
Ⅱ
y
f`<0
f``>0 M`
P T A D P`
T` O x
a
M
b
Ⅲ
y
f`<0
f``<0
M
a
T`
O P D A P` T x
M`
b
Ⅳ
图82
f(x )<0或f(x )>0
1 1
所以f(x )的符号总是和f``(x)的符号相反。所以f(x )的符号总是和f``(x)的符号相反。
1 1
由此，我们终于断定，在情形Ⅰ和Ⅳ，数值x 落在a和ξ之间，
1
而在情形Ⅱ和Ⅲ，则在ξ和b之间。以后讨论以情形Ⅰ及Ⅳ为限，再把我们的法则应用于区间[x ,b]； 把(2)内的a换成x ,则得根ξ的新的近似值：
1 1
(b-x )*f(x )
1 1
x =x - （2）
2 1 f(b)-f(x )
1
按照已证明的论点，它含在x 与ξ之间。
1
这一步骤，可以不断地继续下去，于是得到总在渐增的近似值的序列
a<x <x <...<x <x <...<ξ
1 2 n n+1
这时，任何两个相继的数值x 与x ，用类似于（2）的公式联结者：
n n+1
(b-x )*f(x )
n n
x =x - （2）
n+1 n f(b)-f(x )
n
上面就是说，当函数f(x)的图像曲线很小时，它就趋近于直线. 这个直线和x轴的交点，近似的等于曲线的x轴的交点。
求出这个直线和x轴的交点D的值x ，它就是方程f(x)=0的根。
2
同时，因为直线的斜率一定，区间[x ,b]之间的根x 等于
1 2
(b-x )*f(x )
1 1
x =x -
2 1 f(b)-f(x )
1
兹证明，随着n的渐增，x →ξ。
n
事实上，单调渐增的但是有界的[例如，以数ξ为上界）变量x 应该趋向于某一有穷极限a
n
≤ξ。若对等式(5)取极限，并利用函数f(x)的连续性，则得
(b-a)*f(a)
=0
f(b)-f(a)
由此,f(a)=0. 因为方程式（1）在区间[a,b]内除去ξ以外再没有旁的根，故必a=ξ。
注：不要关于二阶导数的假定，亦可以证明x →ξ，
n
但那时点x 就可以会从根的一方跳到另一方去。
n
y
b M`
ξ
x2
x1
P D P`
O A T` T x
a
M
图83
图83说明依次作出的各弦与x轴的交点D1，D2,...向所求点A逐渐地接近。很容易理解，在情形Ⅱ及Ⅲ时重复应用这法则，会导出渐减的近似值的序列。
b>x >x >...>x >x >...>ξ
1 2 n n+1
这些近似值从右边趋向于根ξ, 这样，在一切情形下，把上述的法则应用了足够的次数以后，可以计算根ξ达到任意的准确度。可是现在还有一个未解决的问题，怎样估计已算出的近似值x 的准确度，要解决这问题，可把有限增量公式[112]应用于差
n
f(x )-f(ξ):
n
f(x )=f(x )-f(ξ)=(x -ξ)*f`(c) (ξ>c>x )或(ξ<c<x )
n n n n n
由此
f(x )
n
x -ξ=
n f`(c)
若用m表示｜f`(x)｜在所考察的区间内的最小值（它可以预先算出而且以后不必再算了），
则得估计：
｜f(x )｜
n
｜x -ξ｜≤ (6)
m
这样，由f(x )的大小，就可以判断x 与根的近度了！
n n
上式表明真正的根ξ和求得的根x 差的绝对值小于函数f(x )的值除以m的值。
n n
用这个不等式可以判断所求的的近似根x 和真实根ξ相差的大小。
n
考察例题，方程式
3 2
x -2x -4x-7=0
有一根在3与4之间，因为若用f(x)表示式子的左端，就有
f(3)=-10<0,f(4)=9>0.
兹规定要算出这根是准确度达到0.01. 在区间[3,4]内，两种导数
2
f`(x)=3x -4x-4 及 f``(x)=6x-4
都保持着正号（情形Ⅰ）；一阶导数在这区间内的最小值是m=11. 就是说当x取最小值，即x=3时, f`(x)=3*3*3-4*3-4=11
就有：
f(3) 10
x =3- =3+ =3+0.52...
f(4)-f(3) 19
四舍五入，令x =3+0.52... ≈3.52
1
因为f(3.52)=-2.246592, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算
(4-3.52)*f(3.52) 0.48*f(3.52) 0.48*(-2.246592) 1.07836416
x =3.52- = 3.25- = 3.25- = 3.25+
2 f(4)-f(3.52) f(4)-f(3.52) 9-(-2.246592) 11.246592
=3.25+0.09...
或四舍五入，
x =3.25+0.09... ≈3.61
2
算出f(3.61)=-0.458319, 并使用不等式（6），仍旧看出还没有达到目的。最后，
(4-3.61)*f(3.61) 0.39*f(3.61) 0.48*(-0.458319) 0.17874441
x =3.61- = 3.61- = 3.61- = 3.61+
3 f(4)-f(3.61) f(4)-f(3.61) 9-(-0.458319) 9.458319
=3.61+0.0188...
用四舍五入法凑足小数第二位令
x =3.61+ 0.0188... ≈3.63
3
因为我们是在《向根的一侧》凑足小数第二位，所以x 可能会跳到这根的右边去；
3
但现在并未发生这种情形，这可由符号上看到，因为 f(3.63)=-0.041653
在这一次，依不等式（6），
0.041...
｜x -ξ｜=ξ-x < <0.004
3 3 11
这样，3.630<ξ<3.634, 即ξ=3.63+0.004, 因为f(3.63)=-0.041653<0, f(3.64)=0.229344>0
所以真实根在区间[3.63,3.64]之间, 我们可以将3.63到3.64之间分成10等分.
3 2
f(3.631)≈3.631 -2*3.631 -4*3.631-7= 47.871688591+ 26.368322+ 14.524-7= -0.020633409
f(3.632)≈3.632 -2*3.632 -4*3.632-7= 47.911251968+ 26.382848+ 14.528-7= 0.000403968
由于｜0.000403968｜<｜-0.020633409｜, 所以3.632更接近于真实根，它就是方程的近似根
2,考察例题，方程式
3 2
3x -4x -6x-12=0
可以设
3 2
f(x)=3x -4x -6x-12
可以将x=1,x=2,x=3,x=4分别代入函数f(x)，计算函数值f(2)=-16.f(3)=15
所以可得, 有一根在2与3之间，因为若用f(x)表示式子的左端，就有
f(2)=-16<0,f(3)=15>0.
