利用南十字星座测量经纬度的方法
一.球面三角形测量经纬度
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下面介绍一种利用南十字星座测量经纬度的方法，
如下图1所示
在地球球心O观察天球上的4个星星，这4个星星在天球上面形成的球面四边形是等边球面四边形。设球面正方形的中心是P，直线OP垂直于平面ABCD。OP和地球表面的交点是O`。在地球上O`点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O1点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD，在地球上O2点面观察天球上的四个星星，这四个星星在天球上面形成一个球面四边形ABCD。这四个星星在天球上面形成的球面正方形ABCD由两个球面三角形ABC,ADC组成。设直线AC和地球上的南北方向所在的直线平行，设直线BD和地球上的东西方向所在的直线平行，如下图2所示
在上图3中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形ABC中，设球面三角形的三个角分别是A1,B,C1,三条边分别为BC=a1,AC=b,AB=c1，∠BOC=a1,∠AOB=c1,∠AOC=b,
cosb-cosa1*cosc1
cosB=
sina1*sinc1
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1*sinc1
在上图4中，根据尤拉球面三角形的定理，可知, 在球面三角形ADC中，设球面三角形的三个角分别是A2,D,C2,三条边分别为CD=a2,AC=d,AD=c2, ∠AOD=c2,∠DOC=a2,∠AOC=d,
cosd-cosa2*cosc2
cosD=
sina2*sinc2
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2)
sina2*sinc2
在上图5中，根据尤拉球面三角形的定理，可知,
在球面三角形ABD中，设球面三角形的三个角分别是A,B1,D1,三条边分别为BD=a,AD=b1,AB=d1, ∠BOD=a,∠AOD=b1,∠AOB=d1,
cosa-cosb1*cosd1
cosA=
sinb1*sind1
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3)
sinb1*sind1
在上图6中，根据尤拉球面三角形的定理，可知，
在球面三角形BCD中，设球面三角形的三个角分别是B2,C,D2,三条边分别为DC=b2,BD=c,BC=d2，∠DOC=b2,∠BOD=c,∠BOC=d2,
cosc-cosb2*cosd2
cosC=
sinb2*sind2
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4)
sinb2*sind2
在上图7中，在球面四边形ABCD中,
∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2,
∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1,
∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c,
上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到, 球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D,
AB =c1=d1, BC =a1=d2, CD =a2=b2, DA =c2=b1
因为,
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2)
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3)
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4)
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
如上图8所示，球面四边形ABCD由球面三角形ABC,ADC组成,
因为球面四边形每条边都相等，所以,
∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD, ∠A=∠B=∠C=∠D=k,
因为,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
=arc cos( )
sinb2*sind2
因为OP垂直于平面ABCD,P是正方形ABCD的中心，P,O`,O`在一条直线上,
所以，∠AO`B=∠BO`C=∠CO`D=∠AO`D,
. 如图9所示,
在地球上从O`点开始沿南北方向AC向C点方向移动，到达M1点, 得到，直线M1O`∥直线AC, 设 ∠O`OM1=m1,地球的半径是r, 得到, ∠AM1B=∠AM1D=s1,∠CM1B=∠CM1D=s2,
根据球面三角形BCD的性质可知,
s1-s2 m1
=
k4 2πr
2πr(s1-s2)
m1=
k4
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设M1点的经度是j2,纬度是w2,
ji=j2, w2=w1+m1,
2πr(s1-s2)
w2=w1+
k4
如图10所示,
在地球上从O`点开始沿南北方向AC向A点方向移动，到达M2点, 得到，直线M2O`∥直线AC, 设 ∠O`OM2=m2,地球的半径是r, 得到∠AM2B=∠AM2D=s3,∠CM2B=∠CM2D=s4,
根据球面三角形ABD的性质可知,
s3-s4 m2
=
k3 2πr
2πr(s1-s2)
m2=
k3.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设M2点的经度是j3,纬度是w3,
ji=j2,
w3=w1+m2,
2πr(s3-s4)
w3=w1+
k3
如图11所示, 在地球上从O`点开始沿东西方向BD向D点移动，到达N1点, 得到，直线N1O`∥直线BD, 设set ∠O`ON1=n1,地球的半径是r, 得到, ∠AN1B=∠AN1D=h1,∠CN1B=∠CN1D=h2, 根据球面三角形ADC的性质可知
h1-h2 n1
=
k2 2πr
2πr(h1-h2)
n1=
k2.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设N1点的经度是j4,纬度是w4, j4=j1+n1,
2πr(h1-h2)
j4=j1+
k2.
w4=w1,
如图12所示, 在地球上从O`点开始沿东西方向BD向B点移动，到达N2点, 得到，直线N2O`∥直线BD, 设 ∠O`ON2=n2,地球的半径是r, 得到, ∠AN2B=∠AN2D=h3,∠CN1B=∠CN1D=h4, 根据球面三角形ABC的性质可知,
h3-h4 n2
=
k1 2πr
2πr(h3-h4)
n2=
k1.
设O`点的经度是j1,纬度是w1, 设N2点的经度是j5,纬度是w5, j5=j1+n2,
2πr(h3-h4)
j5=j1+
k1.
