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数字计算机傅里叶变换电路

下面介绍一种使用傅里叶变换进行AD信号转换的计算机端口电路。相关资料下载网址如下：

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数字计算机傅里叶变换电路

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第一部分傅里叶级数勒让得多项式解法

下面的资料可参见《高等微积分》，赵访熊著，商务印书馆1946年出版。

[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cosnx,sinmx}，n,m=1,2,...。

设f(x)在(-π，π)间节可积，则其正交系数为：

∫ 1 f(x)dx

-π 2 1 π

a = = ∫ f(x)dx

π 2 π -π

∫ （ 1 ） dx

-π 2

y=f(x)=πa （1）

∫ f(x)cosnxdx

-π 1 π

a = = ∫ f(x)cosnxdx

n π 2 π -π

∫ cos nxdx

-π

y`cosnx-nysinnx=πa

y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx=πa (2)

∫ f(x)sinnxdx

-π 1 π

b = = ∫ f(x)sinnxdx

n π 2 π -π

∫ sin nxdx

-π

y`sinnx+nycosnx=πb

y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx=πb (3)

其正交函数级数为：

0 ∞

f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)

2 k-1 k k

名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fourier`s series),a ,a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数”

0 n

(Cosine coefficient),b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。合称富氏级数之系

数a ,a ,b 为f(x)z之“富氏系数”(Fourier coefficients)。

0 n n

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx)

2 k-1 k k

(1)+(2)+(3)得

y=f(x)=πa (1)

y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx=πa (2)

y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx=πb (3)

2 2

y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx+y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx+y

=πb +πa +πa

n n 0

2 2

y``cosnx-ny`sinnx-ny`sinnx-n ycosnx+y``sinnx+ny`cosnx+ny`cosnx+n ysinnx+y

-πb -πa -πa =0

n n 0

(sinnx+cosnx)y``+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0

0 n n

因为

(1-x )y``-2xy`+n(n+1)y=0

设 x=t

(1-t )y``-2ty`+n(n+1)y=0

根据勒让得多项式求解微分方程，上面方程的解是：

∞ 2k ∞ 2k+1

y=∑ a t + ∑ a t

k=0 2k k=0 2k+1

所以

(1-t )y``-2ty`+n(n+1)y=s (5)

上面方程的解是：

∞ 2k ∞ 2k+1

y=s+∑ a t + ∑ a t

k=0 2k k=0 2k+1

假设(4)和(5)是同一个方程，得

sinkx+coskx=1-t

2n(coskx-sinkx)=-2t

n (sinkx+coskx+1)=n(n+1)

πa +πa +πb =s

0 n n

所以

t=1-sinkx-coskx,

-t=n(coskx-sinkx),

n(sinkx+coskx+1)=n+1,

n(sinkx+coskx)=1,

n=1/(sinkx+coskx),

所以

∞ 2k ∞ 2k+1

y=s+∑ a t + ∑ a t

k=0 2k k=0 2k+1

∞ 2k ∞ 2k+1

y=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinkx-coskx) +∑ a [-k(coskx+sinkx)]

0 n n k=0 2k k=0 2k+1

因为,

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)

2 k-1 k k

所以so

0 ∞

+ ∑ (a coskx+b sinkx)=

2 k-1 k k

∞ 2k ∞ 2k+1

=πa +πa +πb + ∑ a (1-sinnx-cosnx) +∑ a [-n(cosnx+sinnx)]

0 n n k=0 2k k=0 2k+1

所以

a (1-sinkx-coskx) =a coskx

2k k

a =coskx/2(1-sinkx-coskx)

2k+1

b [-n(cosnx+sinnx)] = b sinkx

2k+1 k

b =sinkx/3[-n(cosnx+sinnx)]

所以傅里叶变换(6)可写为，

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)

2 k-1 k k

∞ 2 2 3

y=2πx+ ∑ {cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }

k=1

当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y,那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y，

9-1勒氏多项式，即勒让德多项式

兹求勒(Legendre)氏微分方程：

(1-x )y``-2xy`+n(n+1)y=0

之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解：

∞ k

y= ∑ a x

k=0 k

则可逐项微分一次及二次，依次得：

∞ k-1

y`= ∑ ka x

k=1 k

及

∞ k-2

y``= ∑ k(k-1)a x

k=2 k

代入勒氏微分方程即得

2 2 ∞

n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x

0 1 2 1 2 k=1 k

∞ k ∞ k-1

+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0

k=2 k k=1 k

n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)

0 1 2 1 2

∞ 2 k-2 k-i k

+ ∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0

k=2 k k k

∞ k

[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0

2 0 3 1 k=2 k+2 k

故必有

n(n+1)

a =- a

2 2 0

n(n+1) -2

a =- a

3 3*2 0

n(n+1)-k(k+1)

a =- a ,k=2,3,...

k+2 (k+2)(k+1) 2

亦即

n(n+1)-k(k+1)

a =- a ,k=2,3,... (1)

k+2 (k+2)(k+1) 2

此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,......a ......均为a 及此循环公式所定，

k 0 2 4 2k 0

并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,...a ...均为a 及此循环公式所定，

0 1 2 3 2k+1 1

并均为a 之常数倍数，写y作：

∞ 2k ∞ 2k+1

y= ∑ a x + ∑ a x

k=0 2k k=0 2k+1

傅里叶级数的反级数, 因为傅里叶级数如下：

0 ∞

f(x)∽ + ∑ (a coskx+b sinkx)

2 k-1 k k

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)

2 k-1 k k

根据反函数的相关性质，可推导出

0 ∞

x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)

2 k-1 k k

利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。因为级数

∞ 2 2 3

y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)

k=1

根据反函数的相关性质，可推导出

∞ 2 2 3

x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (3)

k=1

利用上面的级数，当计算机采集一个信号y，可得到一个反三角函数级数x, 利用上面的方程可以产生任意一个波形，如正弦波，三角波，等等。将(2)代入(3),得

∞ 2 2 3

z=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (5)

k=1

上式中,

0 ∞

x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)

2 k-1 k k

这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。

将(4)代入(1),得

0 ∞

z= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)

2 k-1 k k

上式中,

∞ 2 2 3

x=2πy + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)

k=1

这样就得到一个y是自变量，z是未知量的方程，比较z和y的值，如果两个值的大小变化很大，证明y是一个毫无规律的信号。用这个方式判断宇宙微波背景信号的变化，就会发现宇宙微波背景辐射信号那些部分的变化毫无规律可寻，也就找到了异常变化点。上面的情况是正交函数的情况，如果是非正交函数，则要乘以空间的夹角的正弦. 所以,

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (1)

2 k-1 k k

可改写为

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx)sinβ

2 k-1 k k

上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,

0 ∞

x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky) (2)