兹规定要算出这根是准确度达到0.01. 在区间[2,3]内，两种导数
2
f`(x)=9x -8x-6及f``(x)=18x-8
都保持着正号（情形Ⅰ）；一阶导数在这区间内的最小值是m=9*2*2-8*2-6=14, 就是说当x取最小值，即x=2时, f`(x)=9*2*2-8*2-6=14. 就有：
f(2) *(3-2) 16
x =2- =2+ =2+0.5161...
1 f(3)-f(2) 31
四舍五入，令x =2+0.5161... ≈2.51
1
因为f(2.51)=-4.760647, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算
(3-2.51)*f(2.51) 0.49*f(2.51) 0.49*(-4.760647) 2.33271703
x =2.51- = 2.51- = 2.51- = 2.51+
2 f(3)-f(2.51) f(3)-f(2.51) 15-(-4.760647) 19.760647
=2.51+0.1180...
或四舍五入，
x =2.51+ 0.1180...≈2.63
2
算出f(2.63)=-0.87326, 并使用不等式（6），仍旧看出还没有达到目的。最后，
(3-2.63)*f(2.63) 0.37*f(2.63) 0.37*(-0.87326) 0.3231062
x =2.63- = 2.63- = 2.63- = 2.63+
3 f(3)-f(2.63) f(3)-f(2.63) 15-(-0.87326) 15.87326
=2.63+0.203553..
用四舍五入法凑足小数第二位令
x =2.63+ 0.203553...≈2.83
3
因为我们是在《向根的一侧》凑足小数第二位，所以x 可能会跳到这根的右边去；
3
但现在并未发生这种情形，这可由符号上看到，因为 f(2.83)=6.9799>0, f(2.63)=-0.87326<0
就有：
f(2.63)*(2.83-2.63) 0.87326*0.2 0.1746
x =2.63- = 2.63+ = 2.63+ = 2.63+0.0222...
4 f(2.83)-f(2.63) 6.9799+0.87326 7.85316
四舍五入，令
x =2.63+ 0.0222... ≈2.65
4
因为f(2.65)=-0.161125, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算
(2.83-2.65)*f(2.65) 0.18*f(2.65) 0.18*(-0.161125) 0.0290025
x =2.65- = 2.65- = 2.63- = 2.63+
5 f(2.83)-f(2.65) f(2.83)-f(2.65) 6.9799+0.161125 7.141025
=2.63+0.203553..
四舍五入，令
x =2.63+ 0.004061... ≈2.654
4
因为f(2.654)=-0.016864
在这一次，依不等式（6），
0.016864
｜x -ξ｜=ξ-x < <0.001204
4 4 14
这样,2.654<ξ<2.655,即ξ=2.654+0.001, 因为f(2.655)=0.19384125, f(2.654)<0, f(2.655)>0
所以真实根在区间[2.654,2.655]之间, 我们可以将3.63到3.64之间分成10等分
3 2
f(2.6541)≈3*2.6541 -4*2.6541 -6*2.6541-12
= 56.0884-28.17698-15.9246-12
=-0.01318
3 2
f(2.6542)≈3*2.6542 -4*2.6542 -6*2.6542-12
= 56.0947-28.17691-15.9252-12
=-0.00741
3 2
f(2.6543)≈3*2.6543 -4*2.6543 -6*2.6543-12
= 56.10108-28.1812-15.9258-12
=-0.00592
3 2
f(2.6546)≈3*2.6546 -4*2.6546 -6*2.6546-12
= 56.12011-28.1876-15.9276-12
=-0.00491
3 2
f(2.6549)≈3*2.6549 -4*2.6549 -6*2.6549-12
= 56.139146-28.19397-15.9294-12
=-0.00491
3 2
f(2.6544)≈3*2.6544 -4*2.6544 -6*2.6544-12
= 56.10743-28.18336-15.9264-12
=-0.00233
3 2
f(2.6545)≈3*2.6545 -4*2.6545 -6*2.6545-12
= 56.11377-28.185481-15.927-12
=0.001289
故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算
(2.655-2.654)*f(2.654) 0.001*f(2.654) 0.001*(-0.016864) 0.00016864
x =2.654- = 2.654- =2.634- =2.634+
6 f(2.655)-f(2.654) f(2.655)-f(2.654) 0.19384125+0.016864 0.210705
=2.654+0.00080036...
四舍五入，令
x =2.654+ 0.00080036... ≈2.6548
6
因为f(2.6548)=0.01214, 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算.
(2.6548-2.654)*f(2.654) 0.0008*f(2.654) 0.0008*(-0.016864) 0.0000134912
x =2.654- = 2.654- =2.634- =2.634+
7 f(2.6548)-f(2.6540) f(2.655)-f(2.6548) 0.01214+0.016864 0.029004
=2.654+0.00046515...
四舍五入，令
x =2.654+ 0.00046515... =-0.00233<0
7
因为
3 2
f(2.6545)≈3*2.6545 -4*2.6545 -6*2.6545-12
= 56.11377-28.185481-15.927-12
=0.001289>0
所以 x =2.654+ 0.00046515... =-0.00233是方程的近似解
7
4. 考察例题，方程式
4 3 2
x -3x -7x -x +3=0
设将左边分解因式，将不等式改为下列形式
2 2
(x -4x+3)(x +2x+1)<0
因为
2
x +2x+1=0
有一个实根-1，其值永为正
2
x -4x+3<0
(x-1)(x-3)<0
所以1<x<3
设
4 3 2
f(x)= x -3x -7x -x +3
所以, f(1)=-7<0, f(0)=3>0, 所以可得, 有一根在0与1之间，兹规定要算出这根是准确度达到0.01. 在区间[0,1]内，两种导数.
3 2 2
f`(x)=4x -9x -14x-1 及 f``(x)=12x -18x-14
y
M
O
T` P T A D P` x
M`
b
Ⅴ
图82b
都保持着正号（情形Ⅴ）；一阶导数在这区间内的最小值是m=4*1*1*1-9*1*1-14*1-1=-20, 就是说当x取最小值，即x=1时,
f`(x)==4*1*1*1-9*1*1-14*1-1=-20
就有：
f(1) *(0-1) 7
x =1- =1- =1-0.7 =0.3
1 f(0)-f(1) 10
因为f(0.3)=1.9971 , 故依不等式（6），还没有达到要求的准确度。继续计算
(0.3-1)*f(1) -0.7*f(1) -0.7*(-7) 4.9
x =1- = 1- =1- =1- =1-0.5446...