w5=w1,
例如在南半球南回归线附近观察南十字座的4颗星, 南十字座的四颗星如下图13所示,
当AC朝向南北方向，CD朝向东西方向时在地球上的O`点观察4颗星星, 也就是说当南十字座指向南天极时在地面观察这4颗星星, 这4颗星星在天球上面组成了一个球面四边形ABCD，如下图14所示,
在地面O`点观察这4颗星星，O是地球的球心, 在上图14中，在球面四边形ABCD中,
∠AOB=c1,∠BOC=a1,∠DOC=a2,∠AOD=c2,
∠AOB=d1,∠BOC=d2,∠DOC=b2,∠AOD=b1,
∠AOC=b,∠AOC=d,∠BOD=a,∠BOD=c,
上面的角度都可以在地面上通过六分仪测量得到,
球面四边形的4各边分别是AB,BC,CD,DA,4个角分别是A,B,C,D
AB =c1=d1, BC =a1=d2, CD =a2=b2, DA =c2=b1
cosb-cosa1*cosc1
B=arc cos( ) (1)
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
D=arc cos( ) (2)
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
A=arc cos( ) (3)
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
C=arc cos( ) (4)
sinb2*sind2
所以,
cosb-cosa1*cosc1
k1=arc cos( )
sina1*sinc1
cosd-cosa2*cosc2
k2=arc cos( )
sina2*sinc2
cosa-cosb1*cosd1
k3=arc cos( )
sinb1*sind1
cosc-cosb2*cosd2
k4=arc cos( )
sinb2*sind2
如上图15所示，在地球上G点观察星星，设O`点的经纬度已知，经度是j1,纬度是w1，O`，G两点在相同时间同时观察4颗星星, 设G点的经纬度未知，经度是j6,纬度是w6，
∠AGB=s1,∠CGB=s2,
∠AGD=s3,∠CGD=s4,
∠AGB=h1,∠CGB=h2,
∠AGD=h3,∠CGD=h4,
根据上面的证明，我们有,
2πr(h1-h2) 2πr(h3-h4)
+
k2 k1
j6=j1+
2
πr(h1-h2) πr(h3-h4)
j6=j1+ +
k2 k1
2πr(s1-s2) 2πr(s3-s4)
-
k4 k3
w6=w1+
2
πr(s1-s2) πr(s3-s4)
w6=w1+ -
k4 k3
或者,
2πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2
4πr[(h1-h2)+(h3-h4)]
j6=j1+
k2+k1
2πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
2
4πr[(s1-s2)+(s3-s4)]
w6=w1+
k4+k3
通过上面的公式我们就利用O`点的经纬度，星星和观察者之间的夹角就计算得到未知点的经纬度.
推导过程可见《三角学专门教程下册》C.И诺屋塞洛夫著1986年版,
由于星星距离地球很远，所以O1,O2,O3可以看成一点O, 如图16所示，在O1点观察三个星星形成的球面三角形A1B1C1，以O为球心，设球面三角形A1B1C1的三条边分别为a1,b1,c1,三个角分别为A1,B1,C1,
注：尤拉球面三角形定理如下：
对于任何的球面三角形，有三面角与之对应。该三面角的顶点在球面的中心，而棱是连接球面中心至三角形顶点的半径，反之，对于任意的，顶点在球面中心的三面角，有球面三角形与之对应，它是三面角在球面上所截成的, 如图5所示，互相对应的球面三角形和三面角的元素之间有下面的关系：
三角形的角A,B和C的大小是三面角的二面角的大小，而三角形的边a,b,c的大小是三面角的面角的大小。球面三角形（三面角）的元素间的关系可以解释为三面角（球面三角形）元素间的关系. 如上图5所示：互相对应的球面三角形ABC和三面角A`B`C`有下面的关系, 球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角A`B`C`中二面角的大小, 球面三角形ABC的三个角A,B,C的大小是三面角A`B`C`中二面角的大小, 就是说, 角A等于平面BOC和平面ABC的夹角，角B等于平面AOC和平面ABC的夹角，角C等于平面AOB和平面ABC的夹角，球面三角形ABC的三个边a,b,c的大小是三面角A`B`C`中面角的大小, ∠BOC=a,∠AOC=b,∠AOB=c, 同时，根据球面三角形边的余弦公式，我们有,
cosa-cosb*cosc
cosA=
. sinb*sinc
cosb-cosa*cosc
cosB=
. sina*sinc
cosc-cosa*cosd
cosC=
. sina*sinb
二.星座测量经纬度的方法
下面介绍一种利用地球上已知经纬度地点，在未知经纬度地点测量和星座的夹角，来计算改点经纬度的方法, 如下图1所示，地球上的•A点,C点经纬度已知，A,B,C三点在地球球面上, A点纬度是a1，经度是a2，它的经纬度已知, B点纬度是b1，经度是b2，它的经纬度未知, C点纬度是c1，经度是c2，它的经纬度未知, 在同一时间，在A,B两点同时观察星星, AB=L1,BC=L2,AC=L3,
如图2所示，以地球球心纬坐标轴原点，以0°经线作为X轴，以东经90°经线作为Y轴，地球的南北极连线作为Z轴，作坐标系, A,C是地球表面上的两个点，它们在平面XOY上的投影分别是A`,C`, A点在正交坐标系下的坐标是(x1,y1,z1), B点在正交坐标系下的坐标是(x2,y2,z2), C点在正交坐标系下的坐标是(x3,y3,z3), 设地球的半径是r, 作A`A1⊥OX,A`A2⊥OY, 所以在直角三角形OA1A`中, ∠A1OA`就是A点的经度值a2, 即∠A1OA`=a2, 所以, A1O=r*cosa2, A2O=A1A`=r*sina2, 所以,
x1=r*cosa2 (1)
y1=r*sina2 (2)
所以在直角三角形OA`A中, ∠AOA`就是A点的纬度值a1, 即∠AOA`=a1, 所以, AA`=r*sina1, 所以,
z1=r*sina1 (3)
这样就通过A点的经纬度计算出A点的坐标(x1,y1,z1), 作C`C1⊥OX,C`C2⊥OY, 所以在直角三角形OC1C`中, ∠C1OC`就是C点的经度值c2, 即∠C1OC` =c2, 所以, C1O=r*cosc2, C2O=C1C`=r*sinc2, 所以,
x3=r*cosc2 (4)
y3=r*sinc2 (5)
所以在直角三角形OC`C中, ∠COC`就是C点的纬度值c1, 即∠COC`=c1, 所以, CC``=r*sinc1, 所以
z3=r*sinc1 (6)
这样就通过C点的经纬度计算出C点的坐标(x3,y3,z3), 如下图3所示，在正交坐标系中，
设OC,OA,AC均为空间向量，记作, OC, OA, AC
由向量的减法性质可知
AC = OA - OC
设set
AC =x4i+y4j+z4k
所以, x4i+y4j+z4k=(x1i+y1j+z1k)-(x3i+y3j+z3k)
x4i+y4j+z4k=(x1-x4)i+(y1-y3)j+(z1-z3)k
所以,
x4=x1-x3, y4=y1-y3, z4=z1-z3,
因为AC是向量, 所以,
2 2 2
｜AC｜= x4 +y4 +z4
2 2 2
｜AC｜= (x1-x3) +(y1-y3) +(z1-z3)
2 2 2
L3= (x1-x3) +(y1-y3) +(z1-z3) (7)
把(1),(2),(3),(4),(5),(6)代入(7)，得
2 2 2
L3= [(r*cosa2)-(r*cosc2)] -[(r*sina2)-(r*sinc2)] -[(r*sina1)-(r*sinc1)]
2 2 2
L3=r* (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) (8)
如下图4所示，在球面上的两点A,C，可以看成一个圆上的两点A,C,
这个圆的半径就是球体的半径r即地球的半径r, O是圆的圆心，A,C是圆上的两点, 在三角形AOC中，作OP⊥AC, 设∠AOC=g, 在直角三角形OPA中，∠AOP=g/2, AP=AC/2=L3/2, sin(g/2)=AP/OA, sin(g/2)=L3/2r, sin(g/2)=L3/2r,
2 2 2
sin(g/2)= (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2
2 2 2
g/2=arc sin[ (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2]
2 2 2
