用正割对数计算积分的方法1-人才求职-中国面包师贴吧/中国烘焙网贴吧/烘焙师招聘求职贴吧

用正割对数计算积分的方法

下面介绍一种利用正割对数，计算积分的方法。

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三角函数微积分

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第一部分用正割对数计算积分的方法

一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率

tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x，

函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率，

tga=u(x)，tga=sina/cosa，

导数等于微分，微分积分后变成原函数，即

f`(x)= tga=f(x)

因为，a=arctgf`(x)，

根据泰勒展开

3 5 2n+1

x x n x 2n+2

arc tg x=x- + -...+(-1) +o(x )

3 5 2n+1

所以,

3 5 2n+1

f` (x) f` (x) n f` (x) 2n+2

a=f`(x)- + -...+(-1) +o(x )

3 5 2n+1

方法1, 推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著

因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x, a=arctgy`,所以,

sina d(cosa)

f`(x)= tgada= da=- =-lncosa+C

cosa cosa

根据泰勒展开

2 5 6 2m

a a a m a 2m+1

cosa=1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m)!

所以,

2 5 6 2m

a a a m a 2m+1

f(x)=-lncosa+C=-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )]+C

2! 4! 6! (2m)!

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册

9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)

1 2 1 3 3

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )

2 2

1 2 1 3 6

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )

2 2

所以,

1 2 1 3 3

f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )

2 3

1 2 1 3 6

f(x)=-lncosa+C=(cos a-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )

2 3

2 4 6

a a a 6

f(x)=-lncosa+C= + - +o(a )

2 12 45

方法2,

推导过程参见《高等混合算学下册》，商务印书馆1925年出版，梧兹（Woods），巴雷（Bailey）著，长沙易俊元译,

9. tanudu=logsec u +C

10. cotudu=logsin u +C

lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ, lgtgθ=lgsecθ-lgcscθ, lgctgθ=lgcscθ-lgsecθ,

所以,

sina d(cosa)

f`(x)= tanada= da=- =-lncosa+C=lnseca+C cosa cosa

所以,

cosa d(sina)

f`(x)= cotada= da=- =lnsina+C sina csina

因为, tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x,

所以,

f(x)= tgada=logsec a +C

根据泰勒展开

2 3 5 n

x x x n-1 x n

ln(1+x)=x- + - -...+(-1) +o(x )

2 3 4 n

所以,

1 2 1 3 3

ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o((sec x-1) )

2 2

1 2 1 3 6

ln sec x=ln[1+(sec x-1)]=(sec x-1)- (sec x-1) + (sec x-1) + o(x )

2 2

所以,

1 2 1 3 6

f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o((sec a-1) )

2 2

1 2 1 3 6

f(x)=lnseca+C=(sec a-1)- (sec x-1) + (sec x-1) +o(a )

2 2

因为,

2 5 6 2m

a a a m a 2m+1

cosa=1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m)!

lnsinθ=-lncscθ, lncosθ=-lnsecθ,

所以,

2 5 6 2m

a a a m a 2m+1

f(x)=lnseca+C-lncosa+C=-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )+C

2! 4! 6! (2m)!

因为, 推导过程可参见《古今算学丛书，割圆密率捷法》，清光绪戊戌六月算学书局印成，,

清咸丰壬子年，湖北人戴煦识，夏鸾翔编写，1898年刘铎整理

当45°≥θ>0°时,

2 4 6 8

θ θ 2 θ 2 16 θ 2 16 272

lnsecθ= + + +

2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8

10 2n S

θ 2 16 272 7936 θ n

+ +…+

2 3*4 5*6 7*8 9*10 2 (n+1)(n+2)...*2n

上式中，

S *(2n-2)(2n-1) S *(2n-2)(2n-1)

n-2 n-3

S *2n(2n+1) *2n(2n+1) *2n(2n+1)

n-1 1*2

S = - + …-2

n 1*2 3*4 5*6

例如：

2 S =2

2*4*5

-2*2=16 S =16

1*2 2

16*6*7 336*8*9

- +2*4=272 S =272

1*2 3*4 3

336 70

16*6*7 336*8*9 70*8*9

- + -2*4=7936 S =7936

1*2 3*4 5*6 4

9792 2016 168

7936*10*11 9792*10*11 2016*10*11 168*10*11

- + - +2*5=353792 S =7936

1*2 3*4 5*6 7*8 5

436480 89760 7392 330

当67.5°≥θ>45°时

lnsecθ=lnsec(2θ-90°)-lnsec(90°-θ)+ln2,

当78.75°>θ≥67.5°时

lnsecθ=lnsec[2(2θ-90°)-90°]-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+2ln2,

当84.375°>θ≥78.75°时

lnsecθ=lnsec[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+3ln2,

当85.375°>θ≥84.375°时

lnsecθ=lnsec[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+4ln2,

当86.375°>θ≥85.375°时,

lnsecθ=lnsec[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+5ln2,

当87.375°>θ≥86.375°时,

lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec8(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+6ln2,

当88.375°>θ≥87.375°时,

lnsecθ=lnsec[2[2[2[2[2[2(2θ-90°)-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-90°]-lnsec12(90°-θ)-lnsec10(90°-θ)-lnsec8(90°-θ)-lnsec6(90°-θ)-lnsec4(90°-θ)-lnsec2(90°-θ)-lnsec(90°-θ)+7ln2,

所以,

f(x)=ln sec a+C=

2 4 6 8

a a 2 a 2 16 a 2 16 272

+ + +

2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8

所以,

f(x)=lnseca+C-lncosa+C=

2 4 6 2m

a a a m a 2m+1

-ln[1- + - -...+(-1) +o(a )]

2! 4! 6! (2m)!