2 f(0.3)-f(1) f(0.3)-f(1) 1.9971-(-7) 8.9971
或四舍五入，
x =1-0.5446...≈0.46
2
算出, f(0.46)=0.53314, 并使用不等式（6），仍旧看出还没有达到目的。最后，
(0.46-1)*f(1) -0.54*f(1) -0.54*(-7) 3.78
x =1- = 1- =1- =1- =1-0.50178...
3 f(0.46)-f(1) f(0.46)-f(1) 0.53314-(-7) 7.53314
用四舍五入法凑足小数第二位令
x =1- 0.50178...≈0.49
3
算出f(0.49)=0.110497, 并使用不等式（6），仍旧看出还没有达到目的。最后，
(0.49-1)*f(1) -0.51*f(1) -0.51*(-7) 3.57
x =1- = 1- =1- =1- =1-0.502075...
4 f(0.49)-f(1) f(0.49)-f(1) 0.110497-(-7) 7.110497
用四舍五入法凑足小数第二位令
x =1- 0.502075...≈0.50
4
算出f(0.50)=0.6875>0, 因为f(0.49)=0.110497, 在这一次，依不等式（6），
0.110497
｜x -ξ｜=ξ-x < <0.005
3 3 20
这样，0.49<ξ<0.495, 即ξ=0.49+0.005, f(0.495)=0.486002, ｜f(0.49)｜<｜f(0.495)｜, 所以，0.49是方程式的近似解
第十四部分方程的近似解1
155，牛顿法则（切线法）
回到原来的关于函数f(x)的假定[153]；所求的函数的根在区间[a,b]内是孤立的；a<ξ<b, 从这区间的任一端点，例如从b出发，写出余项为拉格朗奇的戴劳公式：
2
0=f(ξ)=f(b)+f`(b)*(ξ-b)+(1/2)*f``(c)*(ξ-b) (ξ<c<b) (7)
上式是带余项的戴劳公式, 它表示函数f(ξ)等于f(ξ)一阶导数，二阶导数，三阶导数的和, 弃去余项，可以近似地令f(b)+f`(b)*(ξ-b)≈0, 由此
f(b) 1 f``(c) f(b)
ξ≈b- - * (ξ-b) ≈b-
f`(b) 2 f`(b) f`(b)
由这种方法，我们求得根ξ的近似值, 因为x` 约等于ξ
1
f(b)
x` =b- (8)
1 f`(b)
这数值的求法，亦可以用几何方法直觉地来说明。考察曲线y=f(x)上横标为b的点M`处的切线。它的方程式是y-f(b)=f`(b)*(x-b), 在此处令y=0，求得切线与x轴的交点T`的横标x；恰好符合于(8), 这就是说，上法实质是用曲线弧MM`的一端点处的切线来作为弧的近似代换（参阅图82）
y
f`>0
f``>0
M`
P D P`
O A T` T x
a
M
b
Ⅰ
y
f`>0
f``<0
M
a
D P`
T` O P T A x
M`
b
Ⅱ
y
f`<0
f``>0 M`
P T A D P`
T` O x
a
M
b
Ⅲ
y
f`<0
f``<0
M
a
T`
O P D A P` T x
M`
b
Ⅳ
图82
这法则定名为牛顿法则，亦称为切线法。牛顿法则表明当函数图像的曲线趋近于很小时，可以用函数f(x)的x上的切线，即导数。来代替函数曲线, 所以，当f(x)=0时，方程解x上的切线可以替换函数f(x)的曲线。方程f(x)=0的解就约等于f(x`)=0的解, 可是发生这样一个问题，由公式（8）所求得的数值x` 位于何处。
1
事实上，就在图82亦可以看出，切线与x轴的交点甚至可以位于所考察的区间之外! 我们将证明，若数值f(b)与f``(x)同号（即在情形Ⅰ及Ⅳ），则x` 位于ξ与b之间。
1
实际上，因为f(b)与f`(b)同号，故由（8）立即知道, x` <b。
1
另一方面，由（7）及（8）推得：
f(b) 1 f``(c) 2
ξ-x` =ξ-b+ = - * (ξ-b) (9)
f`(b) 2 f`(b)
但我们已经假定f``(x)与f(x)同号，因此ξ<x` , 结果：ξ<x` <b
1 1
类似地，若从点a出发在端点M（横标为a）处引出曲线的切线，则代替（8）可得近似值.
f(a)
x` =a- (8*)
1 f`(a)
上式表明x 的导数等于a减去f(a)除以f(a)的导数。关于依这一公式所算出的数值，
1
可以像上面一样地证明：若数值f(a)与f``(x)同号（即在情形Ⅱ及Ⅲ），则x` 与ξ之间。
1
这样对四种可能情形内的每一种，都已指出, 应该从那一端开始才可依牛顿法则得到根的近似值。重复应用这法则，在情形Ⅰ及Ⅳ就得出渐减数值的序列：
b>x` >x`>...x` >x` >...>ξ
1 n n+1
而在情形Ⅱ及Ⅲ，就得出渐增数值的序列:
a<x` <x`<...x` <x` <...<ξ
1 n n+1
而且根据前一数值来计算后一数值时总是依照公式
f(x` )
n
x` =x` - (10)
n+1 n f(x` )
n
在此处很容易证明x` →ξ。单调而且有界的变量x` , 必有有穷极限β；
n n
在（10）内取极限，并应用函数f(x)及f`(x)两者的连续性，就求出
f(β)
=0
f`(β)
由此 f(β)=0, 而 β=ξ, 图84表明历次的切线与x轴的交点T ,T ,...从一侧接近于点A。这样，重复应用牛顿法则，亦可以计算根ξ达到任意的准确度。这时，已经算出的近似值的准确度仍可像上面那样由公式（6）来估计。为了要表达出差x -ξ减小的速度，
n
我们再来导出另一估计式。
回到公式（9）；把里面的b换成x` ，而x` 换成x` ；
n 2 n+1
1 f``(c) 2
x` -ξ= * (x` -ξ) (9)
n+1 2 f`(x` ) n
n
用M表示｜f``(x)｜在给定区间[a,b]内的最大值（并保持m的原来意义），由此现在很容易得出：
M 2
｜x` -ξ｜≤ *｜x` -ξ｜
n+1 n
因为右端有一个平方的因子，这就保证着x` 很快地接近于ξ（至少从某一项开始是如此），
n
这就使切线法成为根的近似算法中的一种最有效的方法。
注：m表示f`(x )在区间[a,b]内的最小值。不等式（11）还有一个作用。
n
若已算出的数值x` 的准确度已经用例如不等式（6）估定，
n
那么不等式（11）就使我们可以预先估计出尚未算出的数值x` 的准确度。
n+1
这对于解决应该取x` 至小数点后第几位的问题时是有用处的。
n+1
现在举一些例题。
在解题时，自然要利用手头一切代替笔算的辅助工具，如：乘方及开方表，乘法表，计算器，对数表及三角函数对数表，三角函数真数表，角度及弧度换算表等等。
156.例题及习题
在这一段内我们将专门使用切线法。
1)计算方程式
3 2
x -2x -4x-7=0 的根，使准确度达到0.01，已知这根在区间（3，4）内[参阅154]。我们有
3 2
f(x)=x -2x -4x-7，f(3)=-10<0，f(4)=+9>0,
2
在3≤x≤4时f`(x)=3x -4x-4>0，f``(x)=6x-4>0, （情形Ⅰ）；｜f`(x)｜的最小值是m=11.