2 k-1 k k

可改写为

0 ∞

x= + ∑ (a arccosky+b arcsinky)arc sinβ

2 k-1 k k

上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,

∞ 2 2 3

x=2πy + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] } (3)

k=1

可改写为

∞ 2 2 3

y=2πx + ∑{cos kx/2(1-sinkx-coskx)+sin kx/3[-n(cosnx+sinnx)] }sinβ

k=1

上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间, 所以,

∞ 2 2 3

y=2πx + ∑ {arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] } (4)

k=1

可改写为

∞ 2 2 3

y=2πx + ∑{arccos ky/2(1-arcsinky-arccosky)+arcsin ky/3[-n(arccosny+arcsinny)] }arc sinβ

k=1

上式中，β是空间中x轴和y轴的夹角，非直角，即非正交空间。

9-7.白氏函数，即贝塞尔函数

试求“白氏微分方程：(Bessel`s differential equation):

2 2 2

x y``+xy`+(x -n )y=0

之幂级数解，设有一收敛幂级数解：

∞ m+k

y= ∑ (m+k)a x

k=0 k

则,

∞ m+k-1

y`= ∑ (m+k)a x

k=0 k

∞ x+k-2

y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x

k=0 k

代入白氏微分方程，即得

2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k

(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0

0 1 k=2 k k-2

故必有

2 2

(m -n )a =0

2 2

[(m+1) -n ]a =0

k-2

a =- ,k=2,3,......,

2 2

(m+k) -n

兹令m=n，则第一次并不限制a ,因

2 2 2 2

(m+1) -n =(n+1) -n ≠0

故第二式限制a =0，因

2 2 2 2

(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)

故第三式为：

k-2

a =- ,k=2,3,......,

k k(k+2n)

因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,......,给定a ≠0并给定n非负整数，

1 2k+2 0

则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,......,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故

0 2k 2k 0

n ∞ 2k

y=x ∑ a x

k=0 2k

因,

│a │

k 1

Lim = Lim =0

k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│

k-2

此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。

由上面的推导可知

(sinnx+cosnx)y``+2n(cosnx-sinnx)y`+n (sinnx+cosnx+1)y-πa -πa -πb =0 (4)

0 n n

因为,

2 2 2

x y``+xy`+(x -n )y=0

设 x=t

2 2 2

t y``+ty`+(t -n )y=0

根据贝赛尔多项式求解微分方程，上面方程的解是：

n ∞ 2k

y=x ∑ a x

k=0 2k

所以,

2 2 2

t y``+ty`+(t -n )y=s (5)

上面方程的解是：

n ∞ 2k

y=s+t ∑ a x

k=0 2k

假设(4)和(5)是同一个方程，得

sinkx+coskx=t

2n(coskx-sinkx)=t

2 2 2

n (sinkx+coskx+1)=t -n

πa +πa +πb =s

0 n n

所以,

t= sinkx+coskx

2n(coskx-sinkx)=t,

2 2

n (sinkx+coskx+2)=t

n=t/ (sinkx+coskx+2)

所以,

2 2 2

t y``+ty`+(t -n )y=s

2 2

4n (coskx-sinkx) y``+ (sinkx+coskx) y`+{(sinkx+coskx)-[(sinkx+coskx)/(sinkx+coskx+2)]}y=s

上面方程的解是：

n ∞ 2k

y=s+t ∑ a x

k=0 2k

∞ k

y=πa +πa +πb + ∑ a (sinkx+coskx)

0 n n k=0 k

或

∞ 2k+1

y=πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)

0 n n k=0 2k+1

因为，

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)

2 k-1 k k

0 ∞ ∞ 2k+1

+ ∑ (a coskx+b sinkx) =πa +πa +πb + ∑ a 2n(coskx-sinkx)

2 k-1 k k 0 n n k=0 2k+1

所以傅里叶变换(6)可写为，

. a

0 ∞

y= + ∑ (a coskx+b sinkx) (6)

2 k-1 k k

∞ 2k+1

y=2πx+ ∑ a 2n(coskx-sinkx)

k=1 2k+1

当用计算机采集一个外部信号，这个信号的变化函数设为y, 那么y可以用上面的傅里叶变换表示，设k为时间，则信号y可以表示成自变量x的函数，第一秒采集的信号数据储存在第一个寄存器中，第二秒采集的数据储存在第二个寄存器中，依次类推，最后采集的数据可以用上面的方程描述，y代表信号，x代表这个信号的自变量，k代表时间。同时利用上面的方程可以向外输出信号，改变上述方程的x和时间参数k，就可以向外输出信号y，x的不同变化就可以形成不同的波形y。

第八章富氏级数及富氏积分.

8-1.正交函数集

1 2 3

设a ,a a 为三个空间相互垂直非零矢量，则

i j

a +a =0,i≠j,i,j=1,2,3

设b为空间随意矢量，则b恒可写为：

1 2 3

b=c a +c a +c a

1 2 3

i i i

其中c ,c ,c 为数量，因b*a =c a *a ，故其值为：

1 2 3

b*n

c = ,i=1,2,3

i i i

a *a

兹讨论一类似问题，问题为给定一在(a,b)间节之函数集(φ,(x)),n=0,1,2,......,及一在(a,b)间节之随意函数f(x).

(1)是否可展开f(x)为函数集(φ,(x))之函数级数：

∞

f(x)∽ ∑ c φ (x)？

k=0 k k

(2)在何种条件下，

∞

f(x)= ∑ c φ (x)？

k=0 k k

在讨论问题前，先证明于二级平直微分方程之下列二定理：

定理8-1，给定a (x)y``+a (x)y`+a (x)y，则恒有函数p(x),q(x),及r(x)使

2 1 0

r(x)[a (x)y``+a (x)y`+a (x)y]= [p(x)y`]+q(x)y

2 1 0 dx

[证]所求三函数p,q,r之必要及充分条件为：

ra =p (1)

ra =p (2)

1 q

ra =p (3)

0 a

自(1)及(2)即得

d p` 1

logp= =

dx p a

即,

∫ dx

p=ce 2

兹选：

∫ dx

p=ce 2

∫ dx

1 a

r= e 2

a ∫ dx

0 a

q= e 2

则(1),(2)，及(3)均满足,

[例1]

2 d 2

y``+n y= y`+n y,

r=1,p=1,q=n

[例2]

2 d 2

(1-x )y``-2xy`+m(m+1)y= [1-x )y`]+m(m+1)y,

r=1,p=(1-x ),q=m(m+1)

[例3]

