下面用方框表示在算盘上玻珠后显示的各数的情况。方框外的数及符号表示这一步应做的运算，为了节省篇幅。将连加减几次改写成乘几。

例如：±374三次写作±374*3，拨算时即可用连加减，也可用空盘乘去求积。

其运算过程如下：

1076       1076         871

-807                    +375

269        1076         1246

+1076      +1076        +871

1345       2152         2117

-807                    +375

538        2152         2492

+1076      +1076        +871

1614       3228         3363

-807*2                  +375*2

0          3228         4113

+1                      -3228

1          3228         885

1          1076          295

2.异分母真分数减法

[例二]

          175     62      277    

               -       =      

         908     681     2724  

908            908          175

-681                         -62

227            908          113

+908           +908          +175

1135           1816          288

-681                         -62

454           1816           226

+908          +908           +175

1362           2724          401

-681*2                       -62*2

0              2724          277

下面的内容可参见《珠算》，赵惠敏编著，科学普及出版社，1994年出版，

第一节   开平方

乘数相同的特殊乘法叫乘方。例如：因为3*3=9，(-3)*(-3)=9，所以9的平方根是±3。珠算中的平方根一般指正的平方根。求一个数的平方根的运算叫做“开平方”，这个数叫做被开方数。开平方是乘方的逆运算。被开方数，从小数点起，即从个位起向左每二位作一节，到尽头。若剩两位数时，恰好为一节，若只剩一位时独立作一节。从小数点向右每隔二位分成一节，尾数若为二位恰好为一节，末节若只剩一位，应添一个“0”凑为一节，整数部分所分节数就是这个数的平方根的整数位数，小数部分所分节数就是这个数的平方根的小数位数。

如：803926.08913分成为7`80`39`26.08`91`30应得4位整数和3位小数。

一位数和两位数的平方根用算就可求出，一般运算时要使用“平方九九”。如下：

      2                                   2                      

    1  =01（一一01）                    5  =25（五五25）

     2                                    2                        

    2  =04（二二04）                    6  =36（六六36）                

     2                                    2                                                                                          

    3  =09（三三09）                    7  =49（七七49）          

      2                                   2                    

    4  =16（四四16）                    8  =64（八八64）                      

                                           2          

                                         9  =81（九九81）                    

三位以上的多位数的平方根，就不易用心算求得，则需要一定的算法来求出平方根。开平方

                                                        2     2       2                                                      

则是计算多位数平方根的方法。根据两数和的平方公式，即(a+b)   =a  +2ab+b  的原理，以其代表一个被开方数，a表示平方根的十位数（简称首根），b表示平方根的个位数（简称次根）。

                                                 2    

开方时，首先在被开方数中减去首根的平方，剩余2ab+b   ，再用2a即首根的两倍除以2ab,即可求出次根b，再将次根与首根两倍相乘的积，从被开方式中减去，

              2                                

开方式中仅剩b  ,最后减次根的平方，即可得到两位平方根。如：

例（1）√13`69=37

                                2        2                        

                         13`69=a   +2ab+b

                               2  

                         -900=a    

                                        2        

两倍首根=60              469=      2ab+b              

469/60试商7，减7*60     -420=     2ab

                                      2

                          49=       b

        2                             2    

减次根b                  -49=       b

                           0

所以a=3,b=7,此数是37.