g=2*arc sin[ (cosa2-cosc2) -(sina2-sinc2) -(sina1-sinc1) /2] (8)
因为圆的周长是2πr, 圆弧AC的弧长是,
AC =gr (9)
下面介绍利用地球上已知经纬度点，通过观测星星高度角，来计算未知经纬度点的方法,
如上图5所示, 在地球上两点A经纬度已知，B点,C点经纬度未知，设C点也在地球表面，三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°, 在地球上一点B和A点的距离AB=L1,在地球上一点C和A点的距离AC=L2,在地球上一点B和C点的距离BC=L3, 在A点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α1，β1，γ1, 高度角就是在该点垂直于地面的直线和星星到该点的连线的夹角, 在B点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α2，β2，γ2, 假设在C点分别观测北斗星中的3颗星，得到它们的高度角为α3，β3，γ3, 上面的α3，β3，γ3是未知量，需要计算才能得到, 由于北斗星7颗星都是恒星，且距地球比较遥远，大概都在2000光年左右，所以可以近似的将北斗星看成在一个平面上，并可设这个平面和地球上3点连线组成的平面ABC平行, 设北斗星中3颗星分别是D,E,F, 做A`A垂直于地球表面，做B`B垂直于地球表面,做C`C垂直于地球表面, 由于北斗星距离地球非常遥远，所以可以近似的认为, A`点是A点在平面DEF上面的投影，B`点是B点在平面DEF上面的投影，C`点是C点在平面DEF上面的投影，则有, 平面ABC平行于平面A`B`C`,A`A≈B`B≈C`C=H, 作AA`⊥DA`,作EE``⊥A`B`,作FF`⊥A`B`,作DD1⊥A`B`,作EE1⊥A`B`,作FF1⊥A`B`,则有,
∠A`AD=α1，∠A`AE=β1，∠A`AF=γ1，
∠B`BD=α2，∠B`BE=β2，∠B`BF=γ2，
∠C`CD=α3，∠C`CE=β3，∠C`CF=γ3，
在直角三角形AA`D中, A`D=AA`*tgα1=H*tgα1, AD=AA`/cosα1=H/cosα1,
在直角三角形AA`E中, A`E=AA`*tgβ1=H*tgβ1, AE=AA`/cosβ1=H/cosβ1,
在直角三角形AA`F中, A`F=AA`*tgγ1=H*tgγ1, AF=AA`/cosγ1=H/cosγ1,
在直角三角形BB`D中, B`D=BB`*tgα2=H*tgα2, BD=BB`/cosα2=H/cosα2,
在直角三角形BB`E中, B`E=BB`*tgβ2=H*tgβ2, BE=BB`/cosβ2=H/cosβ2,
在直角三角形BB`F中, B`F=BB`*tgγ2=H*tgγ2, BF=BB`/cosγ2=H/cosγ2,
在直角三角形CC`D中, C`D=CC`*tgα3=H*tgα3, CD=CC`/cosα3=H/cosα3,
在直角三角形CC`E中, C`E=CC`*tgβ3=H*tgβ3, CE=CC`/cosβ3=H/cosβ3,
在直角三角形CC`F中, C`F=CC`*tgγ3=H*tgγ3, CF=CC`/cosγ3=H/cosγ3,
在直角三角形A`D1D中,
2 2 2
(A`D) =(A`D1) +(DD1)
2 2 2
(H*tgα1) =(A`D1) +(DD1)
2 2 2
(H*tgα2) -(B`D1) =(DD1)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H*tgα1) -(A`D1) =(H*tgα2) -(B`D1)
2 2 2 2
(H*tgα1) -(H*tgα2) =(A`D1) -(B`D1)
2 2
(H*tgα1) -(H*tgα2) =(A`D1+B`D1)(A`D1-B`D1) (10)
在直角三角形A`E1E中,
2 2 2
(A`E) =(A`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ1) =(A`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ1) -(A`E1) =(EE1)
在直角三角形B`E1E中,
2 2 2
(B`E) =(B`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ2) =(B`E1) +(EE1)
2 2 2
(H*tgβ2) -(B`E1) =(EE1)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgβ1) -(A`E1) =(H*tgβ2) -(B`E1)
2 2 2 2
(H*tgβ1) -(H*tgβ2) =(A`E1) -(B`E1)
2 2
(H*tgβ1) -(H*tgβ2) =(A`E1+B`E1)(A`E1-B`E1) (11)
在直角三角形A`F1F中,
2 2 2
(B`F) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ1) =(A`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ1) -(A`F1) =(FF1)
在直角三角形B`F1F中,
2 2 2
(B`F) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ2) =(B`F1) +(FF1)
2 2 2
(H*tgγ2) -(B`F1) =(FF1)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H*tgγ1) -(A`F1) =(H*tgγ2) -(B`F1)
2 2 2 2
(H*tgγ1) -(H*tgγ2) =(A`F1) -(B`F1)
2 2
(H*tgγ1) -(H*tgγ2) =(A`F1+B`F1)*(A`F1-B`F1) (12)
因为A`,D1,E1,F1,B`在一条直线上, 所以,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,
如上图6所示，作DD2⊥AB,作EE2⊥AB,作FF2⊥AB, 则有 , 在直角三角形AD2D中,
2 2 2
(AD) =(AD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα1) =(AD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα1) -(AD2) =(DD2)
在直角三角形BD2D中,
2 2 2
(BD) =(BD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα2) =(BD2) +(DD2)
2 2 2
(H/cosα2) -(BD2) =(DD2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosα1) -(AD2) =(H/cosα2) -(BD2)
2 2 2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2) -(BD2)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2+BD2)(AD2-BD2) (13)
在直角三角形AE2E中,
2 2 2
(AE) =(AE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ1) =(AE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ1) -(AE2) =(EE2)
在直角三角形BE2E中,
2 2 2
(BE) =(BE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ2) =(BE2) +(EE2)
2 2 2
(H/cosβ2) -(BE2) =(EE2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(AE2) =(H/cosβ2) -(BE2)
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2) -(BE2)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2+BE2) (AE2-BE2) (14)
在直角三角形AF2F中,
2 2 2
(AF) =(AF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ1) =(AF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ1) -(AF2) =(FF2)