2 d 2

xy``+y`+k xy= [xy`]+k xy,

r=1,p=z,q=k z,

定理8-2，设y (x)及y (x)依次为

1 2

[py` ]+q y =0

dx 1 1 1

[py` ]+q y =0

dx 2 2 2

之解，则

b b

∫ (q -q )y y dx=p(y` y -y y` )

a 2 1 1 2 1 2 1 2 a

[证]以y 乘第一微分方程，以y 乘第二微分方程，相减即得

2 1

d d d

y [py` ]-y [py` ]= [p(y` y -y y` )]=(q -q )y y

2 dx 1 dx dx 1 2 1 2 2 1 1 2

自a至b积分，即证此定理

正交函数集定义：设y (x)及y (x)为在间节(a,b)可积函数集{y },n=0,1,2,......,之任何两

i j n

个不同函数，即有

∫ y (x)y (x)dx=0,

a I j

则称此函数值为在间节(a,b)之“正交函数集”(Set of orthogonal functions)。

[例1]{sinnx},n=1,2,......,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。

因y =sin nx及y =sin mz依次满足：

n m

d 2

[y` ]+n y =0

dx n n

d 2

[y` ]+m y =0

dx m m

标定理8-2即得

2 2 π π

(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0

0 n m n m n m 0

2 2 π π

(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0

-π n m n m n m -π

2 2

故设m≠n,则m -n ≠0，即有

π π

∫ y y dx=0,及∫ y y dx=0,

0 n m -π n m

[例2]{1/2,cos nx},n=1,2,......,为间节(0,π)及(-π,π)之正交函数集。

因y =cosnx,y =cos mx依次满足例1之微分方程，

n m

准定理8-2并注意y` =-ksinkx在x=0,π,-π之值均为零，不论k为何数，即得：

2 2 π π

(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0

0 n m n m n m 0

2 2 π π

(m -n ) ∫ y y dx=(y` y -y y` ) =0

-π n m n m n m -π

函数1/2可写为

y (x)= cos0x

0 2

其微商恒等于零。故设m≠n,m,n=0,1,2,......,则

π π

∫ y y dx=0, ∫ y y dx=0,

0 n m -π n m

[例3]{1/2,cos nx,sin nx},m,n=1,2,......,为(-π,π)间节之正交函数集。

f(x)=cos nx sin nx,n=0,1,2,......,m=1,2,......为奇函数，故

∫ cos nx sin mx dx=0,n=0,1,2,......,m=1,2,......,

-π

自例1及2已知

∫ cos nx cos mx dx=0,m≠n,

-π

∫ sin nx sin mx dx=0,m≠n,

-π

故已证此函数集为(-π,π)间节之正交函数集。

[例4]名“勒氏方程”(Legendre`s equation):

d 2

[(1-x )y`]+n(n+1)y=0,n=0,1,2,......

之多项式解之满足y(1)=1者为“n级勒氏多项式”(Legendre poly-nomial),

以P (x)表之，则{P (x)},n=0,1,2,......为(-1,1)间节之正交函数集。

n n

准定理8-2，知

1 1

[m(m+1)-n(n+1)] ∫ P P dx=(1-x )(P` P -P P` ) =0

-1 n m n m n m -1

故设m≠n，则

m(m+1)-n(n+1)≠0,故 ∫ P P dx=0

-1 n m

[例5]名“白氏方程”（Bessel`s equation):

d 2

(xy`)+k xy=0

dx n

之幂级数解为J (k x)。

0 0

设J (k a)=0,n=1,2,......,0<k <k <k ......，则

0 n 1 2 3

∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。

a 0 n 0 m

亦称(J (k x)),n=1,2,......,为(0,a)间节之“广义正交函数集”(Generalized orthogonal set)。

0 x

准定理8-2，知

2 2 b

(k -k )∫ xJ (k x)J (k x)dx=0,n≠m。

m n a 0 n 0 m

=x[J` (k x)J (k x)-J (k x)J` (k x)] =0

0 n 0 m 0 n 0 m 0

2 2

设n≠m，则k -k ≠0,故得所欲证。

m n

8-2.正交函数级数之展开公式

设f(x)为在(a,b)间节可积之随意函数，{φ (x)},n=0,1,2,......, 为(a,b)区间之正交函数集。

设f(x)已展开成一收敛f(x)之正交函数级数：

∞

f(x)= ∑ a φ (x)

k=0 k k

并在(c,b)间节可逐项积分，则

b ∞ b b

∫ fφ dx= ∑ a ∫ φ φ dx=a∫ φ dx=a

a n k=0 k a k n a n

故必有

∫ fφ dx

a n

a = ,n=0,1,2,......, (1)

b 2

∫ φ dx

a n

兹名a 为f(x)之“正交系数”，

∞

∑ a φ (x) 为于f(x)相当之“正交函数级数”而以

k=0 k k

∞

f(x)∽ ∑ a φ (x)

k=0 k k

表之，并读符号∽作“相当于”。设f(x)为在(a,b)间节可积函数，则其正交系数可自公式(1)求出，故与f(x)相当于正交函数级数亦已定。惟求出与f(x)相当于之正交函数级数在间节(a,b)是否收敛，即收敛其值是否即f(x)，尚待将来讨论之。

∫ f(x)sinnxdx

0 2 π

a = = ∫ f(x)sinnxdx

n π 2 π 0

∫ sin nxdx

其相当于正交函数级数为：

∞

f(x)∽ ∑ a sinnx

k=0 n

名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s sine series)。

名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fourier`s sine series)。

例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为

4 1

,n=1,2,......

2 2 1 n π n

a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {

n π π n 0,n为变数

其富氏正弦级数为：

4 ∞ sin(2k+1)x

1∽ ∑ ,0<x<π

π k=0 2k+1

[例1]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,......

设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：

∫ f(x)sinnxdx

0 2 π

a = = ∫ f(x)sinnxdx

n π 2 π 0

∫ sin nxdx

其相当于正交函数级数为：

∞

f(x)∽ ∑ a sinnx

n=1 n

名a 为f(x)之“富氏正弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s sine series)。

名其相当于正交函数级数为f(x)之“富氏正弦级数”(Fourier`s sine series)。

例如：设f(x)=1,0<x<π，则其富氏正弦级数系数为

4 1

,n=1,2,......

2 2 1 n π n

a = ∫sin nxdx= [1-(-1) ]= {

n π π n 0,n为变数

其富氏正弦级数为：

4 ∞ sin(2k+1)x

1∽ ∑ ,0<x<π

π k=0 2k+1

[例2]给定在(0,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx},n=1,2,......

设f(x)在(0,π)间节可积，则其正交系数为：

π 1

∫ f(x)dx

0 2 2 π

a = = ∫ f(x)dx

n π 1 2 π 0

∫ ( ) dx

0 2

∫ f(x)cosxdx

0 2 π

a = = ∫ f(x)cos nxdx,n=1,2,......

n π 2 π 0

∫ cos nxdx

其相当于正交函数级数为：

0 ∞

f(x)∽ + ∑ a sinnx

2 n=1 n

名a ,n=0,1,2,.......为f(x)之“富氏余弦级数系数”(Coefficient of Fourier`s cosine series)。

[例3]给定在(-π,π)间节之正交函数集{1/2,cos nx,sin nx},n,m=1,2,.....