因为, y`=tga, 所以, a=arctgy`,所以,

f(x)=ln sec a+C=

2 4 6 8

arctg y` arctg y` 2 arctg y` 2 16 arctg y` 2 16 272

+ + +

2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8

所以,

f(x)=lnseca+C=-lncosa+C=

2 4 6 2m

arctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1

-ln[1- + - -...+(-1) +o(arctg y` )]+C

2! 4! 6! (2m)!

上式中

2 3 4 5

(1-N) (1-N) 2 (1-N) 2 3 (1-N) 2 3 4

lnN=[(1-N)+ + + +

2 2 3 2 3 4 2 3 4 5

(1-N) 2 3 4 n-1

+..+ … ]

2 3 4 5 n

上式中，N<1

当N>1时，

lgN=m-[(1-N/10 )+

m 2 m 3 m 4 m 5

(1-N/10 ) (1-N/10 ) 2 (1-N/10 ) 2 3 (1-N/10 ) 2 3 4

+ + +

2 2 3 2 3 4 2 3 4 5

m n

(1-N/10 ) 2 3 4 n-1

+..+ … ]

2 3 4 5 n

上式中，N/10 <1

例如：

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

3 3 3

例2. x 1+x dx,设1+x=t ,有x=t -1

3 3 3 6 3

x 1+x dx= (t -1)t*3t dt=3 (t -t )dt=

7 4 3 7 3 4

=3t /7-3t /4+C=3 (1+x) /7-3 (1+x) /4+C

解法2，根据上面的公式，

x 1+x dx

=ln sec a+C=

2 4 6 8

arctg y` arctg y` 2 arctg y` 2 16 arctg y` 2 16 272

+ + +

2 2 3*4 2 3*4 5*6 2 3*4 5*6 7*8

3 2 3 4 3 6

arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) 2 arc(x 1+x ) 2 16

= + + +

2 2 3*4 2 3*4 5*6

3 2

arc(x 1+x ) 2 16 272

2 3*4 5*6 7*8

解法3，根据上面的公式，

x 1+x dx

=-ln cos a+C=

2 4 6 2m

arctg y` arctg y` arctg y` arctg y` 2m+1

-ln[1- + - -...+(-1) +o(arctg y` )]+C

2! 4! 6! (2m)!

3 2 3 4 3 6 3 2m

arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x ) arc(x 1+x )

-ln[1- + - -...+(-1)

2! 4! 6! (2m)!

3 2m+1

+o(arc(x 1+x )) ]+C

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，

y` =1/x`

x y

也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 上面等式左右两边同时积分，得

y` dx= dy/x`

x y

y =ln│x │+C

x y

也就是说原函数等于反函数绝对值的自然对数,

-1

设y =f(x),反函数为x =f (y)

x y

-1

f(x)=ln│f (y)│+C

因为,

f(x)=-lncosa+C=

2 4 6

a a a 6

= + + +o(a )

2 12 45

上式中tga=y`=f`(x)=y/x,

f(x)=-lncosa+C=

2 4 6

a a a 6 -1

= + + +o(a ) =ln│f (y)│+C

2 12 45

2 4 6

a a a

[ + + ]

-1 2 12 45

f (y)=e

同理可证

2 4 6

b b b

[ + + ]

-1 2 12 45

f (x)=e

上式中

-1

tgb=f` (y)=x/y

第二部分通过导数斜率计算积分的方法

推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版

一个函数y=f(x)的导数等于函数图像某点切线的斜率tga=y`=f`(x)=u(x)=y/x，

函数f(x)的导数u(x)等于切线的斜率tga=u(x)，tga=sina/cosa，

根据泰勒展开

3 5 7 2m

a a a m-1 a 2m

sina=a- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)

3! 5! 7! (2m)!

2 4 6 2m

a a a m a 2m+1

cosa=1- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)

2! 4! 6! (2m)!

3 5 7 2m+1

a a a m a 2m+2

arc tg a=a- + - -...+(-1) +o(a ) (a→0)

3 5 7 (2m+1)!

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册

a 4

tg a=a+ +o(a )

a 4

u(x)=a+ +o(a )

或者，

推导过程可参见三角函数计算页

u(x)=tgα=2√2kα/π，

上式中，k=1.3，或，

3 2

k=0.33α +0.5α +α+1

或者，

推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，

推导过程参见三角函数的求法缀术页，

2 2

4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，

2 2

1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

2 2

α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，

2 2

1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

2 2

α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，

2 2

1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

或者，

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册，

推导过程参见惠更斯公式页，

2 2

8+6α ±2 4-2(-3α +16)

tgα=sinα/cosα=

2± 4-2(-3α +16)

或者，

推导过程参见《数学拾遗》，清同治十二年荷池精舍出版，丁取忠编撰，

收录于《白芙堂算学丛书》，推导过程参见数学拾遗页，

4 3 2

tgα≈7.5*(0.3α +0.2α +0.2α +0.2α+1)/2*1.01537228απ

或者

3 5 7

α α α

tgα=α+ + +

3 60 630

或者

tga=sina/cosa=

3 5 7 2m

a a a m-1 a 2m

a- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m)!