在直角三角形BF2F中,
2 2 2
(BF) =(BF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ2) =(BF2) +(FF2)
2 2 2
(H/cosγ2) -(BF2) =(FF2)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(AF2) =(H/cosγ2) -(BF2)
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2) -(BF2)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2+BF2) (AF2-BF2) (15)
因为A,D2,E2,F2,B在一条直线上, 所以,
AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,平面EE1E2垂直于平面AA`B`B, 因为,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB,
所以, A`D1+B`D1=AD2+BD2, A`E1+B`E1=AE2+BE2, A`F1+B`F1=AF2+BF2, A`D1-B`D1=AD2-BD2, A`E1-B`E1=AE2-BE2, A`F1-B`F1=AF2-BF2, 因为,
2 2
(H*tgα1) -(H*tgα2) =(A`D1+B`D1)(A`D1-B`D1) (10)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα2) =(AD2+BD2)(AD2-BD2) (13)
所以,
A`D1=H*tgα1, B`D1=H*tgα2, AD2=H/cosα1, BD2=H/cosα2,
A`B`=H*tgα1+H*tgα2, AB=H/cosα1+H/cosα2, (30)
H*tgα1+H*tgα2 =H/cosα1+H/cosα2,
因为,
2 2
(H*tgβ1) -(H*tgβ2) =(A`E1+B`E1)(A`E1-B`E1) (11)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ2) =(AE2+BE2) (AE2-BE2) (14)
所以,
A`E1=H*tgβ1, B`E1=H*tgβ2, AE2=H/cosβ1, BE2=H/cosβ2,
A`B`=H*tgβ1+H*tgβ2, AB=H/cosβ1+H/cosβ2, (31)
H*tgβ1+H*tgβ2=H/cosβ1+H/cosβ2,
因为,
2 2
(H*tgγ1) -(H*tgγ2) =(A`F1+B`F1)*(A`F1-B`F1) (12)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ2) =(AF2+BF2) (AF2-BF2) (15)
所以,
A`F1=H*tgγ1, B`F1=H*tgγ2, AF2=H/cosγ1, BF2=H/cosγ2,
A`B`=H*tgγ1+H*tgγ2, AB=H/cosγ1+H/cosγ2, (32)
H*tgγ1+H*tgγ2=H/cosγ1+H/cosγ2,
如上图7所示，作DD3⊥A`C`,作EE3⊥A`C`,作FF3⊥A`C`,则有, 在直角三角形A`D3D中,
2 2 2
(A`D) =(A`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα1) =(A`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα1) -(A`D3) =(DD3)
在直角三角形C`D3D中,
2 2 2
(C`D) =(C`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα3) =(C`D3) +(DD3)
2 2 2
(H*tgα3) -(C`D3) =(DD3)
代入上式，得,
2 2 2
(H*tgα1) -(A`D3) =(H*tgα3) -(C`D3)
2 2 2
(H*tgα1) -(H*tgα3) =(A`D3) -(C`D3)
2 2
(H*tgα1) -(H*tgα3) =(A`D3+C`D3)(A`D3-C`D3) (16)
在直角三角形A`E3E中,
2 2 2
(A`E) =(A`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ1) =(A`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ1) -(A`E3) =(EE3)
在直角三角形C`E3E中,
2 2 2
(C`E) =(C`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ3) =(C`E3) +(EE3)
2 2 2
(H*tgβ3) -(C`E3) =(EE3)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgβ1) -(A`E3) =(H*tgβ3) -(C`E3)
2 2 2 2
(H*tgβ1) -(H*tgβ3) =(A`E3) -(C`E3)
2 2
(H*tgβ1) -(H*tgβ3) =(A`E3+C`E3)(A`E3-C`E3) (17)
在直角三角形A`F3F中,
2 2 2
(A`F) =(A`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ1) =(A`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ1) -(A`F3) =(FF3)
在直角三角形C`F3F中,
2 2 2
(C`F) =(C`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ3) =(C`F3) +(FF3)
2 2 2
(H*tgγ3) -(C`F3) =(FF3)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H*tgγ1) -(A`F3) =(H*tgγ3) -(C`F3)
2 2 2 2
(H*tgγ1) -(H*tgγ3) =(A`F3) -(C`F3)
2 2
(H*tgγ1) -(H*tgγ3) =(A`F3+C`F3)*(A`F1-C`F3) (18)
因为A`,D3,E3,F3,C`在一条直线上, 所以,
A`D3+C`D3=A`C`,A`E3+C`E3=A`C`,A`F3+C`F3=A`C`,
如上图8所示，作DD4⊥AC,作EE4⊥AC,作FF4⊥AC, 则有, 在直角三角形AD4D中,
2 2 2
(AD) =(AD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα1) =(AD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα1) -(AD4) =(DD4)
在直角三角形CD4D中,
2 2 2
(CD) =(CD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα3) =(CD4) +(DD4)
2 2 2
(H/cosα3) -(CD4) =(DD4)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosα1) -(AD4) =(H/cosα3) -(CD4)
2 2 2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4) -(CD4)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4+BD4)(AD4-BD4) (19)
在直角三角形AE4E中,
2 2 2
(AE) =(AE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ1) =(AE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ1) -(AE4) =(EE4)
在直角三角形CE4E中,
2 2 2
(CE) =(CE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ3) =(CE4) +(EE4)
2 2 2
(H/cosβ3) -(CE4) =(EE4)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(AE4) =(H/cosβ3) -(CE4)