现在由给定区间的右端b=4出发，因为在这端点处函数f(x)与f``(x)有相同的符号。依公式（8）
f(4) 9
x`=4- =4- =4-0.32...
f`(4) 28
四舍五入，令
x` =4-0.3=3.7.
1
因为
f(x` )=f(3.7)=1.473,
1
故依不等式（6），
1.473
x` -ξ< <0.14
1 11
即还不够达到所需的准确度。再求
f(3.7) 1.473
x` =3.7- =3.7- =3.7-0.066...
2 f`(3.7) 22.27
令
x` =3.7-0.066=3.634
2
在这一次f(x`)=f(3.634)=0.042...，于是根据（6），
0.042
x` -ξ< <0.004
11
因此3.630<ξ<3.634,而ξ=3.63 已达到所求的准确度。（同是得出这一结果，在154内用弦线法却需要做三次）。
还可以再把准确度提高一点,所以真实根在区间[3.63,3.64]之间, 我们可以将3.63到3.64之间分成10等分.
3 2
f(3.631)≈3.631 -2*3.631 -4*3.631-7=
= 47.871688591+ 26.368322+ 14.524
= -0.020633409
3 2
f(3.632)≈3.632 -2*3.632 -4*3.632-7=
= 47.911251968+ 26.382848+ 14.528
= 0.000403968
由于 ｜0.000403968｜< ｜-0.020633409｜
所以3.632更接近于真实根，它就是方程的近似根
2）第二个例题是解方程式
x*log x=1
10
利用这机会，给读者说明，怎么可以用函数的图示法来预测方程式的根的位置。
满足于方程式
1
log x=
10 x
的x值，显然表示两曲线
1
y=log x及y=
10 x
的交点的横标。 即使由它们的草图（图35）也可立刻看出，所求的根位于2与3之间。
y y=1/x
y=log x
10
o 1 2 3 4 x
图85
这是容易计算来检验的，因为令
f(x)=x*log x-1
10
，就有 f(2)==2*0.30103-1=-0.39793...<0，f(3)=3*0.47712125471-1=0.43136...>0，
注：查《中学数学用表》可知
log 2=0.3010, log 3=0.4771
10 10
现在要计算这根使准确度达到0.0001, 显然，在2≤x≤3时，
f`(x)=(x*log x-1)`=(x*log x)`-(1)`=x`*logx+x*log` x
x*log e
=log x+
x
=log x+log e>0
f``(x)= (log x+log e)`=log` x+log` e
x*log e
= >0 （情形Ⅰ）；
x
可以令m=0.7. 因为f(3)刚好与f``(x)同号，故依公式（8）
3*log 3-1
f(3) 10
x` =3- =3-
1 f`(3) log 3+log e
10 10
3*0.47712125471-1
=3-
0.47712125471+0.434294
0.43136...
=3- =3-0.473...
0.91141...
令x` =3-0.47=2.53
1
就有f(x` )=f(2.53)=0.019894...
1
于是
0.0199
x` -ξ≤ <0.03
1 0.7
再求
2.53*log 2.53-1
f(2.53) 10
x` =2.53- =2.53-
2 f`(2.53) log 2.53+log e
10 10
2.53*0.4031205211758-1
=2.53-
0.4031205211758+0.434294
0.019894...
=2.53- =2.53-0.02375...
0.83741...
注：log 2.53=0.4031205211758
10
取 x` =2.53-0.0237=2.5063
2
依不等式（6）估计误差： 用计算机器算得
log 2.5063=0.399033
10
f(2.5063)=2.5063*log 2.5063-1=2.5063*0.399033-1=0.000096...
0.000096...
x` -ξ≤ <0.0002
2 0.7
即2.5061<ξ<2.5063
在这种情形，就有已经达到所求准确度的根, ξ=2.5602±0.00001, [实际上2.5062是ξ的盈近似值，因为f(2.5062)>0]
3)回到方程式
x
2 =4x
在81内已经讲到过它。我们在那里曾看出，这方程式的根位于0与0.5之间。这种情况，借助于函数
x
y=2 及y=4x
的图线，亦很容易看得出来。在图86中很清楚地看到，这些曲线除去有横标为4的交点以外，还相交于有横标ξ在0与0.5之间的某一点。要算出这根使准确度达到0.00001.
y y=4x
16
14
12
10
8
x
y=2
6
4
2
o 2 4 x
图86
x x x
对于0≤x≤0.5,有f(x)=2 -4x, f`(x)=2 *ln 2-4<0，f``(x)=2 *ln 2>0 （情形Ⅱ）
M
在此处m=4-√2*ln 2>3, M=√2log 2<0.7, <0.12
m
因为f(0)=1与f``(x) 同号，故应从a=0开始。根据（6），这近似值的误差<1/3,
｜f(0)｜
<
m
0
2 -4*0,
<
3
<1/3
然后根据（11），可以预先估计出误差：
2 M
ξ-x` <｜x` -ξ｜
1 1 m
1 2
ξ-x` < 0.12*( )
1 3
1
ξ-x` < 0.12* <0.014
1 9
因此依公式（8*）算出的数值
f(a)
x` =a-
1 f`(a)
0
2 -4*0,
x` =0-
1 0
2 *ln 2-4
1 1 1
x` =a- =- = =0.30...