设f(x)在(-π,π)间节可积，则其正交系数为：

π 1

∫ f(x)dx

-π 2 1 π

a = = ∫ f(x)dx

n π 1 2 π -π

∫ ( ) dx

-π 2

∫ f(x)cosnxdx

-π 1 π

a = = ∫ f(x)cos nxdx,

n π 2 π 0

∫ cos nxdx

-π

∫ f(x)sinnxdx

-π 1 π

b = = ∫ f(x)sin nxdx,

n π 2 π 0

∫ sin nxdx

-π

其正交函数级数为：

0 ∞

f(x)∽ + ∑ (a cos kx+b sin kx)

2 n=1 k k

名此级数为f(x)之“富氏级数”(Fourier`s series),a , a 为f(x)之富氏级数之“余弦级数”

0 n

(Cosine coefficient)，b 为f(x)之富氏级数之“正弦级数”(Sine coefficient)。

合称富氏级数之系数a ,a ,b 为f(x)之“富氏系数”

0 n n

(Fourier coefficients of Fourier`s cosine series)。名其相当正交函数级数为f(x)之“富氏余弦级数”(Fourier`s cosine series)。

自富氏系数定义知设f(x)为偶函数，即f(-x)=f(x)，则f(x)之富氏级数之正弦系数均为零，其余弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏余弦级数系数。设f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则f(x)之富氏级数之余弦系数均为零，其正弦系数即f(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数系数。

例如:

2,0<x<π

f(x)={

0,-π<x<0

作

1,0<x<π

g(x)=f(x)-1={

-1,-π<x<0

g(x)为奇函数，其富氏级数即g(x)在(0,π)间节之值所定之富氏正弦级数：

4 ∞ sin(2k+1)x

f(x)∽ + ∑

π k=1 2k+1

故f(x)之富氏级数为：

4 ∞ sin(2k+1)x

f(x)∽1+ ∑

π k=1 2k+1

[例4]给定在(-1,1)间节之正交函数集{P (x)},n=0,1,2,......,

设f(x)在(-1,1)间节可积，则其正交系数为：

∫ f(x)P (x)dx

-1 n

a =

n 1 2

∫ P (x)dx

-1 n

名为“勒氏系数”(Legendre conefficients)。其正交函数级数为：

∞

f(x)∽ ∑ a P (x)

n=1 k k

名为f(x)之：勒氏级数(Legendre`s series)

9-1勒氏多项式，即勒让德多项式

兹求勒(Legendre)氏微分方程：

(1-x )y``-2xy`+n(n+1)y=0

之幂级数解。设此微分方程有一收敛幂级数解：

∞ k

y= ∑ a x

k=0 k

则可逐项微分一次及二次，依次得：

∞ k-1

y`= ∑ ka x

k=1 k

及

∞ k-2

y``= ∑ k(k-1)a x

k=2 k

代入勒氏微分方程即得

2 2 ∞

n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)+(1-x ) ∑ k(k-1)a x

0 1 2 1 2 k=1 k

∞ k ∞ k-1

+n(n+1) ∑ a x -2x ∑ ka x =0

k=2 k k=1 k

n(n+1)(a +a x+a x )-2x(a +2a x)

0 1 2 1 2

∞ 2 k-2 k-i k

+ ∑ {(1-x )k(k-1)a x -2xka x +n(n+1)a x }=0

k=2 k k k

∞ k

[2a +n(n+1)a ]+[3*2a +(n(n+1)-2)a ]x+ ∑{(k+2)(k+1)a +[n(n+1)-k(k+1)]a }x ≡ 0

2 0 3 1 k=2 k+2 k

故必有

n(n+1)

a =- a

2 2 0

n(n+1) -2

a =- a

3 3*2 0

n(n+1)-k(k+1)

a =- a ,k=2,3,...

k+2 (k+2)(k+1) 2

亦即

n(n+1)-k(k+1)

a =- a ,k=2,3,... (1)

k+2 (k+2)(k+1) 2

此为系数a 之循环公式。给定a ，即a ,a ,......a ......均为a 及此循环公式所定，

k 0 2 4 2k 0

并均为a 之常数倍数，给定a ,则a ,a ,...a ...均为a 及此循环公式所定，

0 1 2 3 2k+1 1

并均为a 之常数倍数，写y作：

∞ 2k ∞ 2k+1

y= ∑ a x + ∑ a x

k=0 2k k=0 2k+1

设n非零及正整数，a 及a 为两个随意常数，则上式表示二无穷级数（非多项式）。

0 1

因

│a │ │n(n+1)-k(k+1)│

k-2

Lim = Lim =1

k→∞ │a │ k→∞ (k+2)(k+1)

故上式两个幂级数之收敛半径均为1，其和y之收敛半径亦为1.

因此幂级数解已含a 及a 两个随意常数，故此即勒氏方程之全解。

0 1

设n=2m,m=0,1,2,.......,使a =0，则a =0,k=0,1,2,....., 使a ≠0,

0 2k 0

则a ,a ,......,a 均不等于零，而a ,a ,......,均等于零，故得一多项式解：

2 4 2m 2m+2 2m+4

m 2k

y (x)=α ∑ a x

2m 0 k=0 2k

定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)

0 2m 2m

设n=2m+1,m=0,1,2,.......,使a =0，则a =0,k=0,1,2,.....

0 2k

使a ≠0,则a ,a ,......,a 均不等于零，

1 3 5 2m+1

而a ,a ,......,均等于零，故得一多项式解：

2m+3 2m+5

m 2k+1

y (x)=α ∑ a x

2m+1 1 k=0 2k+1

定常数α 使y (1)=1，则得一特解P (x)

1 2m+1 2m+1

名P (x),n=0,1,2,......,为n次“勒氏多项式”(Legendre polynomials)。

例如：

P (x)=1

P (x)=x

3 3 1

P (x)= x -

2 2 2

5 3 3

P (x)= x - x

3 2 2

7*5 4 5*3 2 3*1

P (x)= x -2 x +

4 4*2 4*2 4*2

9*7 5 7*5 3 5*3

P (x)= x -2 x + x

5 4*2 4*2 4*2

9-2.勒氏多项式之特性

设P点之极坐标为(r,θ)，Q点之极坐标为(1,0)，

O 1 Q

PQ之长为ρ，则

2 2

ρ =1-2rx+r =1+y，

1 1 1 1*3 2

= =1- y+ y -……

ρ 2 2*4

1+y

令1/ρ之y幂级数之收敛半径为1，y之r幂级数y=-2xr+r 无常数项，

准定理4-16知以y=-2xr+r 代入1/ρ之y幂级数后必得一收敛r幂级数。

1 ∞

= ∑ f(x)r

ρ n=0

兹讨论f (x)之特性

1.设x=1,则

2 2

ρ =(1-r) ,

1 1 ∞ n ∞ n

= = ∑ r = ∑ f (1)r

ρ 1-r n=0 n=0 n

故有：

f (1)=1,n=0,1,2,...... (1)

2.设x=-1,则

2 2

ρ =(1-r) ,

1 1 ∞ n n ∞ n

= = ∑ (-1) r = ∑ f (-1)r

ρ 1-r n=0 n=0 n

故有：

f (-1)=(-1) ,n=0,1,2,...... (2)