2 2 2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4) -(CE4)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4+CE4) (AE4-CE4) (20)
在直角三角形AF4F中,
2 2 2
(AF) =(AF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ1) =(AF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ1) -(AF4) =(FF4)
在直角三角形CF4F中,
2 2 2
(CF) =(CF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ3) =(CF4) +(FF4)
2 2 2
(H/cosγ3) -(CF4) =(FF4)
代入上式，得,
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(AF4) =(H/cosγ3) -(CF4)
2 2 2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4) -(CF4)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4+CF4) (AF4-CF4) (21)
因为A,D4,E4,F4,C在一条直线上, 所以,
AD4+CD4=AC, AE4+CE4=AC, AF4+CF4=AC,
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,平面EE1E2垂直于平面AA`B`B, 因为,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB,
所以, A`D1+B`D1=AD2+BD2, A`E1+B`E1=AE2+BE2, A`F1+B`F1=AF2+BF2, A`D1-B`D1=AD2-BD2, A`E1-B`E1=AE2-BE2, A`F1-B`F1=AF2-BF2,
因为,
2 2
(H*tgα1) -(H*tgα3) =(A`D3+C`D3)(A`D3-C`D3) (16)
2 2
(H/cosα1) -(H/cosα3) =(AD4+BD4)(AD4-BD4) (19)
所以, A`D3=H*tgα1, C`D3=H*tgα3, AD4=H/cosα1, BD4=H/cosα3,
A`C`=H*tgα1+H*tgα3, AC=H/cosα1+H/cosα3, (33)
H*tgα1+H*tgα3=H/cosα1+H/cosα3
因为,
2 2
(H*tgβ1) -(H*tgβ3) =(A`E3+C`E3)(A`E3-C`E3) (17)
2 2
(H/cosβ1) -(H/cosβ3) =(AE4+CE4) (AE4-CE4) (20)
所以,
A`E3=H*tgβ1, C`E3=H*tgβ3, AE4=H/cosβ1, CE4=H/cosβ3,
A`C`=H*tgβ1+H*tgβ3, AC=H/cosβ1+H/cosβ3, (34)
H*tgβ1+H*tgβ3=H/cosβ1+H/cosβ3,
因为,
2 2
(H*tgγ1) -(H*tgγ3) =(A`F3+C`F3)*(A`F1-C`F3) (18)
2 2
(H/cosγ1) -(H/cosγ3) =(AF4+CF4) (AF4-CF4) (21)
所以, A`F3=H*tgγ1, C`F3=H*tgγ3, AF4=H/cosγ1, CF4=H/cosγ3,
A`C`=H*tgγ1+H*tgγ3, AC=H/cosγ1+H/cosγ3, (35)
H*tgγ1+H*tgγ3=H/cosγ1+H/cosγ3,
如上图9所示，作DD5⊥B`C`,作EE5⊥B`C`,作FF5⊥B`C`,则有, 在直角三角形B`D5D中,
2 2 2
(B`D) =(B`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα2) =(B`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα2) -(B`D5) =(DD5)
在直角三角形C`D5D中,
2 2 2
(C`D) =(C`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα3) =(C`D5) +(DD5)
2 2 2
(H*tgα3) -(C`D5) =(DD5)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgα2) -(B`D5) =(H*tgα3) -(C`D5)
2 2 2 2
(H*tgα2) -(H*tgα3) =(B`D5) -(C`D5)
2 2
(H*tgα2) -(H*tgα3) =(B`D5+C`D5)(B`D5-C`D5) (22)
在直角三角形B`E5E中,
2 2 2
(B`E) =(B`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ2) =(B`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ2) -(B`E5) =(EE5)
在直角三角形C`E5E中,
2 2 2
(C`E) =(C`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ3) =(C`E5) +(EE5)
2 2 2
(H*tgβ3) -(C`E5) =(EE5)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgβ2) -(B`E5) =(H*tgβ3) -(C`E5)
2 2 2 2
(H*tgβ2) -(H*tgβ3) =(B`E5) -(C`E5)
2 2
(H*tgβ2) -(H*tgβ3) =(B`E5+C`E5)(B`E5-C`E5) (23)
在直角三角形B`F5F中,
2 2 2
(B`F) =(B`F5) +(FF5)
2 2 2
(H*tgγ2) =(B`F5) +(FF5)
2 2 2
(H*tgγ2) -(B`F5) =(FF5)
在直角三角形C`F5F中,
2 2 2
(C`F) =(C`F5) +(FF5)
2 2 2
(H*tgγ3) =(C`F5) +(FF5)
2 2 2
(H*tgγ3) -(C`F5) =(FF5)
代入上式，得
2 2 2 2
(H*tgγ2) -(B`F5) =(H*tgγ3) -(C`F5)
2 2 2 2
(H*tgγ2) -(H*tgγ3) =(B`F5) -(C`F5)
2 2
(H*tgγ2) -(H*tgγ3) =(B`F5+C`F5)*(B`F5-C`F5) (24)
因为B`,D5,E5,F5,C`在一条直线上, 所以,
B`D5+C`D5=B`C`,B`E5+C`E5=B`C`,B`F5+C`F5=B`C`,
作DD6⊥BC,作EE6⊥BC,作FF6⊥BC, 则有, 在直角三角形BD6D中,
2 2 2
(BD) =(BD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα2) =(BD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα2) -(BD6) =(DD6)
在直角三角形CD6D中,
2 2 2
(CD) =(CD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα3) =(CD6) +(DD6)
2 2 2
(H/cosα3) -(CD6) =(DD6)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosα2) -(BD6) =(H/cosα3) -(CD6)
2 2 2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(BD6) -(CD6)
2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(AD6+BD6)(AD6-BD6) (25)
在直角三角形BE6E中,
2 2 2
(BE) =(BE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ2) =(BE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ2) -(BE6) =(EE6)
在直角三角形CE6E中,
2 2 2
(CE) =(CE6) +(CE6)
2 2 2
(H/cosβ3) =(CE6) +(EE6)
2 2 2