例（2）√7`12`89=267。

置数                                  运算顺序                      运算结果

从算盘左起第二档布被开方数071289                                    071289

                  用九九平方，隔位商首根2，隔位减4            二    031289

                  31除4，试商次根6，减2*2*6                  二六  07289

                  减6*6                                       二六   03689  

                  368除26*2试商7，减52*7                    二六七   0049

                  减三根的平方                                 二六七

例（3）√14`45.53≈38.02（求小数二位）。

置数                                  运算顺序                      运算结果

从算盘左起第二档布被开方数1445.53                                    144553

                  用九九平方，隔位商首根3，隔位减9            三    054553

                  54除2a(即2*3)得次根8，减2*3*8              三八  06553

                      2        

                  减b    (即8*8)                               三八  00153

                  153除38*2，得四根2，减2*38*2                三八  0二001

                  减2*2                                三八  0二00096

第二节   开立方

          3     3     2      2    3                                      

用公式(a+b)   =a   +3a  b+3ab   +b  开立方，运算步骤如下：

(1)求首根：先在被开方数中减去首根a的立方。

(2)求次根：用余数到第二节第二位除3a，用商除法，等位够除，隔档商；等位不够除，挨

                                         2         3            

档商。再以ab/a试商求出次根b，并减ab与b  ，仅剩b  /3a

                               3                      3        

(3)将余数还原为b的立方，即3a*b  /3a，再减去次根的立方b ，即可得到二位数的立方根。

(4)求其余各根的求法，依此类推即可。

        3          

例（1）    91`125  =45

置数                                  运算顺序                   运算结果

从算盘左起第二档布被开方数9115                                   91125

                  心算首根4，减4*4*4=64                 四      27125

                  用余数除3a，即2712÷(3*4)              四      22600005

                 以ab/a试求次根b，即22÷4≈5           四五    2260005

                减ab与b*b,即4*5=20和5*5=25            四五    0010005

        以3a*b*b/3a，即将余数还原为次根b的立方(1*12)    四五    0000125

       减b*b*b即减5*5*5=125                            四五      

          3

例（2）      79`507 =43

置数                                  运算顺序                   运算结果

从算盘左起第四档布被开方数079507                                  079507

                  心算首根4，减4*4*4=64                 四      15507

                  1550+(3*4)                              四      1290027

                 求次根，129+40≈3减3*4，再减3*3        四三    0000027

                还原，余数为0，故乘3a仍为0             四三    0000027

                减3*3*3                                 四三    0000125

          3

例（3）     2299968=132                                                          

置数                                  运算顺序                   运算结果

从算盘左起第四档布被开方数2299988                                002299968

                  心算首根1，减001                      一      0001299968

                  用129除以3*1                          一      0043000968

            用商数43除以首根1求得次根3，减10*3减3*3   一三    004009968

                还原，400*3                               一三    000129968

                减3*3*3=27                                一三    000107968

                10296除39                                一三     002640008

用264除13，求得三根2,依次减2*1，2*3，2*2                一三二   000000008

            余数为0，故0*3a=0                           一三二   000000008

              减2*2*2=8                                  一三二

          3

例（4）    8365427=203                                                        

置数                                  运算顺序                   运算结果

从算盘左起第四档布被开方数8365427                               008365427

                  心算首根2，减2*2*2=8                    二    0000365427

                 用80除以20*3，再不出商故次根为0         二0   0000865427

                   用36542除以20*3                       二00   006090027

                用60除以20得三根3                      二0三   06090027

               减3*20，减3*3*3                           二0三   00000027

               余数为0，故还原仍为0                       二0三   00000027

                     减3*3*3=27                            二0三

          3

例（5）     30371357=312余29                                                      

置数                                  运算顺序                   运算结果

从算盘左起第五档布被开方数30371357                               030371357  

                  心算首根3，减3*3*3=27                    三    003371357

以首根的3倍，以商除法的法则整除它右边的余数到第二节第二位止，求出商数

                                                            三     037041357

          用37除以首根30，得出次根1，减30*1，减1*1*1    三一    00641357

               3*30将余数还原                             三一     000581357

          以第二节第三位为个位档减去次根的立方。          三一     600580357

               用58035除31*3=93                          三一    006240037

                求三根商2，减2*3，2*1，2*2             三一二     00000037

              还原余数，0乘以任何数均为0               三一二     00000037

              减2*2*2=8                                三一二     00000029

                          第四部分   珠算乘法除法开方乘法计算电路

下面的内容可参见《珠算教程》，梁特猷编著，湖南教育出版社1986年出版。

[例1]2×750849=1501698。

[例1]2×750849=1501698

看数读积：（下列各数中加外圈的表示不作计算，也不读这位数）

2×7=14

   最高位7的乘积，十位、个位都计算，7后是5，满5进1，14+1=15，所以乘积最高位是1，第二位是5；

2×5=（1）0

从第二位数起只计算乘积的个位数，5后是0，不进位，0+0=0. 所以第三位积是0；

2×0=00，

0后是8，满5进1，+1=1，所以第四位积是1；

2×8=（1）6，

8后是4，不满5不进，6+0=6，所以第五位积是6；

2×4=08，

4后是9，满5进1，8+1=9，所以第六位积是9；

2×9=（1）8，

9后无数，不存在进位，8+0=8，所以积的末位是8.