1 ln 2-4 0.69314718-4 3.306852...
应取至小数点后第二位：
x` =0.30
1
利用数值f(0.30)=0.031144...
0.30
f(0.30) = 2 -4*0.3
=1.2311444133-1.2
=0.031144...
再依不等式（6）更精确地估计误差：
｜f(0.30)｜
ξ-x` <
1 m
0.031144...
ξ-x` < <0.011
1 3
然后，再依（11），
2 M
ξ-x` <｜x` -ξ｜
2 2 2m
2
ξ-x` < 0.12*(0.011 )
2
ξ-x` < 0.12*0.000121
2
ξ-x` <0.1280.000121<0.000015
2
于是我们就接近于所需要的准确度。下面一个近似值：
f(a)
x` =a-
2 f`(a)
0.30
2 -4*0,
x` =0.30-
2 0.30
2 *ln 2-4
1.2311444-1.2
x` =0.30-
2 1.2311444*0.69314718-4
0.031144... 0.031144...
x` =0.30- =0.30+ =0.309897...
2 0.8533643...-4 3.1466356...
在《向根的一侧》凑足小数点后第五位x` =0.3090
2
因为
0.30990
f(0.30990) = 2 -4*0.30990
=1.239621-1.2
=0.000021...>0,
所以这数值还是比根小一些。至于它的误差，根据（6）是
｜f(0.30990)｜
ξ-x` <
2 m
0.000022
ξ-x` < <0.00001
2 3
于是，最后有ξ=0.30990+0.00001
4）方程式tg x=x有无穷多个根。这可以从图87中立刻看出，由于正切y=tg x的图线与直线y=x的交点有无穷多个。要算出这方程式的最小正根，它位于5π/4与3π/2之间。
y y=x
此点为两个函数的最小正交点，它是方程的解
π -π/2 o π/2 π 5π/4 3π/2 x
y=tgx
图87
因为在x=3π/2时正切成为无穷，将方程式表示为
f(x)=tg x-x=(sin x/cos x)-x, f(x)=sin x-x*cos x=0
更为方便。我们有
√2 5π √2
f(5π/4)=- - *(- )
. 2 4 2
√2 5π
f(5π/4)=- (1 - )
. 2 4
1.414213 5*3.1415926
=- (1 - )=2.7
. 2 4
3π
f(3π/2)=-1- *0
2
f(3π/2)=-1<0, f`(x)=x*sinx<0, m>2.7;
f`(x)=(sin x-x*cos x)` =cos x-(x*cos x)` =cos x-(x`*cos x+xcos` x) =cos x-cos x+xsin x=x*sinx<0,
f``(x)=[f`(x)]` =(x*sinx)` =x` sin x+x sin` x=sin x+x cos x
f``(x)=sin x+xcos x<0（情形Ⅳ）
从b=3π/2=4.7123889... 开始；得
f(b)
x` =b-
1 f`(b)
f(3π/2)
= 3π/2-
f`(3π/2)
sin 3π/2-(3π/2)*cos 3π/2
= 3π/2-
3π/2*sin3π/2
3π
-1- *0
2
= 3π/2-
3π/2*(-1)
= 3π/2- 2π/3
=(3*3.1415926)/2-2/(3*3.1415926)
4.7123889...-0.2122066...,
在此处我们碰到下面的情况：在三角函数（及其对数）表上角度表示为度、分、秒；因此在这种单位之下来取舍校正数0.2122066...的尾数对我们要更方便些。我们就取12°10`，它对应于略大一些的数0.21223484...（在《向根的一侧》凑成分）， 于是
x` =4.5000406...(257°50`)
1
再次， 查中学数学用表，得
f(x` )=sin257°50`-4.5000406...*cos 257°50`
1
f(x` )=-cos 12°10`+4.5000406...*sin 12°10`
1
f(x` )=-0.9774+4.5000406...*0.2107
1
f(x` )=-0.0291274
1
f`(x` )=4.5000406...*sin 257°50`
1
f`(x` )=4.5000406...*(-cos 12°10`)
1
f`(x` )=4.5000406...*(-0.9774)
1
f`(x` )=-4.398962...;
1
f(x` )
1
x` -ξ< <0.012
1 m
0.03
x` -ξ< <0.012
1 2.7
继续求得：
f(x )
1
x` =x` -
1 1 f`(x )
1
0.0291274...
x` =4.5000406...- =4.5000406...-0.0066214...,
4.398962...
查中学数学用表可知：
弃去校正数的尾数使成为0.0066177...(22`45``)并取,
因为 0.0066177化为弧度就是22`45``, 所以可以将0.0066214近似看成0.0066177，即22`45``.
x` =4.5000406...-0.0066177...=4.4934229...(257°27`15``)
2
因为
f(x` )=-0.000059...,
2
故
f(x` )=sin257°27`15``-4.4934229...*cos 257°27`15``
2
f(x` )=-cos 12°32`45``+4.4934229...*sin 12°32`45``
2
f(x` )=-0.9764+4.4934229..*0.2170
2
f(x` )=-0.000059...
2
f(x` )
2
x` -ξ<
2 m
0.000059
x` -ξ< <0.0000223
2 2.7
0.00006
x` -ξ< <0.0000223
2 2.7
这样，4.4934006...<ξ<4.4934229...,
故可令ξ=4.934+0.0000223=4.934+0.00003
5）当含有根的区间充分小时，牛顿法则的效力特别显著。
今要算出方程式
3
x -2x-5=0 的根，
从含有它的区间（2，2.1）出发，最后要达到高度的准确度，就是说
1
10
10
在此处：
3
f(x)=x -2x-5, f(2)=-1<0, f(2.1)=0.061>0,
2
f`(x)=3x -2>0, f``(x)=6x>0, （当2≤x≤2.1）（情形Ⅰ）
很容易算出，m=f`(2)=3*4-2=10, M<｜f``(2.1)｜=2.1*6=12.6，
于是
M
<0.63
2m
M 12.6
< <6.3
2m 2*10
从b=2.1开始。依公式（6）：
0.061
b-ξ< =0.0061。
10
现在利用不等式（11），来预先算出可以期望x` 达到怎样的准确度：
1
2
x` -ξ<0.63*0.0061 <0.000024
1
因此，我们将
f(2.1) 0.061
x` =2.1- =2.1-
1 f`(2.1) 11.23
在《向根的一侧》凑足小数点后第五位：
x` =2.1-0.00544=2.09456
1
因为f(x` )=f(2.09456)=0.000095078690816
1
所以现在依公式（6）可以更精确地估计误差：
0.000095...
x` -ξ< <0.00001
1 10
转向x`，再应用公式（11），预先算出：
2
x` -ξ<0.63*0.00001 =0.000000000063
1
因此，取
0.000095078690816
x`=2.909456- =2.09456-0.000008518416...