2 2

3.设x=0,则ρ =1+r

1 1 k 1*3*5……(2k-1) 2k ∞ n

= =∑(-1) r = ∑ f (0)r

ρ 2*4*6……(2k) n=0

1+y

故有：

0,设n为单正整数

f (0)={ n/2 1*3*5......(n-1)

n (-1) ,设n为双正整数

2*4*6......n

9-7.白氏函数，即贝塞尔函数

试求“白氏微分方程：(Bessel`s differential equation):

2 2 2

x y``+xy`+(x -n )y=0

之幂级数解，设有一收敛幂级数解：

∞ m+k

y= ∑ (m+k)a x

k=0 k

则,

∞ m+k-1

y`= ∑ (m+k)a x

k=0 k

∞ x+k-2

y``= ∑(m+k)(m+k-1)a x

k=0 k

代入白氏微分方程，即得

2 2 m 2 2 n+1 ∞ 2 2 m+k

(m -n )a x +[(m+1) -n ]a x + ∑ {[(m+k) -n ]a +a )x =0

0 1 k=2 k k-2

故必有

2 2

(m -n )a =0

2 2

[(m+1) -n ]a =0

k-2

a =- ,k=2,3,......,

2 2

(m+k) -n

兹令m=n，则第一次并不限制a ,因

2 2 2 2

(m+1) -n =(n+1) -n ≠0

故第二式限制a =0，因

2 2 2 2

(m+k) -n =(n+k) -n =k(k+2n)

故第三式为：

k-2

a =- ,k=2,3,......,

k k(k+2n)

因a =0，标此循环公式a =0,k=1,2,......,给定a ≠0并给定n非负整数，

1 2k+2 0

则此循环公式依次自a 定出a ,k=1,2,......,a 均不等于零并均为a 之常数倍数。故

0 2k 2k 0

n ∞ 2k

y=x ∑ a x

k=0 2k

因,

│a │

k 1

Lim = Lim =0

k→∞ │a │ k→∞ │k+2n│

k-2

此级数恒收敛，故为白氏方程之一解。

设n非负整数，令

a =

0 n

2 Γ(n+1)

准循环公式

2(k-1)

a =

2k 2

2 k(k+n)

即得

1 1 1

a = =-

2 2 n n+2

2 (1+n) 2 Γ(n+1) 2 Γ(n+2)

1 1 1

a = =

4 2 n+2 n+4

2 2(2+n) 2 Γ(n+2) 2 2!Γ(n+3)

(-1)

a =

2k n+2k

2 k!Γ(n+k+1)

注：Γ(n+1)表示(n+1)!，Γ(n+2)表示(n+2)!，Γ(n+k+1)表示(n+k+1)!

名此解为“n级白氏函数”(Bessel`s function of order n),以J (x)表之，则

x n ∞ (-1) x 2k

J (x)=( ) ∑ ( )

n 2 k=0 k!Γ(n+k+1) 2

设m=0,1,2,.......,则Γ(m+k+1)=(m+k)!

x m ∞ (-1) x 2k

J (x)=( ) ∑ ( )

m 2 k=0 k!(m+k)! 2

例如：

2 4 6

x x x

J (x)=1- + - +……

m 2 2 2 2 2 2

2 2 4 2 4 6

定理9-4.设已知y (x)≠0为

y``+a (x)y`+a (x)y=0

1 0

之一解，则其全解为：

-∫ a dx

x e 1

y=c y +c y ∫ dx

1 0 2 0 2

[证]令y=y v

则, y`=y` v+y v`

0 0

y``=y`` v+2y v`+y v``

0 0 0

故,

y``+a y`+a y=(y`` +a y` +a y )v+(a y +2y` )v`+y v``

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0

因y 为此微分方程之解，故v之系数为零。

y=y v为此微分方程之解之必要及充分条件为v满足：

y v``+(a y +2y` )v`=0

0 1 0 0

即,

v`` 0

+a +2 =0

v` 1 y

即,

d 2

[logv`+logy ]+a =0

dx 0 1

故

-∫ a dx

e 1

v`=c

2 2

-∫ a dx

x e 1

y=c +c ∫

1 0 2

-∫ a dx

x e 1

y=c y +c y ∫ dx

1 0 2 0 2

[例]今已知y =J (x)为白氏微分方程：

0 m

1 m

y``+ y`+(1- )y=0

x 2

之一解，故白氏微分方程之全解为：

x dx

y=c J (x)+c J (x) ∫

1 m 2 m 2

xJ (x)

在x=0之邻区，设m=1,2,.....,则J (x)趋近于

2 m!

故

x dx

J ∫

m 2

趋近于

m m

m m x dx 2 m! -m

2 m!x ∫ = x

2m+1

x -2m

此解在x=0时趋向无穷大。设m=0,则J (x)在x=0趋近于1，

x dx

J ∫

m 2

在x=0趋近于logx，故亦趋向无穷大。

故设m=0,1,2,......,则白氏微分方程之解在x=0不趋向无穷大仅有c J (x)

1 m

兹求白氏函数之母函数。设

x 1

(t- )

2 t

x(x,t)=e

则,

ǝz 1 1

x = (t- )xz

ǝx 2 t

ǝz 1 1

-t = (t+ )xz

ǝx 2 t

2 ǝ z 1 1 2

x = (t- ) x z

2 4 t 2

ǝx

2 2

2 ǝ z 1 1 2 1

-t = (t+ ) x z+ xz

2 4 t 2 t

ǝt

2 2

x z=x z

相加即得此函数满足之偏微分方程：

2 2

2 ǝ z ǝz 2 ǝ z ǝz

x +x +x z-t -t =0

2 2

ǝx ǝx ǝt ǝx

兹展开z(x，t)为t之幂级数：

∞ m

z(x,t)= ∑ f (x)t

m=-∞ m

第二部分傅里叶级数数字计算机AD采样电路

下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版。

例2.设函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为

-1,-π≤x<0

f(x)=

1,0≤π<x

试将函数f(x)展开成傅里叶级数.

解，函数f(x)的图形如图12-3所示，这是一个矩形波，它的傅里叶级数是

4 1 1

f(x)= [sinx+ sin3x+...+ sin(2n-1)x+...]

π 3 2n-1

4 1 1 1 1

f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]

π 3 5 7 2n-1

用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线电矩形波。

用数字电路乘法器，除法器，加法器，减法器像上面等式一样把变换的数字x，数字3，5，7连接成电路。就会形成一个计算f(x)的电路。

被物体发射后，用端口02接收反射的信号z，就会重新形成一个自变量为t的傅里叶级数z

z=a+b+c+d，

a= sint

4 1

b= sin3t

π 3

4 1

c= sin5t

π 5

4 1

d= sin7t

π 7

4 1 1 1 1

z= [sint+ sin3t+ sin5t+ sin7t+...+ sin(2n-1)t+...]