2 4 6 2m

a a a m a 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m)!

3 5 7 2m

a a a m-1 a 2m

a- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m)!

u(x)=

2 4 6 2m

a a a m a 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m)!

设u(x)=t,得

a 4

t=a+ +o(a )

或者,

3 5 7 2m

a a a m-1 a 2m

a- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

2 4 6 2m

a a a m a 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m)!

解上面的方程，得到t关于a的函数a=φ[t],

a=φ[u(x)], a=φ[t],

a +3a-3t=0

根据一元三次立方根的卡尔丹公式,

方程x +px+q=0的解有三个分别是

3 3

2 3 2 3

-q q p q q p

x = + + + - - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

-q q p 2 q q p

x =ε + + +ε - - +

2 2 4 27 2 4 27

3 3

2 3 2 3

2 -q q p q q p

x =ε + + +ε - - +

3 2 4 27 2 4 27

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

根据上面的卡但公式，得

方程a +3a-3t=0的解有三个分别是, 其中p=3,q=-3t,

3 3

2 2

3t 9t 27 3t 9t 27

a =φ[t]= + + + - +

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 2

3t 9t 27 2 3t 9t 27

a =φ[t]=ε + + +ε - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 2

2 3t 9t 27 3t 9t 27

a =φ[t]=ε + + +ε - +

2 2 4 27 2 4 27

因为函数y=f(x)的导数是斜率tga，即

tga=y/x,

因为, a=φ(t), u(x)=t,

所以, a=φ[u(x)],

tga=tg{φ[u(x)]}=y/x,

y=x*tga=x*tg{φ[u(x)]}=x*tg[φ(t)]

y=x*tga=

3 3

2 3 2 3

3t q p 3t q p

x*tg{ + + + - +

2 4 27 2 4 27

或,

y=x*tga=

3 3

2 2

3t 9t 27 2 3t 9t 27

x*tg{ε + + +ε - + }

2 4 27 2 4 27

或,

y=x*tga=

3 3

2 2

2 3t 9t 27 3t 9t 27

x*tg{ε + + +ε - - + }

2 4 27 2 4 27

上式中，

a 4

t=a+ +o(a )

这样就得到由导数的斜率tga构成的原函数y，也就是通过上面的办法通过导数u(x)计算得到原函数f(x)，这样就得到由原函数f(x)构成的导数u(x)，也就是通过上面的办法通过原函数f(x)计算得到导数u(x)，

导数计算公式：

因为，

tga=tgφ[u(x)]=y/x，

arctg(y/x)=φ[u(x)]=a，

因为u(x)=t,

a 4

u(x)=t=a+ +o(a )

或，u(x)=tgα=2√2kα/π，

上式中，k=1.3，

或，

3 2

k=0.33α +0.5α +α+1

或

推导过程可参见《古今算学丛书，圆率考真》，光绪戊戌六月算学书局印，

详细推导过程可参见《古今算学丛书，切线求弧》和缀术页，

推导过程参见三角函数的求法缀术页，

2 2

4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

tgα=sinα/cosα= 当60°<α≤90°时，

2 2

1-4α/π(2-8√2α/π+32α /π )

2 2

α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

tgα=sinα/cosα= 当30°<α≤60°时，

2 2

1-α3√3/π(2-6√6α/π+54α /π )

2 2

α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

tgα=sinα/cosα= 当0°<α≤30°时，

2 2

1-α3√2/π(2-12α/π+36α /π )

或，

3 5 7 2m-1

a a a m-1 a 2m

a- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m)!

u(x)=t=

2 4 6 2m

a a a m a 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m)!

因为, tga=y`=f`(x)=u(x)

arctg (y/x)

y`=u(x)=t=arctg(y/x)+

3 5 7 2m-1

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

y`=u(x)=t=

3 4 6 2m

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m-1)!

这样就得到由原函数y构成的导数y`,也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`,所以,

a 4

a+ +o(a )=

3 5 7 2m-1

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

3 4 6 2m

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m-1)!

a 4

a+ +o(a )=t,

a+ -t=0,

a +3a-3t=0,

解这个一元三次方程式得,

3 3

2 2

3t 9t 27 3t 9t 27

a =φ[t]= + + + - +

0 2 4 27 2 4 27

3 3

2 2

3t 9t 27 2 3t 9t 27

a =φ[t]=ε + + +ε - +

1 2 4 27 2 4 27

3 3

2 2

2 3t 9t 27 3t 9t 27

a =φ[t]=ε + + +ε - +

2 2 4 27 2 4 27

其中,

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根,

上式中,

3 5 7 2m-1

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

3 4 6 2m

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m-1)!

或者，

a 4

t=a+ +o(a )

arctg (y/x)

t= arctg(y/x) +

因为, tga=y`=f`(x), 所以,

tga=y`=f`(x)=

3 3

2 2

3t 9t 27 3t 9t 27

tg[ + + + - +

2 4 27 2 4 27

tga=y`=f`(x)=

3 3

2 2

3t 9t 27 2 3t 9t 27

tg[ε + + +ε - +

2 4 27 2 4 27

tga=y`=f`(x)=

3 3

2 2

2 3t 9t 27 3t 9t 27

tg[ε + + +ε - +

2 4 27 2 4 27

上式中,

3 5 7 2m-1

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

3 4 6 2m

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m-1)!