(H/cosβ3) -(CE6) =(EE6)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosβ2) -(BE6) =(H/cosβ3) -(CE6)
2 2 2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6) -(CE6)
2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6+CE6) (BE6-CE6) (26)
在直角三角形BF6F中,
2 2 2
(BF) =(BF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ2) =(BF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ2) -(BF6) =(FF6)
在直角三角形CF6F中,
2 2 2
(CF) =(CF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ3) =(CF6) +(FF6)
2 2 2
(H/cosγ3) -(CF6) =(FF6)
代入上式，得
2 2 2 2
(H/cosγ2) -(BF6) =(H/cosγ3) -(CF6)
2 2 2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6) -(CF6)
2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6+CF6) (BF6-CF6) (27)
因为B,D6,E6,F6,C在一条直线上, 所以,
BD6+CD6=BC, BE6+CE6=BC, BF6+CF6=BC,
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,
平面EE1E2垂直于平面AA`B`B, 因为,
A`D1+B`D1=A`B`,A`E1+B`E1=A`B`,A`F1+B`F1=A`B`,AD2+BD2=AB, AE2+BE2=AB, AF2+BF2=AB,
所以, A`D1+B`D1=AD2+BD2, A`E1+B`E1=AE2+BE2, A`F1+B`F1=AF2+BF2, A`D1-B`D1=AD2-BD2, A`E1-B`E1=AE2-BE2, A`F1-B`F1=AF2-BF2,
因为,
2 2
(H*tgα2) -(H*tgα3) =(B`D5+C`D5)(B`D5-C`D5) (22)
2 2
(H/cosα2) -(H/cosα3) =(AD6+BD6)(AD6-BD6) (25)
所以, B`D5=H*tgα2, C`D5=H*tgα3, AD6=H/cosα2, BD6=H/cosα3,
B`C`=H*tgα2+H*tgα3, BC=H/cosα2+H/cosα3, (36)
H*tgα2+H*tgα3=H/cosα2+H/cosα3,
因为,
2 2
(H*tgβ2) -(H*tgβ3) =(B`E5+C`E5)(B`E5-C`E5) (23)
2 2
(H/cosβ2) -(H/cosβ3) =(BE6+CE6) (BE6-CE6) (26)
所以, B`E5=H*tgβ2, C`E5=H*tgβ3, BE6=H/cosβ2, CE6=H/cosβ3,
B`C`=H*tgβ2+H*tgβ3, BC=H/cosβ2+H/cosβ3, (37)
H*tgβ2+H*tgβ3=H/cosβ2+H/cosβ3,
因为,
2 2
(H*tgγ2) -(H*tgγ3) =(B`F5+C`F5)*(B`F5-C`F5) (24)
2 2
(H/cosγ2) -(H/cosγ3) =(BF6+CF6) (BF6-CF6) (27)
所以,
B`F5=H*tgγ2, C`F5=H*tgγ3, BF6=H/cosγ2, CF6=H/cosγ3,
B`C`=H*tgγ2+H*tgγ3, BC=H/cosγ2+H/cosγ3, (38)
H*tgγ2+H*tgγ3=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为平面ABC平行于平面A`B`C`，A`A垂直于A`B`C`,B`B垂直于A`B`C`,C`C垂直于A`B`C`,所以,
AB=A`B`,BC=B`C`,AC=A`C`,
因为三角形ABC是直角三角形，角ACB是直角,
2 2 2
AB =AC +BC
因为三角形A`B`C是直角三角形，角A`C`B`是直角,
2 2 2
A`B` =A`C` +B`C`
设 AB=x,AC=y,BC=z, AB=A`B`=x,AC=A`C`=y,BC=B`C`=z,
2 2 2
x =y +z
因为,
A`B`=H*tgα1+H*tgα2, AB=H/cosα1+H/cosα2, (30)
x=H*tgα1+H*tgα2, x=H/cosα1+H/cosα2,
A`B`=H*tgβ1+H*tgβ2, AB=H/cosβ1+H/cosβ2, (31)
x=H*tgβ1+H*tgβ2, x=H/cosβ1+H/cosβ2,
A`B`=H*tgγ1+H*tgγ2, AB=H/cosγ1+H/cosγ2, (32)
x=H*tgγ1+H*tgγ2, x=H/cosγ1+H/cosγ2,
A`C`=H*tgα1+H*tgα3, AC=H/cosα1+H/cosα3, (33)
y=H*tgα1+H*tgα3, y=H/cosα1+H/cosα3,
A`C`=H*tgβ1+H*tgβ3, AC=H/cosβ1+H/cosβ3, (34)
y=H*tgβ1+H*tgβ3, y=H/cosβ1+H/cosβ3,
A`C`=H*tgγ1+H*tgγ3, AC=H/cosγ1+H/cosγ3, (35)
y=H*tgγ1+H*tgγ3, y=H/cosγ1+H/cosγ3,
B`C`=H*tgα2+H*tgα3, BC=H/cosα2+H/cosα3, (36)
z=H*tgα2+H*tgα3, z=H/cosα2+H/cosα3,
B`C`=H*tgβ2+H*tgβ3, BC=H/cosβ2+H/cosβ3, (37)
z=H*tgβ2+H*tgβ3, z=H/cosβ2+H/cosβ3,
B`C`=H*tgγ2+H*tgγ3, BC=H/cosγ2+H/cosγ3, (38)
z=H*tgγ2+H*tgγ3, z=H/cosγ2+H/cosγ3,
因为, x=H*tgα1+H*tgα2, y=H*tgα1+H*tgα3, z=H*tgα2+H*tgα3,
所以,
2 2 2
(H*tgα1+H*tgα2) = (H*tgα1+H*tgα3) +(H*tgα2+H*tgα3)
2 2 2
(tgα1+tgα2) = (tgα1+tgα3) +(tgα2+tgα3)
2 2 2 2 2 2
tgα1 +2tgα1tgα2+tgα2 = tgα1 +2tgα1 *tgα3+ tgα3 +tgα2 +2tgα2 tgα3+tgα3
2
tgα1tgα2 =tgα1 *tgα3+ tgα3 +tgα2 tgα3
2
tgα3 +(tgα1 +tgα2)tgα3-tgα1tgα2 =0
根据一元二次方程的求根公式可知,
一元二次方程的求根公式是
2
-b± b -4ac
2a
所以,
2
-(tgα1 +tgα2) ± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
tgα3=
2
因为, x=H/cosα1+H/cosα2, y=H/cosα1+H/cosα3, z=H/cosα2+H/cosα3,
2 2 2
(H/cosα1+H/cosα2) =(H/cosα1+H/cosα3) +(H/cosα2+H/cosα3)
2 2 2
(1/cosα1+1/cosα2) =(1/cosα1+1/cosα3) +(1/cosα2+1/cosα3)
2 2
(1/cosα1) +2(1/cosα1) (1/cosα2)+ (1/cosα2)
2 2 2 2
=(1/cosα1) +2(1/cosα1)(1/cosα3)+(1/cosα3) +(1/cosα2) +2(1/cosα2) (1/cosα3)+ (1/cosα3)
2
(1/cosα1) (1/cosα2) =(1/cosα1) (1/cosα3)+(1/cosα3) +(1/cosα2) (1/cosα3)
2
(1/cosα3) +[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] (1/cosα3)-(1/cosα1) (1/cosα2)=0
根据一元二次方程的求根公式可知,
2
- [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1) (1/cosα2)
1/cosα3=
2
2
cosα3=
2
- [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1) (1/cosα2)