π 3 5 7 2n-1

根据泰勒展开，得

3 5 2m-1

x x m-1 x 2m

sin x=x- + -...+(-1) +o(x )

3! 5! (2m-1)!

3 5 7

x x x

sin x=x- + -

3! 5! 7!

所以,

3 5 7

4 t t t

a= (t- + + )

π 3! 5! 7!

3 5 7

4 1 27t 243t 2187t

b= (3t- + - )

π 3 3! 5! 7!

3 5 7

4 1 125t 3125t 78125t

c= (5t- + - )

π 5 3! 5! 7!

3 5 7

4 1 343t 16807t 823543t

d= (7t- + - )

π 7 3! 5! 7!

所以,

z=a+b+c+d

3 5 7

4 t t t

= (t- + + )

π 3! 5! 7!

3 5 7

4 1 27t 243t 2187t

+ (3t- + - )

π 3 3! 5! 7!

3 5 7

4 1 125t 3125t 78125t

+ (5t- + - )

π 5 3! 5! 7!

3 5 7

4 1 343t 16807t 823543t

+ (7t- + - )

π 7 3! 5! 7!

可以利用一元多次方程求根公式计算上面关于t的方程的解，

简化上式得到关于t的一元三次方程时，并求解

4 t

z≈ (t- )

π 3!

4 1 27t

+ (3t- )

π 3 3!

4 1 125t

+ (5t- )

π 5 3!

4 1 343t

+ (7t- )

π 7 3!

π t

z≈ (t- )

4 3!

1 27t

+ (3t- )

3 3!

1 125t

+ (5t- )

5 3!

1 343t

+ (7t- )

7 3!

π 496t

z≈3t-

4 3!

496t π

-3t- z=0

3! 4

248t π

-3t- z=0

3 4

3 9t 3πz

t - - =0

248 992

解上面关于t的一元三次方程,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，

说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

3 2

y +ay +by+c=0 (1)

设y=x+h,得

3 2

(x+h) +a(x+h) +b(x+h)+c=0

3 2 2 3

x +(3h+a)x +(3h +2ah+b)x+h +bh+c=0

上面方程可转化为,

x +px+q=0 (3)

其中, y=x-a/3, (2)

h=-a/3,

2 2

p=3h +b+2ah=b-a /3,

3 3

q=h +bh+c=-a /27-ab/3+c,

只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,

f(u)=u -x0u-p/3,

它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,

α+β=x0 (4)

αβ=-p/3 (5)

以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：

(α+β) +p(α+β)+q=0,

或,

3 3

α +β +(3αβ+p)(α+β)+q=0,

但由(5)得3αβ+p，故有,

3 3

α +β =-q (6)

另一方面，由(5)推得,

3 3 3

α β =-p /27 (7)

3 3

等式(6)与(7)证明了，数α 和β 是系数为复数的二次方程,

2 p

z +qz- =0 (8)

的根,

解方程(8)，我们得到：

2 3

q q p

z =- ± +

2 4 27

2 3

q q p

α= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

β= - ± + (9)

2 4 27

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,

3 3

故对方程的根(S)的根，以何者为α 何者为β 是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

即,

2 3

q q p

β= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

α= - ± + (9)

2 4 27

或,

2 3

q q p

α= - ± +

2 4 27

2 3

q q p

β= - ± + (9)

2 4 27

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

3 3

2 3 2 3

-q q p q q p

x0=α+β= + + + - - +

2 4 27 2 4 27

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。

注意：ε是1的立方根，即

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

0 1 2

推导过程可参见7.复数的方根

解方程

3 9t 3πz

t - - =0

248 992

9 3πz

p=- q=-

248 992

方程的解为：

3 3

2 3 2 3

-q q p q q p

t= + + + - - +

2 4 27 2 4 27

3 3

2 2 2 2

3πz 9π z 729 3πz 9π z 729

t= + + + - - +

1984 3968 27 1984 3968 27

利用上面的函数采集方波信号，如果计算得到的t是程线性变化的则证明方波是标准方波，反之，则说明采集得到的方波不是标准方波。把这个t和上面的x相互比较，如果两者相等，则证明发射的信号就是接收的信号，

x的函数为

4 1 1 1 1

f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]

π 3 5 7 2n-1

计算机采集得到的信号为z，t为自变量，从上面的推导得到下面的方程

3 9t 3πz

t - - =0

248 992

9 3πz

p=- q=-

248 992

解方程，得

3 3

2 2 2 2

3πz 9π z 729 3πz 9π z 729

t= + + + - - +

1984 3968 27 1984 3968 27

用数字电路表示上式

方波的傅里叶级数是

4 1

f(x)= [sinx+ sin3x]

π 3

4 1 1 1 1

f(x)= [sinx+ sin3x+ sin5x+ sin7x+...+ sin(2n-1)x+...]

π 3 5 7 2n-1

用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线电矩形波。

用数字电路表示上式

当x与w相等时，或门输出1与门输出1，采集信号状态寄存器CJXH1存储1, 将采集得到的信号t和线性信号源w相互比较，如果相等则证明信号t是线性信号, 同时说明采集得到的是标准方波

当x与t相等时，或门输出1与门输出1，采集信号状态寄存器CJXH2存储1, 将采集得到的信号t和x相互比较，如果相等则证明信号没有损失。

例3，设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为

-π,-π≤x＜0

f(x)={

x,0≤x＜π

试将其展开成傅里叶级数。

解，上面函数的傅里叶级数如下

4 2 1 1

f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)

π π 2 2

3 5

1 1 1

+(3sinx- sin2x+ sin3x- sin4x+...)

2 3 4

(-∞<x<+∞,x≠kx,k=0,±1,±2,...)

当x=2kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛与-π/2。当x=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0，图12-7给出了它的和函数的图形。

4 2 1 1

f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)

π π 2 2

3 5

用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个无线杂波。用数字电路表示上式

例4、设周期系数f(x)在其一个周期上的表达式

π+x,-π≤x＜0

f(x)={

π-x,0≤x＜π

试将其展开成傅里叶级数。

解、函数f(x)的图形如图1·2-8所示，

上面函数的傅里叶级数是

π 4 1 1

f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...) (-∞<x<+∞)

2 π 2 2

3 5

用数字电路形成上面的信号，通过计算机端口01发送出去，就会产生一个三角波。用数字电路表示上式例2.试将图12-9中周期性锯齿波展开成傅里叶级数

解：显然首先应当给出这个锯齿波的解析表达式。根据解析几何的知识，我们不难得出周期函数φ(t)在一个周期内的表达式

2At

φ(t)=

由于φ(t)在(-T/2,T/2)内是奇函数，因此只需用式(12.8.3)来计算b

4 T/2 2nπ 4 T/2 2A 2nπ

b = ∫ φ(t)sin tdt= ∫ tsin tdt

n T 0 T T 0 T T

4A 2nπ T/2 4A T/2 2nπ

= [-tcos t] + ∫ cos tdt

nπT T 0 nπT 0 T

2A n+1

= (-1) (n=1,2,3...)

nπ

所以，所求的展开式为

2A 2π 1 4π 1 6π

φ(t)= (sin t- sin -t+ sin t-...)