或者，

a 4

t=a+ +o(a )

arctg (y/x)

t= arctg(y/x) +

这样就得到由原函数y构成的导数y`，也就是通过上面的办法通过原函数y计算得到导数y`，

例如：

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，

例1.

√x

设x=t ,则有

√x t

e e t t √x

dx= 2tdt=2 e dt=2e +C=2e +C

√x t

解法2，用上面的公式求解

y=x*tga=

3 3

2 2

3t 9t 27 3t 9t 27

x*tg{ + + + - + }

2 4 27 2 4 27

上式中

a 4

t=a+ +o(a )

arctg (y/x)

t= arctg(y/x) +

因为, y`=tga, a=arctgy`,

所以,

3 √x x√x

arctg y` e e

t=arctgy`+ = +

3 √x 3x√x

y=x*tga=

√x x√x

e e 2

√x x√x 9( + )

3e e √x 3x√x 27

x*tg{ + + +

2√x 2x√x 4 27

√x x√x

e e 2

√x x√x 9( + )

3e e √x 3x√x 27

+ + - +

2√x 2x√x 4 27

所以,

3 5 7 2m-1

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

y`=u(x)=t=

3 4 6 2m

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m-1)!

3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x

√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)

arctg (2e /x)- + - -...+(-1)

3! 5! 7! (2m-1)!

2 √x 4 √x 6 √x 2m √x

arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)

1- + - -...+(-1)

3! 5! 7! (2m)!

所以,

tga=y`=f`(x)=

3 3

2 2

3t 9t 27 3t 9t 27

tg[ + + + - + ]

2 4 27 2 4 27

上式中,

3 5 7 2m-1

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m-1 arctg(y/x) 2m

arctg(y/x)- + - -...+(-1) +o(a )

3! 5! 7! (2m-1)!

3 4 6 2m

arctg(y/x) arctg(y/x) arctg(y/x) m arctg(y/x) 2m+1

1- + - -...+(-1) +o(a )

2! 4! 6! (2m-1)!

3 √x 5 √x 7 √x 2m-1 √x

√x arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)

arctg (2e /x)- + - -...+(-1)

3! 5! 7! (2m-1)!

2 √x 4 √x 6 √x 2m √x

arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x) arctg (2e /x)

1- + - -...+(-1)

3! 5! 7! (2m)!

或者

arctg (y/x)

t=arctg(y/x)+

3 √x

√x arctg (2e /x)

t=arctg(2e /x)+

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，

41.三次与四次方程，

说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

3 2

y +ay +by+c=0 (1)

设y=x+h,得

3 2

(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0

3 2 2 3

x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0

上面方程可转化为,

x +px+q=0 (3)

其中, y=x-a/3, (2)

h=-a/3,

2 2

p=3h +b+2ah=b-a /3,

3 3

q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,

只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,

f(u)=u -x0u-p/3,

它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,

α+β=x0 (4)

αβ=-p/3 (5)

以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：

(α+β) +p(α+β)+q=0,

或,

3 3

α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,

但由(5)得3αβ+p，故有,

3 3

α +β =-q (6)

另一方面，由(5)推得,

3 3 3

α β =-p /27 (7)

3 3

等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,

2 p

z +qz- =0 (8)

的根,

解方程(8)，我们得到：

2 3

q q p

z =- ± +

2 4 27

2 3

q q p

α= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

β= - ± + (9)

2 4 27

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,

3 3

故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

即,

2 3

q q p

β= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

α= - ± + (9)

2 4 27

或,

2 3

q q p

α= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

β= - ± + (9)

2 4 27

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

3 3

2 3 2 3

q q p q q p

x0=α+β= + + + - + +

2 4 27 2 4 27

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。

注意：ε是1的立方根，即

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

下面内容为插叙

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以，

y` =1/x`

x y

也就是说原函数的导数等于1除以反函数的导数, 也可以认为，反函数的导数等于1除以原函数的导数,

x` =1/y`

y x

因为,

arctg (y/x)

y`=u(x)=t=arctg(y/x)+

所以,

x` =1/y` =

y x 3

arctg (y/x)

arctg(y/x)+

推导过程参见《微积概要》国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编，1935年版，商务印书馆出版,

因为,

m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n 2n+2

(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )

1*2 1*2...n

所以,当x =-x ,m=-1/2时，有

1 1 2 1*3 4 1*3*….(2n-1) 2n 2n+2

=1+ x + x +…+ x +o(x )

2 2 2*4 2*4*…2n

1-x

两边积分得

3 5 2n+1

1 x 1*3 x 1*3*….(2n-1) x 2n+2

arc sin x=x+ + +…+ +o(x )

2 3 2*4 5 2*4*…2n 2n+1

在区间(-π/2,+π/2),

3 5 7 2n+1

x x x n x 2n+2

arc tg x=x- + - -...+(-1) +o(a )

3 5 7 2n+1

当x=1时，由上式可得,

π 1 1 1 n 1

=1 - + - -...+(-1) +…

4 3 5 7 2n+1

1 2 3 n

x x x x x n+1

e =1 + + + +...+ +o(x )

1 1*2 1*2*3 n!

loga x xloga

因为a=e , a =e

所以,

2 2 n n

x xloga x (loga) x (loga) n+1

a =1 + + +...+ +o(x )

1 2! n!