同理可证：
2
- (tgβ1 +tgβ2) ± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
tgβ3=
2
2
cosβ3=
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1) (1/cosβ2)
2
- (tgγ1 +tgγ2) ± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
tgγ3=
2
2
cosγ3=
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
因为A点经纬度已知，星星的角度已知，B点经纬度未知，与星星的高度角已知, C点经纬度未知，和星星的高度角，可有上面的公式求得, ABC三点在同一时间观察星星，它们都在地球表面, 设地球的半径是r, 因为,
x=H*tgα1+H*tgα2, x=H/cosα1+H/cosα2, x=H*tgβ1+H*tgβ2, x=H/cosβ1+H/cosβ2, x=H*tgγ1+H*tgγ2, x=H/cosγ1+H/cosγ2, 所以,
x≈r*tgα1+r*tgα2, x≈r/cosα1+r/cosα2, x≈r*tgβ1+r*tgβ2, x≈r/cosβ1+r/cosβ2,, x≈r*tgγ1+r*tgγ2, x≈r/cosγ1+r/cosγ2,
因为, y=H*tgα1+H*tgα3, y=H/cosα1+H/cosα3, y=H*tgβ1+H*tgβ3, y=H/cosβ1+H/cosβ3, y=H*tgγ1+H*tgγ3, y=H/cosγ1+H/cosγ3, 所以,
y≈r*tgα1+r*tgα3,
2
-(tgα1 +tgα2) ± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2 ]
y≈r*tgα1+r*[
2
y≈r/cosα1+r/cosα3,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r*[ ]
2
y≈r*tgβ1+r*tgβ3,
2
-(tgβ1 +tgβ2) ± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2 ]
y≈r*tgβ1+r*[
2
y≈r/cosβ1+r/cosβ3,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r*[ ]
2
y≈r*tgγ1+r*tgγ3,
2
-(tgγ1 +tgγ2) ± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
y≈r*tgγ1+r*[ ]
2
y≈r/cosγ1+r/cosγ3,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r*[ ]
2
上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到AC两点的距离,
因为, z=H*tgα2+H*tgα3, z=H/cosα2+H/cosα3, z=H*tgβ2+H*tgβ3, z=H/cosβ2+H/cosβ3, z=H*tgγ2+H*tgγ3, z=H/cosγ2+H/cosγ3,
所以, z≈r*tgα2+r*tgα3,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
z≈r*tgα2+r*[ ]
2
z≈r/cosα2+r/cosα3,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r*[ ]
2
z≈r*tgβ2+r*tgβ3,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
z≈r*tgβ2+r*[ ]
2
z≈r/cosβ2+r/cosβ3,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] ± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r*[ ]
2
z≈r*tgγ2+r*tgγ3,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
z≈r*tgγ2+r*[ ]
2
z≈r/cosγ2+r/cosγ3,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] ± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r*[ ]
2
上面的公式通过测量A,B两点和星星的高度角，就会得到BC两点的距离, 在得到x,y,z的值，就想当得到直角三角形ACB三个边的值,
如上图11所示，在球面上三点A,B,C是直角三角形时，A点经纬度已知，三角形三边边长已知，B点的纬度等于A点的纬度加上一个直角边对应的圆心角度, B点的经度等于A点的经度加上另一个直角边对应的圆心角度,
如上图12所示，设圆心角∠AOC=a,它对应的边长是AC, 圆的半径就是地球的半径r, 作OP⊥AC, 在直角三角形APO中, sin(a/2)=AP/r, sin(a/2)=AC/2r, a/2=arc sin(AC/2r), a=2arc sin(AC/2r), 因为, AC=y,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
y≈r*tgα1+r*[ ]
2
a=2arc sin(AC/2r),
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
a≈2arc sin[tgα1/2+ ]
4
同理可证, 因为,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)] ± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
y≈r/cosα1+r*[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
a≈2arc sin[1/2cosα1+ ]
4
因为,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
y≈r*tgβ1+r*[ ]
2
所以,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
a≈2arc sin[tgβ1/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
y≈r/cosβ1+r*[ ]
4
所以,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
a≈2arc sin[1/2cosβ1+ ]
4
因为,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
y≈r*tgγ1+r*[ ]
2
所以,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
a≈2arc sin[tgγ1/2+ ]
2
因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
y≈r/cosγ1+r*[ ]
4
所以,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
a≈2arc sin[1/2cosγ1+ ]
4
如上图13所示，设圆心角∠BOC=b,它对应的边长是BC, 圆的半径就是地球的半径r, 作OQ⊥BC, 在直角三角形BPO中, sin(b/2)=BQ/r, sin(b/2)=BC/2r, b/2=arc sin(BC/2r), b=2arc sin(BC/2r),
因为, BC=z, 因为,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
z≈r*tgα2+r*[ ]
2
所以,
2
-(tgα1 +tgα2)± (tgα1 +tgα2) +4tgα1*tgα2
b=2arc sin[ tgα2/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
z≈r/cosα2+r*[ ]
4
所以,
2
-[(1/cosα1)+ (1/cosα2)]± [(1/cosα1)+ (1/cosα2)] +4(1/cosα1)(1/cosα2)
b≈2arc sin[1/2cosα2+ ]
4