π T 2 T 3 T

(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)

当t=(2k+1T/2,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0.

在科技问题中，人们常将傅里叶级数用频率ω表示。这只需将ω=2π/T换入，于是上式可改写成

2A 1 1

φ(t)= (sinωt- sin2ωt+ sin3ωt-...),(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)π/ω，k=0,±1,±2,...)

π 2 3

上面锯齿波函数的傅里叶级数为

2A 2π 1 4π 1 6π

φ(t)= (sin t- sin -t+ sin t-...)

π T 2 T 3 T

(-∞<t<+∞,t≠(2k+1)T/2，k=0,±1,±2,...)

第三部分傅里叶级数

下面的资料可参见《高等数学》下册，盛祥耀主编，潘鹊屏副主编，编者黄奕佗，刑文斗，钱翼文，章平，汪瑶同，王庚生，高等教育出版社1992年出版

第七节傅里叶(Fourier)级数

在物理学及电工学等学科中经常会用到函数项级数

∞

a + ∑ (a cos nx+b sin nx)

0 n=1 n n

例1设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数，电源电动E=E(t)(图12-2)。

例1设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成的电路，其中R、L及C为常数，电源电动势E=D(t)(图12-2)。设电路中的电流为i(t)，电容两极板上的电压为u ，那么根据

回路定律，就得到一个二阶线性常系数非齐次微分方程

d u du 2

+2β c +ω u =f(t)

2 0 c

dt dt

其中

R 1 E(t)

β= ,ω = ,f(t)=

2L 0 LC LC

这就是串联电路的振荡方程。如果电源电动势E(t)非正弦变化，也就是说f(x)不是正弦函数，那么求解这个非齐次微分方程就变得十分复杂。在电学中解决这类问题的方法，是将自由项近似的表示成许多不同周期的正弦型函数的迭加，即

f(t)= ∑ A sin(kωt+φ )

k=0 k k

这样，串联电路的振荡方程的解u (t),

就化成了n+1自由项为正弦型函数的方程解uc (t)的迭加，

于是可求原方程解u (t)的近似解当n→∞，就得精确解：

u (t)= ∑ u (t)

c k=0 c

这种方法称为谐波分析法，它是将一个非正弦型的信号，分解成一系列不同频率的正弦信号的迭加，即

n n

f(t)= ∑ A sin(kωt+φ )= A + ∑ A sin(kωt+φ ) (12.7.1)

n=0 k k 0 n=1 n n

(设φ =π/2)其中，A 称为直流分量，A sin(ωt+φ )称为一次谐波（基波），

0 0 1 1

A sin(2ωt+φ )称为二次谐波，以下依次为三次谐波，四次谐波等等。

1 1

一个非正弦型的函数f(t)，为何可以展开成(12.7.1)式？原因之一是三角函数系具有正交性，由1，cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cos nx,sin nx,... 组成的函数序列叫做三角函数系，三角函数系的正交性是指：

如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘，在区间[-π,π]上做定积分，其值都为零。这实际上只需证明以下五个等式成立：

π π

∫ cos nxdx=0; ∫ sin nxdx=0;

-π -π

∫ cos mxcos nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,m≠n)

-π

∫ sin mxsin nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,m≠n)

-π

∫ sin mxcos nxdx=0;(m=1,2,3,...,n=1,2,3,...,)

-π

任何一个熟悉定积分的读者都很容易推得以上结果，这里就不证明了。

二、傅里叶级数

改写(12.7.1)式

A + ∑ A sin(kωt+φ )

0 n=1 n n

=A + ∑ (A sinφ cosnωt+A cosφ sinnωt)

0 n=1 n n n n

0 n

= + ∑ (a cosnt+b sinnt) (12.7.2)

2 n=1 n n

其中,

a =2A ,a =A sinφ ,b =A cosφ ,x=ωt

0 0 n n n n n n

与幂级数的讨论相类似，这里我们也要研究三个问题：

一是函数f(x)满足什么条件时方能展开(12.7.2)式？

二是若f(x)能展开(12.7.2)式，那么系数a 、a 、b 怎么求？

0 n n

三是展开后级数在那些点上收敛于f(x).

为了求得系数a ，a ，b 的计算公式，我们先假定

0 n n

0 n

f(x) = + ∑ (a cosnx+b sinnx) (12.7.3)

2 n=1 n n

且可逐项积分，于是有

π π 0 ∞ π π

∫ f(x)dx= ∫ dx+ ∑ [∫ a cosnxdx+ ∫ b sinnxdx]

-π -π 2 n=1 -π n -π n

因为a ,a ,b (n=1,2,3,...)均为常数，注意到三角函数系的正交性，即有

0 n n

π π 0

∫ f(x)dx= ∫ dx=πa

-π -π 2 0

所以,

1 π

a = ∫ f(x)dx

0 π -π

为了求出系数a ，我们用coskx乘级数（12.7.3），然后在逐项积分

π π 0 ∞ π π

∫ f(x)coskxdx= ∫ coskxdx+ ∑ [∫ a coskxcosnxdx+ ∫ b coskxsinnxdx]

-π -π 2 n=1 -π n -π n

由三角函数系的正交性可知，等式右端各项中，只有当k=n时，

π π 2 π 1+cosnx

∫ a coskxcosnxdx= ∫ a cos nxdx =a ∫ dx=a π

-π n -π n n -π n n

而其余各项均为零，因此

1 π

a = ∫ f(x)cosnxdx (n=1,2,3,...)

0 π -π

用类似的方法，可得到

1 π

b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)

0 π -π

注意到在求系数a 的公式中，令n=0就得到a 的表达式，

n 0

因此求系数a 、b 的公式可以归并为

n n

1 π

a = ∫ f(x)cosnxdx (n=1,2,3,...)

0 π -π

{ (12.7.4)

1 π

b = ∫ f(x)sinnxdx (n=1,2,3,...)

0 π -π

a 、b 称为傅里叶系数，由傅里叶系数组成的(12.7.2)式称为傅里叶级数。

n n

关于函数展开成傅里叶级数的条件及其收敛性问题，我们不加证明的给出如下定理：

收敛定理（狄利克雷（Dirichlet)充分条件）

设函数f(x)是周期为2π的周期函数，如果它满足条件：

在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数收敛，并且

（1）当x是f(x)的连续点时，级数收敛于f(x)；

（2）当x是f(x)的间断点时，级数收敛于

f(x-0)+f(x+0)

其中f(x-0)表示f(x)在x处的左极限，f(x+0)表示f(x)在x处的右极限。这个收敛定理说明，以2π为周期的函数f(x)，只要是在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，即可以把一个周期分为有限多个单调区间，那么按式（12.7.4）计算出傅里叶系数，得到傅里叶级数，在f(x)的连续点处收敛于函数f(x)。定理中所要求的条件，一般的初等函数与分段函数都能满足，这就保证了傅里叶级数广泛的应用性。

例2.设函数f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π)上的表达式为

-1,-π≤x<0

f(x)=

1,0≤π<x

试将函数f(x)展开成傅里叶级数

解，函数f(x)的图形如图12-3所示，这是一个矩形波，它显然满足收敛定理的条件，由式（12.7.4）

1 π

a = ∫ f(x)cosnxdx

0 π -π

1 0 1 π

= ∫ (-1)cosnxdx+ ∫ cosnxdx

π -π π 0

1 1 0 1 1 π

= [ sin nx] + [ sin nx]

π n -π π n 0

=0 (n=1,2,3,...)