2 3 5 2n+1

1-x π x x n-1 x 2n+2

arctan = -x+ - +...+ (-1) +o(x )

1+x 4 3 5 2n+1

在区间(-π/2,+π/2)

1-x 1 1 1`

dx=1+ + +...+ 其中m为正整数│x│<1

0 1+x 2 3 m

2 4 6

sinx x x x

log =(- + - +…)

x 3! 5! 7!

2 4 6

1 x x x 2

- (- + - +…)

2 3! 5! 7!

2 4 6

1 x x x 3

+ (- + - +…)

3 3! 5! 7!

2 4 6

n+1 1 x x x n

-...+(-1) (- + - +…)

n 3! 5! 7!

n+1 2n+2 (n+1) x+θx 2

1 2 n 2n (n) (-1) x f [ ]

x x (-1) x f (x) 1+n

( )dx=f(x)- f``(x)+...+ +

0 1+x 1+x n n+1

(1+x) (1+x) (n+1)!

求

log(1+x)

0 1+x

推导过程可参见1934年商务印书馆出版《大学丛书高等算学分析》，熊庆来著

推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著

3 5 2n+1

1 x 1*3 x 1*3*….(2n-1) x 2n+2

arc sin x=x+ + +…+ +o(x )

2 3 2*4 5 2*4*…2n 2n+1

3 5 7 2n+1

x x x n x 2n+2

arc tg x=x- + - -...+(-1) +o(a )

3 5 7 2n+1

1 2 2

=1-x+x +o(x ）

1+x

1 3 2 n+1 1*3*….(2n-1) n 2n+2

1+x =1+ x - x +…+(-1) x +o(x )

2 8 2*4*…*2n

1 1 3 2 n 1*3*….(2n-1) n 2n+2

=1- x + x +…+(-1) x +o(x )

2 8 2*4*…*2n

1+x

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册

4)今考察幂函数x , 此处m非自然数也非零。在这情形，当x→0时，或则函数本身（若m<0），或则它的导数（从某一个n>m阶开始）无限地增大。因此，在此处已不能取x =0.

m 0

取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .

如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成

为依x的幂而展开函数（1+x）了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.

(k) m-k

f (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)

(k)

因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)...(m-k+1)

展开式的形式就是

m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n

(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )

1*2 1*2...n

特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有

1 2 2

=1-x+x +o(x )

1+x

1 1 2 2

1+x=1+ x- x +o(x )

2 8

1 1 3 2 2

=1+ x- x +o(x )

1+x 2 8

在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即

1+x

至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出

5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.

f(x)=ln(1+x)

并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)

k-1

(k) (-1) (k-1)!

f (x)=

(1+x)

(k) k-1

f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!

注;记号0！我们永远理解为1

由此

2 3 n

x x n-1 x n

ln(1+x) =x- + -......+ (-1) +o(x )

2 3 n

6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m) (2m-1) m-1

f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!

根据戴劳公式（11），可得

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n

arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )

1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为

3 5 2m-1

x x m-1 x 2m

arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x )

3 5 2m-1

6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m) (2m-1) m-1

f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）

根据戴劳公式（11），可得

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n

arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )

1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为

3 5 2m-1

x x m x 2m

arcc tg x=-x+ - -......+ (-1) +o(x )

3 5 2m-1

6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2

f (0)=0, f (0)=(-1) 1 *3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]

于是它的展开式可表示为

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

2 2 2

1-1 (2*1-1)!! 0 2 2-1 (2*2-1)!! 3 (2*n-1)!! n n

arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )

1! 2! 3! n!

(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n

arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )

1! 2! 2!! 3!! n!

于是它的展开式可表示为

3 5 2m-1

2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m

arc sin x=x- + -......+（-1） +o(x )

3!! 5!! (2m-1)!!

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2

f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 ...(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]

于是它的展开式可表示为

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

2 2

0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n

arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )

1! 2! 3! n!

2 2

0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n

arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )

1! 2! 3!! 3!!4!! n!

于是它的展开式可表示为

2 3 5 2m

x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x

arc cos x=1- + - -......+（-1） +o(x )

2!! 4!! 6!! (2m)!!

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为

2 2

1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x

f`(x)= , f``(x)= , f``(x)=2* , f (x)=8sin x

2 2 4 5

cos x cos x cos x cos x

Ⅳ

故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,

根据戴劳公式（120a）

x 4

tg x=x+ +o(x )或

3 5 7 2m-1

2x 4x 6x m-1 (2m) x n

tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)

3 5 7 2m-1

例如

tg π/4=1

0.785339

tg 0.785339=0.785339+ =1.0928

例如

tg π/4=1

3 5 7

2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339

tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928

3 5 7

利用已知的展开式，就已经可以不用求导数而直接写出较繁复的函数的展开式。例如，前一公式就可以从sin x及cos x的展开式而求得。举几个新的例子，在这时一切x的幂值到指定的幂包括在内为止，我们都要精确计算出来，而更高级的幂（没有写出来的）自然是包括在余项内。

7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为

2 2

1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x

f`(x)=- , f``(x)=- , f``(x)=-2* , f (x)=-8cos x

2 2 4 5

sin x sin x sin x sin x

Ⅳ

故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,

根据戴劳公式(120a)

x 4

ctg x=x- +o(x )或

3 5 7 2m-1

2x 4x 6x m-1 (2m) x n

ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)