11.1615447808
至小数点后第十一位：
x` =2.09456-0.00000851841=2.09455148159
2
它与所求根相差仍是小于0.0000000007. 因此，
2.09455148152<ξ<2.09455148159
即
1
ξ=2.0945514815+
10
10
157.联合法
这方法是同时利用切线法及弦线法。为着明确起见，假定我们碰到的是情形Ⅰ。
如前，利用公式（2）及（8）可算出近似值x 及x`
1 1
(b-a)*f(a)
x =a-
1 f(b)-f(a)
f(b)
x` =a-
1 f`(b)
其中 a<x <ξ<b，ξ<x` <b
1 1
依照已证明的论点。
a<x <ξ<x` <b
1 1
在下一步内，我们干脆用x 及x` 代换公式内的a及b。
1 1
(x` -x )*f(x )
1 1 1
x =x -
2 1 f(x` )-f(x )
1 1
f(x` )
1
x =x -
2 1 f(x` )
1
这步骤可以无限地继续下去；只要有两个近似值x 及x` ，
n n
在它们之间含有根ξ，我们就能依下列公式得出再下面的一对近似值：
(x` -x )*f(x )
n n n
x =x - （991）
n+1 n f(x` )-f(x )
n n
f(x` )
n
x` =x` - （991*）
n+1 n f`(x` )
n
第二公式（991），（991*）和（10）相同；第一公式却和（5）大有区别，因为，这里点x` 代替了点b， 而x` 是越来越接近于ξ的。
n
如果将不等式（4）-对应于所考察的情形-改写成
x-a b-a
>
f(x)-f(a) f(b)-f(a)
或
x-a b-a
<
f(x)-f(a) f(b)-f(a)
并令其中
a=x ,x=x` ,
n n
那么容易看出，上面说的把b换成x` 的结果只能是使x 更快地逼近所求的根（几何上这是显然的！）。即
x` -x b-x
n n n
>
f(x` )-f(x ) f(b)-f(x )
n n n
x 从左趋近于ξ，或
n
x` -x b-x
n n n
<
f(x` )-f(x ) f(b)-f(x )
n n n
x 从右趋近于ξ，同时
n
x` -x x` -a
n n n
>
f(x` )-f(x ) f(x` )-f(a )
n n n
x` 从左趋近于ξ，或
n
x` -x x` -a
n n n
<
f(x` )-f(x ) f(x` )-f(a )
n n n
x` 从右趋近于ξ，
n
这样，在用联合法时，我们可以同时求得根的亏近似值及盈近似值，它们从根的两侧趋近于它。在情形Ⅰ及Ⅳ，x 从左而x` 从右趋近于ξ，
n n
至于在Ⅱ及Ⅲ，显然情形刚刚相反。数量｜x` -x ｜使我们能直接判断所达到的近似程度，
n n
用联合法的好处就在于此。用例题来说明它的应用。
158.例题及习题,在这里假定只应用联合法。
1）求方程式
3 2
f(x)=2x -x -7x+5=0
的三实根使准确度达到0.001. 函数y=f(x)的草图帮助我们求得含有这些根的区间：
-2<ξ <-1，0<ξ <1，1<ξ <2，
方程的三个根可以表示为
3 2
f(x)=2x , f(x)=x +7x-5
两函数的三个交点
交点以外，还相交于有横标ξ在0与0.5之间的某一点。要算出这根使准确度达到0.00001.
2
y f(x)=x +7x-5
8
6
4
2
-4 -2 o 2 4 x
-2
-4
-6
3
f(x)=2x -8
图86a
因为-2<ξ <-1，0<ξ <1，1<ξ <2，
1 2 3
所以,三个不等式相加，
0<ξ +ξ +ξ <1
1 2 3
ξ +ξ +ξ ≈0.5
1 2 3
由函数的符号的变化，很容易验证这事的正确性。
а)在区间[-2，1]内
2
f`(x)=6x -2x-7>0, f``(x)=12x-2<0(情形Ⅲ)
因为
f(-2)=-1<0,f(-1)=9>0, 故牛顿法则必须应用于区间的左端。
今有：f`(-2)=21及根据公式（991），（991*）
(x` -x )*f(x )
n n n
(x` -x )*f(x )
n n n
x =x - （991）
n+1 n f(x` )-f(x )
n n
f(x` )
n
x` =x` - （991*）
n+1 n f`(x` )
n
所以
-1
x` =-2 - =-1.952...，
1 21
9
x =-1 - =-1.9
1 9-（-1）
把数值x` 在减小的一侧凑足小数第二位，得数字-1.96<ξ
1 1
若把它在增大的一侧，即向根的一侧舍去尾数，则得数字-1.95；但
f(-1.95)=1.01775>0，即这时已跳到根的另一边去。这情况对我们是有利的，因为它给出了缩小含根区间的可能性。弃去以前的数值x ，令
1
x` =-1.96,x =-1.95，
1 1
再次，就有 f(-1.96)=-0.180672,f``(-1.96)=19.9696,
根据公式（991），（991*）
0.180672
x` =-1.96+ =-1.96+0.00904...=-1.95095...，
2 19.9696
0.01*0.01775
x =-1.95+ =-1.95-0.00086...=-1.95086...
2 0.01775+0.180672
因为ξ 应当包含在这两限界之间。显然有：
1
ξ =-1.9509±0.0001 （已超过所需要的准确度）。
1
б）在区间[0,1]内，一阶导数保持着负号，但二阶导数变号，在点x=1/6处等于零。这情况迫使我们还要预先将区间缩小。试验数值x=0.5，求得：f（0.5）=1.5>0; 因为 f(1)=-1<0，
故ξ 包含在区间[0.5,1]内，在它里面f``(x)保持着正号（情形Ⅱ）。
1
此处仍需把牛顿法则应用于左端点。就有
1.5
x` =0.5+ =0.7307≈0.74，
1 6.5
0.5
x =1+ =0.8
1 2.5
把x` 在向根的一侧凑足小数第二位，并不至于越过这根，因为f(0.74)=0.082848>0最后,
1
0.082848
x` =0.74+ =0.755...
2 5.1944
0.1296
x =0.80+ =0.756...