因为在计算a 中n≠0，所以a 需另计算：

n 0

1 π

a = ∫ f(x)dx

0 π -π

1 0 1 π

= ∫ (-1)dx+ ∫ dx

π -π π 0

又

1 π

b = ∫ f(x)sinnxdx

n π -π

1 0 1 π

= ∫ (-1)sinnxdx+ ∫ sinnxdx

π -π π 0

1 1 0 1 1 π

= [ cos nx] + [ cos nx]

π n -π π n 0

1 n

= [1-(-1) ]

nπ

,n=1,3,5,...

nπ

0,n=2,4,6,...

根据收敛定理可知，当x≠kπ(k=0,±1,±2,...)时，傅里叶级数收敛于f(x)，即

2A 1 1

f(x)= [sinx+ sin3x+...+ sin(2n-1)x+...]

π 3 2n-1

当x=kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于

f(x-0)+f(x+0) =0

所求傅里叶级数和函数的图形如图12-4所示。细心的读者会发现这个图形在x=kπ(k=0,±1,±2,...)各点处与图12-3不同。如果将f(x)看成是矩形波，那么傅里叶级数表明，它可以用无穷多奇次谐波的去替代。在实际计算中，我们只可能取有限多个奇次谐波迭加。图12-5给出了当n=1,2,3,4时，傅里叶级数部分和逼近和函数f(x)的情况。

例3，设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π,π]上的表达式为

-π,-π≤x＜0

f(x)={

x,0≤x＜π

试将其展开成傅里叶级数。

解，因为f(x)满足收敛定理的条件（其图形见图12-6），计算傅里叶系数

1 π

a = ∫ f(x)cosnxdx

n π -π

1 0 1 π

= ∫ (-π)cosnxdx+ ∫ xcosnxdx

π -π π 0

1 0 1 π 1

=- [sin nx] + [ xsin nx] - ∫sin nxdx

n -π nπ 0 nπ

1 n

= [(-1) -1]

n π

-2

,n=1,3,5,...

n π

0,n=2,4,6,...

1 π

a = ∫ f(x)dx

0 π -π

1 0 1 π

= ∫ (-π)dx+ ∫ xdx

π -π π 0

1 π

b = ∫ f(x)sinnxdx

n π -π

1 0 1 π

= ∫ (-1)sinnxdx+ ∫ sinnxdx

π -π π 0

1 0 1 1 π 1

= [ cos nx] - [xcos nx] + ∫cos nxdx

n -π nπ n 0 nπ

1 n

= [1-2(-1) ]

,n=1,3,5,...

-1

,n=2,4,6,...

因此所求的傅里叶级数在连续点处收敛于f(x)，即

4 2 1 1

f(x)= - (cosx+ cos3x+ cos5x+...)

π π 2 2

3 5

1 3 1

+(3sinx- sin2x+ sin3x- sin4x+...)

2 3 4

(-∞<x<+∞,x≠kx,k=0,±1,±2,...)

当x=2kx(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛与-π/2。当x=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,...)时，级数收敛于0，图12-7给出了它的和函数的图形。

三、奇函数与偶函数的傅里叶级数

从例2和例3可以看出，一个函数展开成傅里叶级数的结果，可能既含有余弦项又含有正弦项（如例3），也可能仅含有正弦函数，

即系数a =0(n=0,1,2,...)(如例3)。我们还可以举出只含有余弦函数，

即系数b =0(n=1,2,3,...)的例子。展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，称为正弦级数，

只含有余弦函数或常数项的称为余弦级数。

∞

f(x)= ∑ b sin nx

n=1 n

此时傅氏系数

a =0(n0,1,2,...)

2 π

b = ∫ f(x)sin nxdx (n=1,2,3,...) (12.7.5)

n π 0

这是因为

1 π

a = ∫ f(x)cos nxdx

n π -π

中cosnx是偶函数，于是在区间(-π,π)内f(x)cosnx为奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为零（见（5.3.4）式），所以

1 π

a = ∫ f(x)cos nxdx (n=0,1,2,3,...)

n π -π

又因f(x)sin nx在区间(-π,π)内是偶函数，故有

2 π

b = ∫ f(x)sin nxdx (n=1,2,3,...)

n π 0

同理可以推出，当函数f(x)是偶函数时，其展开式为余弦级数，即

0 ∞

f(x)= + ∑ a cos nx

2 n=1 n

此时傅里叶级数为

2 π

a = ∫ f(x)cos nxdx (n=0,1,2,3,...)

n π 0

b =0 (n=1,2,3,...)

根据以上结果，在展开函数f(x)成傅里叶级数时，应当首先判断一下f(x)在(-π,π)内的奇偶性，据此选择相应的公式计算傅里叶系数，使计算尽量简化。

例4、设周期系数f(x)在其一个周期上的表达式

π+x,-π≤x＜0

f(x)={

π-x,0≤x＜π

试将其展开成傅里叶级数。

解、函数f(x)的图形如图1·2-8所示，

由图形的对称性可知f(x)是偶函数，因此我们应根据(12.7.6)式计算傅里叶系数。

2 π

a = ∫ f(x)cos nxdx

n π 0

2 π

= ∫ (π-x)cosnxdx

π 0

2 π-x π 2 π

= [ sinnx] + ∫ sinnxdx

π nπ 0 nπ 0

1 n

= [1-(-1) ]

n π

,n=1,3,5,...

n π

0,n=2,4,6,...

2 π

a = ∫ f(x)dx

0 π 0

2 π

= ∫ (π-x)dx=x

π 0

b =0 (n=1,2,3,...)

又因为f(x)处处连续，故所求的傅里叶级数收敛于f(x)，即

π 4 1 1

f(x)= + (cosx+ cos3x+ cos5x+...) (-∞<x<+∞)

2 π 2 2

3 5

习题12-7

79.证明三角函数系：

1、cosωx、sinωx、cos2ωr、sin2ωr、...cosωr、sinωx，...，在[-T/2,T/2]上具有正交性，其中T=2π/ω.

将80-87题中周期为2π的周期函数f(x)展开成傅里叶级数，其中f(x)在[-π,π]上的表达式为：

80.f(x)=x

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