3 5 7 2m-1

例如

ctg π/4=1

0.785339 3

ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027

例如

ctg π/4=1

3 5 7

2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339

ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928

3 5 7

sin x 3

8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)

sinx 1 2 1 3 3

e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )

2 6

sinx 1 2 1 3 3

e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )

2 6

3 3

注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。

但依2)

1 3 4

sin x=x- x + o(x )

于是

sin x 1 3 1 2 1 3 3

e =1+(x- x )+ x + x + o(x )

6 2 6

含x 的项互相消去，故最后得

sin x 1 2 3

e =1+x+ x + o(x )

类似地

tg x 1 2 1 3 3

e =1+x+ x + x + o(x )

2 2

9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)

1 2 1 3 3

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )

2 2

1 2 1 3 6

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )

2 2

注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，

3 6

故o((cos x-1) )同时就是o(x )

在这时，由于3),

1 2 1 4 1 6 7

cos x-1=- x + x - x + o(x )

2 24 720

由此

1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6

ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )

2 24 720 2 4 24 3 8

或在化简后

1 2 1 4 1 6 6

ln cos x-1=- x - x - x + o(x )

2 12 45

类似地

2 1 3 3 5 5

ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )

6 40

而

sin x 1 2 1 4 1 6 6

ln =- x - x - x + o(x )

x 6 180 2835

一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。

附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式

可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版《微积分教程》第一卷第一分册

125.例题

若x =0，戴劳公式看来是最简单的：

注;这个公式也被冠以马克劳林公式的名字。

(n)

f`(x ) f``(x ) f```(x ) f (x )

0 0 2 0 3 0 n n

f(x)=f(x )+ x+ x + x +…+ (x-x ) +o(x ) (11)

0 1! 2! 3! n!

在取x-x 作为新的自变量之后，一般的戴劳公式总归可以化为这个特别情形的。

兹以例题的形式来考察某些初等函数依这公式的具体展开式。

1)设

f(x)=e ;

(k) x

则f (x)=e (k=1,2,3,...)

(k)

因为在这时f(0)=1,f （0）=1，故依公式（11）

0 0 2 0 (n)

x 0 e x e x e x n

e =e + + +…+ + o(x )

1! 2! n!

2 (n)

x x x x n

e =1+ + +…+ + o(x )

1! 2! n!

2)若f(x)=sin x，则

(k) π

f (x)=sin(x+k* )

(2m) (2m-1) π m-1

,于是f(0)=0,f (0)=sin mπ=0, f (0)=sin (mπ- )=(-1) (m=1,2,3...)

因此，在公式（11）内令n=2m，就有

2*1-1 2*2-1 2*3-1 2m-1

1-1 x 2-1 x 3-1 x m-1 x 2m

sin x= (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )

(2*1-1)! (2*2-1)! (2*3-1)! (2m-1)!

3 2 2m-1

x x m-1 x 2m

sin x =x- + -…+ (-1) +o(x )

3! 5! (2m-1)!

3)类似的，在f(x)=cos x时：

(k) π

f (x)=cos(x+k* )

(2m) m (2m-1)

, f(0)=1,f (0)=（-1） , f (0)=0 (m=1,2,3...)

这样（若取n=2m+1),

2*1-1 2*2 2*3 2m

1 x 2 x 3 x m x 2m+1

cosx=1+ (-1) + (-1) + (-1) +…+(-1) +o(x )

(2*1)! (2*2)! (2*3)! (2m)!

2 4 2m

x x m x 2m+1

cos x =1- + -…+ (-1) +o(x ) (13)

2! 4! (2m)!

m 0

取x =1，即依(x-1)的幂而展开x .

如前所述，我们可以把x-1当做新的变量，但若我们仍旧用x来记这新的变量，则问题就成

为依x的幂而展开函数（1+x）了。我们知道任意阶导数的普遍公式116,2）, 详细内容见任意阶导数的普遍公式.

(k) m-k

f (x)=m(m-1)...(m-k+1)(1+x)

(k)

因此f(0)=1,f (0)=m(m-1)...(m-k+1)

展开式的形式就是

m m(m-1) 2 m(m-1)...(m-n+1) n n

(1+x) =1+mx+ x +…+ x +o(x )

1*2 1*2...n

特别情形，例如在n=2及m=-1,1/2,-1/2时，就有

1 2 2

=1-x+x +o(x )

1+x

1 1 2 2

1+x=1+ x- x +o(x )

2 8

1 1 3 2 2

=1+ x- x +o(x )

1+x 2 8

在这些展开式中，第一式很容易由初等方法得出；此处的余项实即

1+x

至于第二式及第三式就需要更长的计算。比较63无穷小和无穷大的分级中的主部的分出

5)若转而讨论对数函数ln x，它在x→+0时趋向于-∞，所以仿照前例，我们只能考察函数.

f(x)=ln(1+x)

并且依x的幂展开它。那时任意导数的普遍公式116,3)

k-1

(k) (-1) (k-1)!

f (x)=

(1+x)

(k) k-1

f(0)=0, f (0)=(-1) (k-1)!

注;记号0！我们永远理解为1

由此

2 3 n

x x n-1 x n

ln(1+x) =x- + -......+ (-1) +o(x )

2 3 n

6)今设f(x)=arc tg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m) (2m-1) m-1

f(x) (0)=0, f(x) (0)=(-1) (2m-2)!