2 0.298848
于是0.755...<ξ <0.756...
2
而可以令ξ =0.756±0.001
2
в)在区间[1,2]内二阶导数保持着正号，但一阶导数变号，在
1+√43
x = ≈1.26
6
时等于0. 实验1.5：f（1.5）=-1，同时却有f(2)=3，于是
1.5<ξ <2;
3
f`(x)在区间内有正号（情形Ⅰ）。就有;
x =1.5+1/8≈1.6，
1
x` =2-3/13≈1.7；
1
在此处取x` =1.7并没有跳到根的左边去。
1
因为f(1.7)=0.036, 最后
0.0568
x =1.6+ =1.6+0.094...=1.694...,
2 0.604
0.036
x` =1.7+ =1.7-0.005...=1.694...,
2 6.94
于是有ξ =1.694+0.001
3
附注，因为依代数学上已知道的定理，根的总和当等于0.5，故可利用这定理来验算答案。
因为
ξ =1.694+0.001
3
ξ =0.756±0.001
2
ξ = -1.9509±0.0001
1
所以ξ +ξ +ξ ≈0.4991
1 2 3
2）方程式
4 3
f(x)=x -3x +75x-10000=0
有二实根：一根在-11与-10之间，另一根在9与10之间。计算这些根使准确度达到0.00001, 可以从函数
4
f(x)=x
和函数
3
f(x)= 3x +75x-10000
在笛卡尔坐标系的交点，判断根所在的区间。上面两个函数的交点就是上述方程的根。
4
y f(x)=x
8
6
4
2
-4 -2 o 2 4 x
-2
-4
-6
2
f(x)=3x +75x+10000
-8
图86a
在区间[-11,-10]内
3 2
f`(x)=4x -6x+75<0,f``(x)=12x -6>0
(情形Ⅱ)。求得根据公式（991），（991*）
(x` -x )*f(x )
n n n
x =x - （991）
n+1 n f(x` )-f(x )
n n
f(x` )
n
x` =x` - （991*）
n+1 n f`(x` )
n
所以
(-11)(-11)(-11)(-11)-3(-11)(-11)+75(-11)-10000
x` =-11-
1 4*（-11）（-11）（-11）-6（-11）+75
3453
x` =-11+ =-10.33...≈-10.3
1 5183
[-11-(-10)] [(-10)(-10)(-10)(-10)-3(-10)(-10)+75(-10)-10000]
x =-11-
1 3453- [(-10)(-10)(-10)(-10)-3(-10)(-10)+75(-10)-10000]
1050
x =-10+ =-10.23...≈-10.2
1 4503
在前一式内我们在向根的一侧舍去尾数，但并未超过这根。再求得
164.3181
x` =-10.3+ =-10.262...≈-10.262
2 4234.108
25.27984
x =-10.2+ =-10.260...≈-10.260
2 417.1165
（附注同上）。最后，
4.334569118736
x` =-10.262+ =-10.262...+0.0010354≈-10.2609645...,
3 4186.137218912
0.0807038048
x =-10.260- =-10.260...-0.0009642..≈-10.2609642...,
3 8.369759358736
于是 ξ =-10.260964-0.00001 （具有比所要求的更大的准确度）
1
б）在区间[9,10]内f`(x)>0,f``(x)>0(情形Ⅰ)。在此处;
3007
x` =9+ =9+0.869...≈9.87 (再向根的一侧)
1 3457
450
x =10- =10-0.112..≈9.89...,
1 4015
1.2389658878
x` =9.87+ =9.87+0.01599...≈9.88599...，
2 77.4689008
15.52060641
x =9.89- =9.89-0.003993..≈9.886006...，
2 3885.106676
于是显然，ξ =9.88600±0.00001
2
3)考察方程式 f(x)=x*sin x-0.5=0
作出函数y=sin x 及 y=0.5/x 的图线（图88）， 就看出它们相交于无穷多个点，于是我们的方程式有无穷多个根。由图线又看出，最小的正根ξ靠近着0.7；现在要计算这根使准确度达到0.000001. [根据在例题156例题4）内曾作出的附注， 在此处必须先改用度分秒的单位，然后再来取舍尾数]。
y
y=0.5/x
y=sin x
o x
图88
把数值a=0.6981317...(40°)及b=0.7853982...(45°)代入函数f(x)，在第一情形结果得负值，在第二情形结果得负值，这就是说a<ξ<b。在这区间内导数f`(x),f``(x)都有正号（情形Ⅰ）。计算的概要：注：note:f`(x)=sin x+x*cos x
根据公式（991），（991*）
(x` -x )*f(x )
n n n
x =x - （991）
n+1 n f(x` )-f(x )
n n
f(x` )
n
x` =x` - （991*）
n+1 n f`(x` )
n
(0.7853982...-0.6981317...)(0.6981317...*sin 0.6981317-0.5)
x =0.6981317...-
1 (0.7853982...*sin 0.7853982-0.5)-(0.6981317...*sin 0.6981317-0.5)
0.0872665...*(0.6981317...*0.6428-0.5)
x =0.6981317...-
1 (0.7853982...*0.6428-0.5)-(0.6981317...*0.6428-0.5)
x =0.6981317...+0.0419512...
1
0.7853982...*sin 0.7853982-0.5
x` =0.7853982...-
1 sin 0.7853982+0.7853982*cos 0.7853928
0.7853982...*0.6981317...-0.5
x =0.6981317...-
1 0.7071+0.7853982*0.7071
x` =0.7853982...+0.0438510...
1
取舍尾数后得第一校正数为0.0418879...(2°24`),第二校正数为0.0439231...(2°31`)，于是最后得
x =0.7400196...(42°24`)，x` =0.7414741...(42°29`)
1 1
再有
x =0.7400196...+0.0008211...=0.7408407...
2
x` =0.7414741...+0.0006329...=0.7408412...
2
由此就得到具有所要求的准确度的根ξ=0.740841±0.0000005.
4）最后，再回到方程式
4
f(x)=x -x-1=0
我们已在81内看到，它有根ξ在a=1.22与b=1.23之间。现在要看只把联合法应用两次，所得的近似值能达到怎样的准确度。计算的概要（情形Ⅰ）：
3
注： f`(x)=4x -1
根据公式（991），（991*）
(x` -x )*f(x )
n n n
x =x - （991）
n+1 n f(x` )-f(x )
n n
f(x` )
n
x` =x` - （991*）
n+1 n f`(x` )
n
4
(1.23-1.22)(1.22 -1.22-1)
x =1.22-
1 4 4
(1.23 -1.23-1)-(1.22 -1.22-1)
0.0000466544
x =1.22+ =1.22073...≈1.2207
1 0.06353115
4
1.23 -1.23-1
x` =1.23-
1 4
4*1.23 -1
0.05886641
x` =1.23- =1.22086...≈1.2209
1 6.443468
0.00000005533760598398
x =1.2207+ =1.22074407...