因为,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
z≈r*tgβ2+r*[ ]
2
所以,
2
-(tgβ1 +tgβ2)± (tgβ1 +tgβ2) +4tgβ1*tgβ2
b≈2arc sin[tgβ2/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
z≈r/cosβ2+r*[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)]± [(1/cosβ1)+ (1/cosβ2)] +4(1/cosβ1)(1/cosβ2)
b≈2arc sin[1/2cosβ2+ ]
4
因为,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
z≈r*tgγ2+r*[ ]
2
所以,
2
-(tgγ1 +tgγ2)± (tgγ1 +tgγ2) +4tgγ1*tgγ2
b=2arc sin[tgγ2/2+ ]
4
因为,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
z≈r/cosγ2+r*[ ]
2
所以,
2
-[(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)]± [(1/cosγ1)+ (1/cosγ2)] +4(1/cosγ1)(1/cosγ2)
b≈2arc sin[1/2cosγ2+ ]
4
假设测量得到A点的经纬度是(w,s)，通过计算得到，B点的经度是w+a, B点的纬度是s+b, 也可以将上面的3个星星，换成3个电视信号源, 把信号源放在地球表面A`,B`,C`，在高空中飞机上的A,B两点用3台电视机接收信号,
测量3台电视接收3个信号的最佳角度，就是高度角α1，α2，α3，β1，β2，β3，和上面一样假设一个C点，使得三角形ACB是直角三角形，∠ACB=90°, 同时平面ACB∥平面A`C`B`,C点和信号源的高度角为γ1,γ2,γ3, 利用上面的公式通过A点的经纬度就可以计算出B点的经纬度,
三.弧度计算三角函数公式
推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,
推导过程可见《三角学专门教程上册》C.И诺屋塞洛夫著1956年版,
推导过程可见C.H.诺珪塞洛夫著代数与初等函数，1954年版
用弧度计算三角函数值，利用下面的公式计算三角函数值，
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
sin nα=C sinα*cos α-C sin α*cos α+C sin α*cos α-...
n n n
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos nα=cos α-C sin α*cos α+C sin α*cos α-C sin α*cos α-...
n n n
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
C sinα*cos α-C sin α*cos α+C sin α*cos α-...
n n n
tg nα=
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos α-C sin α*cos α+C sin α*cos α-C sin α*cos α-...
n n n
n 2 2 n-2 4 4 n-4 6 6 n-6
cos α-C sin α*cos α+C sin α*cos α-C sin α*cos α-...
n n n
ctg nα=
1 n-1 3 3 n-3 5 5 n-5
C sinα*cos α-C sin α*cos α+C sin α*cos α-...
n n n
例如计算sin57°, 因为because,
π
sin 3°=sin =sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1 √6+√2 10+2√5 √6-√2
= ( - ( )
4 4 4 4
1
= [(√5-1)(√6+√2)- 10+2√5 (√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos 3°= [ 10+2√5 (√6+√2) +(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg 3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg 3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because, 57/3=19,
所以so, n=19,
1 18 3 3 16 5 5 14
sin57°=sin 19*3=C sin3*cos 3-C sin 3*cos 3+C sin 3*cos 3-...
19 19 19
因为becuase
π
sin 3°=sin =sin18°cos15°-cos18°sin15°=
60
√5-1 √6+√2 10+2√5 √6-√2
= ( - ( )
4 4 4 4
1
= [(√5-1)(√6+√2)- 10+2√5 (√6+√2)
16
≈0.05234
同样，Again,
1
cos 3°= [ 10+2√5 (√6+√2) +(√5-1)(√6-√2)]
16
≈0.99863
tg 3°≈0.05234/0.99863≈0.524118,
ctg 3°≈0.99863/0.05234≈19.0796,
因为because, 57/3=19,
所以so, n=19,
1 18 3 3 16 5 5 14
sin57°=sin 19*3=C sin3°*cos 3°-C sin 3°*cos 3°+C sin 3°*cos 3°-...
19 19 19
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 57°=cos 19*3=cos 3°- C sin 3°*cos 3°+C sin 3°*cos 3°-C sin 3°*cos 3°-...
19 19 19
1 18 3 3 16 5 5 14
C sin3°*cos 3°-C sin 3°*cos 3°+C sin 3°*cos 3°-...
19 19 19
tg 57°=
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 3°- C sin 3°*cos 3°+C sin 3°*cos 3°-C sin 3°*cos 3°-...
19 19 19
19 2 2 17 4 4 4 15 6 6
cos 3°- C sin 3°*cos 3°+C sin 3°*cos 3°-C sin 3°*cos 3°-...
19 19 19
ctg 57°=
1 18 3 3 16 5 5 14
C sin3°*cos 3°-C sin 3°*cos 3°+C sin 3°*cos 3°-...
19 19 19
排列组合计算公式
m n
C =C
n m
m m m-1
C =C +C
n+1 n n
m
P n(n-1)(n-2)...(n-m+1) n!
m n
C = = =
n+1 m
P m! m!(n-m)!
m
四.计算三角函数的公式
1.计算sinx
如果B>3,
那么，sinAB°≈sinA0°+sin(B°-3°),
如果B≤3,
那么，sinAB°≈sinA0°-sin(3°-B°),
例如,
sin61°≈sin60°+sin(1°-3°)≈sin60°-sin2°,
sin65°≈sin60°+sin(5°-3°)≈sin60°+sin2°,
sin57°≈sin50°+sin(7°-3°)≈sin50°+sin4°,
如果B>3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°-B°+3°),
如果B≤3,
那么，cosAB°≈cosA0°-sin(90°+B°-3°),
例如,
cos38°≈cos30°-cos(90°-8°+3°)≈cos30°-cos85°,
cos75°≈cos70°-cos(90°-5°+3°)≈cos70°-cos88°,
cos22°≈cos20°-cos(90+2°-3°)≈cos20°-cos89°,
详细内容可见《中学数学用表》，
下面用电路通过测量得到的角度值，计算三角函数,
假设测量线圈转动90度产生的电压和90度的弧度值相等，为DC1.570796V, 假设测量线圈转动100度产生的电压和100度的弧度值相等，为DC1.745329V, 归纳为，假设测量线圈测量的电压值和转动的角度值的弧度值相等,
计算sinx的电路