根据戴劳公式（11），可得

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc tg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

1-1 (2*1-2)! 0 2 2-1 (2*2-2)! 3 n-1 (2*n-1)! n n

arc tg x= arc tg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )

1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为

3 5 2m-1

x x m-1 x 2m

arc tg x=x- + -......+ (-1) +o(x )

3 5 2m-1

6a)今设f(x)=arc ctg x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.4a)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m) (2m-1) m-1

f(x) (0)=0, （当2m为偶数时）f(x) (0)=(-1) (2m-2)!, （当2m-1为奇数时）

根据戴劳公式（11），可得

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc ctg x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

1 (2*1-2)! 0 2 2 (2*2-2)! 3 m-1 (2*m-1)! n n

arc ctg x= arcctg 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+(-1) x + o(x )

1! 2! 3! n!

于是它的展开式可表示为

3 5 2m-1

x x m x 2m

arcc tg x=-x+ - -......+ (-1) +o(x )

3 5 2m-1

6b)今设f(x)=arc sin x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m) (2m-1) m-1 2 2 2 m-1 2

f (0)=0, f (0)=(-1) 1 *3 ...(2m-1) =(-1) [(2m-1)!!]

于是它的展开式可表示为

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc sin x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

2 2 2

1-1 (2*1-1)!! 0 2 2-1 (2*2-1)!! 3 (2*n-1)!! n n

arc sin x= arc sin 0 + (-1) x+ x +(-1) x +…+ x + o(x )

1! 2! 3! n!

(2*1-1)!! 0 2 2!!* 2!! 3 (2*n-1)! n n

arc sin x= arc sin 0 - x+ x - x +…+ x + o(x )

1! 2! 2!! 3!! n!

于是它的展开式可表示为

3 5 2m-1

2!! x 4!!x m-1 (2m-2)!! x 2m

arc sin x=x- + -......+（-1） +o(x )

3!! 5!! (2m-1)!!

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

6c)今设f(x)=arc cos x, 我们在莱伯尼兹公式例题118.5b)中已得到它的导数在x=0时的数值：

(2m-1) (2m) m 2 2 2 m 2

f (0)=0, f (0)= (-1) 3 *5 ...(2m-3) =(-1) [(2m-3)!!]

于是它的展开式可表示为

(n)

f`(0) f``(0) 2 f```(0) 3 f (0) n n

arc cos x=f(0)+ x+ x + x +…+ x +o(x )

1! 2! 3! n!

2 2

0 (2*1-1)!! 2 0 3 (2*n-1)!! n n

arc cos x= arc cos 0 + x+ x + x +…+ x + o(x )

1! 2! 3! n!

2 2

0 (2*1-1)!! 2 0 3 3!!3!! 4 (2*n-1)! n n

arc cos x= arc cos 0 + x- x + x - x +…+ x + o(x )

1! 2! 3!! 3!!4!! n!

于是它的展开式可表示为

2 3 5 2m

x 3!! x 5!!x m (2m-1)!! x

arc cos x=1- + - -......+（-1） +o(x )

2!! 4!! 6!! (2m)!!

注note;5!!=1*3*5,6!!=2*4*6

7)对于函数f(x)=tg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为

2 2

1 2sin x 1+2sin x Ⅳ 2+2sin x

f`(x)= , f``(x)= , f``(x)=2* , f (x)=8sin x

2 2 4 5

cos x cos x cos x cos x

Ⅳ

故f(0)=0,f`(0)=1,f``(0)=0,f```(0)=2,f (0)=0,

根据戴劳公式（120a）

x 4

tg x=x+ +o(x )或

3 5 7 2m-1

2x 4x 6x m-1 (2m) x n

tg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (-π/2<x<π/2)

3 5 7 2m-1

例如

tg π/4=1

0.785339

tg 0.785339=0.785339+ =1.0928

例如

tg π/4=1

3 5 7

2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339

tg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928

3 5 7

7a)对于函数f(x)=ctg x，戴劳公式的系数构成的规律是较繁复的。但要写出它的为首几项并不困难。例如，因为

2 2

1 2cos x 1+2cos x Ⅳ 2+2cos x

f`(x)=- , f``(x)=- , f``(x)=-2* , f (x)=-8cos x

2 2 4 5

sin x sin x sin x sin x

Ⅳ

故f(π/2)=1,f`(π/2)=-1,f``(π/2)=0,f```(π/2)=-2,f (π/2)=0,

根据戴劳公式(120a)

x 4

ctg x=x- +o(x )或

3 5 7 2m-1

2x 4x 6x m-1 (2m) x n

ctg x=x- + - +…-(-1) + o(x ) (0<x<π)

3 5 7 2m-1

例如

ctg π/4=1

0.785339 3

ctg 0.785339=0.785339- (0.78533-1.75) =0.93027

例如

ctg π/4=1

3 5 7

2*0.785339 4*0.785339 6*0.785339

ctg 0.785339=0.785339+ - + =1.0928

3 5 7

sin x 3

8)写出函数e 的展开式至x 。根据1)

sinx 1 2 1 3 3

e =1+sin x+ sin x + sin x + o(sin x )

2 6

sinx 1 2 1 3 3

e =1+sin x+ sin x + sin x + o(x )

2 6

3 3

注:原来应写成o(sin x)，但由于x与sin x是等价无穷小，所以写成o(x )是完全一样的。

但依2)

1 3 4

sin x=x- x + o(x )