2 0.001255538012096
0.0009788499821761
x` =1.2209- =1.2207441...
2 6.279478581316
这样，ξ=1.2207441±0.0000001
第十五部分幂级数的计算
高等教育出版社出版盛祥耀主编《高等数学》1993版
第十二章第四节例1
2 n-1
例1，试讨论函数项级数1+x+x +...+x +...的收敛性
解，因为所给级数的部分和函数
n
2 n-1 1-x
S (x)=1+x+x +...+x =
n 1-x
当｜x｜<1时
n
1-x 1
lim S (x)= lim =
n→∞ n n→∞ 1-x 1-x
所以，它在区间(-1,1)内收敛，即收敛域为（-1，1）。 且所给级数的和函数
1
S (x)=
1-x
即 当｜x｜<1时
∞ n 1
∑ x =
n=0 1-x
第十二章第四节例5
例5，讨论幂级数
∞
∑ x =1+x+x +...+x +...,
n=0
收敛半径R=1，逐项求积分后得
2 3 n+1
x x x x
=x+ + +…+ +…
n+1 2 3 n+1
它的收敛半径仍为R=1。当x=-1时，幂级数为交错级数，
n+1 1
（-1）
n+1
是收敛的；当x=1时，幂级数为调和级数，它是发散的。故幂级数的收敛区间为[-1,1)。
例6，求幂级数
n
(n+1) x
的和函数.
解，所给幂级数的收敛半径R=1, 收敛区间为(-1,1)。注意到
n n+1
(n+1)x =x
而
n n-1
(n+1) x = nx
n
= ( x )`
n
=( x )`
在收敛区间(-1,1)内，幂级数
n 1
(n+1)x =
1+x
所以, 当｜x｜<1时
n n
(n+1) x =( x )`
1
=( )`
1-x
1
=
2
(1-x)
由计算等比数列前N项和的公式
n
1-q
S = *a
n 1-q 1
可得，下面公式
n
x x
e =(
n!
n
x x
lim =
n! n+1
2 n
x x x x
e =1+ + +…+ +…
1! 2! n!
上式中
a =1,
1
x
q=
n
x n
n 1-( )
x x n
e =S = =
n n! x
1-
n
同理可知，下面的公式
2 3
x x n 1
ln(1+x)=x- + +…+(-1) +… (-1<x≤1）
2 3 n+1
n*x n
1-(- )
n 1 n+1
ln(1+x)= (-1) =
n+1 n*x
1+
n+1
3 5 2k-1
x x k-1 x
sin x=x- + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
2
2k*x n
2k-1 1-(- )
k-1 x 2k+1
sin x= (-1) = 2 *x
(2k-1)! 2k*x
1+
2k+1
2 4 2k
x x k x
cos x= 1- + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
2
2k*x n
2k 1-(- )
k x 2k
cos x= (-1) = 2
(2k)! (2k-1)*x
1+
2k
3 5 2m-1
x x m-1 x 2m
arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x )
3 5 2m-1
2
(2k-2)*x n
2k-1 1-(- )
k-1 x 2k-1
arc tg x= (-1) = 2 *x
2k-1 (2k-2)*x
1+
2k-1
1 3 5 m 2m-1 2m
arcc tg x=- + - -......+ (-1) +o(x )
x 3 5 2m-1
x x x
2k-1 n
1-(- 2 )
k 2k-1 (2k-2)*x -1
arc ctg x= (-1) = * x
2k-1 2k-1
x 1+ 2
(2k-2)*x
m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n
(1+x) =1+mx+ x +…+ x +…
2! n!
(m-n+1)*x n
1-(- )
m m(m-1)...(m-n+1) n n
(1+x)=S = x =
n n! (m-n+1)*x
1+
n
第十六部分级数的计算
第十二章第一节例题4
求级数
1
的和
(n+2)(n+3)
解， 注意到
1 1 1
= -
(n+2)(n+3) n+2 n+3
1 1 1 1 1
S = = ( - )= -
n (n+2)(n+3) n+2 n+3 3 n+3
.所以该级数的和为
1 1 1
S= lim S = lim ( - )=
n→∞ n n→∞ 3 n+3 3
即
1 1
=
(n+2)(n+3) 3
求级数
1
的和
(n+3)(n+4)
解， 注意到
1 1 1
= -
(n+3)(n+4) n+3 n+4
1 1 1 1 1
S = = ( - )= -
n (n+3)(n+4) n+3 n+4 4 n+4
.所以该级数的和为
1 1 1
S= lim S = lim ( - )=
n→∞ n n→∞ 4 n+4 4
即
1 1
=
(n+3)(n+4) 4
由数学归纳法可得
求级数
1
的和
(n+a)(n+b)
解， 注意到其中，b-a=1，a>0,b>0
1 1 1
= -
(n+a)(n+b) n+a n+b
1 1 1 1 1
S = = ( - )= -
n (n+a)(n+b) n+a n+b a+1 n+b
.所以该级数的和为
1 1 1
S= lim S = lim ( - )=
n→∞ n n→∞ a+1 n+b a+1
即
1 1
=
(n+a)(n+b) a+1
2.求级数
2
的和
(n+2)(n+4)
解， 注意到其中
2 1 1
= -
(n+2)(n+4) n+2 n+4
因此
2 1 1 1 1
S = = ( - )= -
n (n+2)(n+4) n+2 n+4 3 n+4
.所以该级数的和为
1 1 1
S= lim S = lim ( - )=
n→∞ n n→∞ 3 n+4 3
即
2 1
=
(n+2)(n+4) 3
2.求级数
2
的和
(n+3)(n+5)
解， 注意到其中
2 1 1
= -
(n+3)(n+5) n+3 n+5
因此
2 1 1 1 1
S = = ( - )= -
n (n+3)(n+5) n+3 n+5 4 n+5
.所以该级数的和为
1 1 1
S= lim S = lim ( - )=
n→∞ n n→∞ 4 n+5 4
即
2 1
=
(n+3)(n+5) 4
由数学归纳法可得
2.求级数