于是

sin x 1 3 1 2 1 3 3

e =1+(x- x )+ x + x + o(x )

6 2 6

含x 的项互相消去，故最后得

sin x 1 2 3

e =1+x+ x + o(x )

类似地

tg x 1 2 1 3 3

e =1+x+ x + x + o(x )

2 2

9)写出函数ln cos x的展开式至x 的项。根据5)

1 2 1 3 3

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o((cos x-1) )

2 2

1 2 1 3 6

ln cos x=ln[1+(cos x-1)]=(cos x-1)- (cos x-1) + (cos x-1) + o(x )

2 2

注：因为1-cos x与x 同阶，见无穷小及无穷大的分级中的无穷小的尺度，

3 6

故o((cos x-1) )同时就是o(x )

在这时，由于3),

1 2 1 4 1 6 7

cos x-1=- x + x - x + o(x )

2 24 720

由此

1 2 1 4 1 6 1 1 4 1 6 1 1 6 6

ln cos x-1=(- x + x - x )- ( x - x )+ (- x )=o(x )

2 24 720 2 4 24 3 8

或在化简后

1 2 1 4 1 6 6

ln cos x-1=- x - x - x + o(x )

2 12 45

类似地

2 1 3 3 5 5

ln (x+ 1+x =x- x - x + o(x )

6 40

而

sin x 1 2 1 4 1 6 6

ln =- x - x - x + o(x )

x 6 180 2835

一切这些不直接利用戴劳公式而得出的展开式，当然也可以由戴劳公式求得，并且由于函数的这种展开式的唯一性，也就恰好有着同样的系数。

附注, 因为在这里所考察的函数在点x=0的邻域内都有着任何阶的导数，所以我们在公式（11）内对于n的选取不受拘束，就是可以继续展开这些函数直至x的任意次幂。

推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译

3-21.反三角函数的导数

1.设y=arcsinx,则y`=1/ 1-x

(arcsinx)`=1/ 1-x 3.30

证明：函数y=arcsinx是多值函数，但如果我们只限于在-π/2到π/2之间取其值，即

-π/2 ≤arcsinx≤ π/2

则在此条件下，y=arcsinx将变为单值函数了。且这种函数叫做arcsinx的主值，并写作y=arcsinx, 其几何意义则为在函数y=arcsinx的图形上（图3-21）只限于取点M1与M2间的一部分曲线。因为函数y=arcsinx与x=siny互为反函数，所以有y` =1/x`

x y

故 y` =1/cosy

但,

2 2

cosy= 1-sin y = 1-x

于是得

y` =1/ 1-x

或者

d(arc sinx)=1/ 1-x

这就是所要证明的, 上式中根号前的符号，我们所以选取正号，是因为按条件y满足不等式：

-π/2 ≤y≤ π/2

而这就是说，cosy是正的量

例1.设y=xarcsinx,试求y`

我们有

y`=arcsinx+x/ 1-x

例2.设y=arcsin√x,试求y`

设把√x看作u，则有

1 1 1

y`= (√x)`= =

2 2

1-(√x) 2 1-x√x 2 x-x

2.设y=arccos,则

-1

y`=

1-x

即

-1

(arccosx)`= 3.31

1-x

证明，函数y=arccosx为多值函数。如果我们只限于取arccosx在0与π之间的值，即

0≤arccosx≤π

则在此条件下，我们便获得单值函数，

而这个单值函数就叫做函数y=arccosx的主值，并记为

y=arccosx (图3-22)

在几何上来看，就是我们只限于取点M1与M2之间的一部分曲线，

因为函数y=arccosx与x=cosy互为反函数，所以

y` =1/x

x y

然而又因为

x` =-siny

故y` =-1/siny`

但

2 2

siny= 1-cos y = 1-x

于是，得

-1

y` =

x 2

1-x

或者

于是，得

d -1

(arccosx)=

dx 2

1-x

这就是所要证明的。上式中根号前的符号所以选取为正号，是因为y满足不等式:0≤y≤π，

而这就是说,siny是正的能量。

3.设y=arctgx,则

y`=(arctgx)`=1/(1+x )

证明.函数y=arctgx是多值函数，为了使它变为单值函数，

我们只限于取arctgx在-π/2到π/2之间的值，即-π/2≤arctgx≤π/2

在此条件下，我们便获取单值函数，而这个函数就叫做arctgx的主值，并且记为

y=arctgx (图3-23)

在几何上，就是我们只限于取y=-π/2到π/2之间的一部分图形。

因为函数y=arctgx与x=tgy互为反函数，所以

y` =1/x`

x y

然而又因为x` =1/cos y

故

y` =cos y

但

2 2

cos y=1/(1+tg y)=1/(1+x )

于是，得

y`=1/(1+x )

或者

d(arc tgx)/dx=1/(1+x )

这就是所要证明的

例1.设y=arctg(3x+x)，试求y`

2 2

y`=3/[1+(3x+2) ]=3/9x +12x+5

例2.设y=ln(arctgx)，试求y`

设把arctgx看作u，则得

y`=(arctgx)`/arctgx=1/(1+x )arctgx

例3.设f(x)=arctg4x，试求f`(0)

我们有

f`(x)=4/(1+16x )

于是,

f`(0)=4/(1+16*0)=4

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中国面包师贴吧-楼主(阅：2633/回：0)用正割对数计算积分的方法1