看数读积计算电路，该电路利用乘数和被乘数的每一位数相乘，再根据被乘数的下一位是否大于等于5判断是否需要四舍五入，最后将这鞋积加起来，就是两个数的乘积。

[例一]√66049=257

本例被开方数为五位整数，故知根为三位整数，安排根、方、实三栏档位时，根、方可各留四挡。小数第二位，则根、方需各留六档。总之，看题就可以估算出根、方、实各栏需要留的档次。

                                 根栏       方栏              实栏

置被开方数（实数）                                            66049

1，商位立商200，以商入方200     200        200              66049    

2.乘方除实200*200，自实中减      200        200              26049  

3.以商入方                        200        400              26049        

以方约实，4除26，可商50留余地

1.商位立商50，以商50入方        250        450              26049  

2.乘方除实50*45，自实数中减去    250        450              3549

3.以商入方                      250        500              3549                    

以实约实，5除35，可商7

1，商位立商7，以商7入方       257        507              3549

2.乘方除实7*507，自实数中减去  257        507  

开尽。

增乘开平方计算电路

例如，被开方数是66049，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断方根数的最高位是2。例如，如果输入数字是2，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断输出数字是200。如果实栏减去方栏等于0，计算停止。如果大于50，与门导通，商数减10，

2.凑倍简化递减奇数法

递减奇数开平方，拨算次数较多。近年来经过很多同志先后改进，采用类似累减除法的二倍、五倍累减法，从而大大缩简了拨算手续。这种方法称为凑倍递减开平方，简称凑减法。

凑减法是根据：

设：a=现根（已出现的除末位外的各位根）, b=新根（末位根）,

            2       2         2                              

由于（10a+b)   =100a  +20ab+b

而b是1至9九个自然数之一,

                 2       2       2                                                                

当b=1时，(10a+1)   =100a  +20a+1

            2       2                                      

b=2，(10a+2)   =100a  +40a+4

                   2                          

              =100a  +(20a+1)+(20a+3)

            2       2                                          

b=3，(10a+3)   =100a  +60a+9

                    2                                        

              =100a  +(20a+1)+(20a+3)+(20a+5)

......

            2       2                                        

b=5，(10a+5)   =100a   +100a+25

从以上各式可见：当a的值已经确定，在求b的时候把a的系数分化作多个20来处理，则余数每次减20a之后就只要意依次递减1起的各个奇数。这样算起来就很简便了。又由于当b=5的时候，只要减(100a+25)，而100a的盘显数字与a一致，例如，a=87，(100a+25)就是8725,可以很方便的看出来。所以，当余数自头位起够减(100a+25)时，就可以直接减(100a+25)，随后在余数最高位的前档拨置根数“五”。因此，(100a+25)又是确定b值能否为5的判别式。如果b在5以上，则先求出“五”，再递减（20a+1)、(20a+3)......，补求本位所差的那部分根数。

[例一]√68644=262.

拨算程序,                                 盘式    

自第二档起置被开方数（第一节06）,                 68644

第一档置根“二”，第一节减二的平方,       二        28644

余数减（100a+25)即225，前档置“五”,    二五      6144

余数续减20a(即50）+1，二根补“一”,      二六      1044    

余数减20a(即520)+1，三根置“一”,         二六一     523

续减20a(即520)+3，三根补“一”。           二六二

凑倍简化递减奇数法开平方计算电路

例如，被开方数是68644，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断方根数的最高位是2，

例如，如果输入数字是2，根据1，2，3，4，5，6，7，8，9，判断输出数字是200，把28644进行和16000，25000等数字比较，输出5，把28644进行和16000，25000等数字比较，输出50，根栏寄存器B，计算结果寄存器A，输出开方计算结果

                         3        3                  

[例五]898*997可看做是(10   -101)(10  -3)

                 3     3          3       3                                          

根据前述演化得10   [(10   -102)+(10   -3)-10  ]+306

                n                                                  

由于在算盘上10  只是位置标志，无须直接拨数，所以像这类题目，就变得只需把两个不足亘数相加，减最高位1，再加两补数之积，拨算非常方便了。

用加法器，乘法器，减法器表示上面的公式，就可以计算898*997，这样利用公式计算，可以达到简化计算的目的。

           2        

[例二]求517

                  2    2    2                          

   25，01，49.......5  ，1  ，7

    1  01  4     5    1    7         相邻两基数数字积的2倍      

+)     70         5    1    7         隔位两数字积的2倍

   26  72  89

     拨算程序                         盘式

第一档起拨各数字的平方数             250149

第二档起加相邻两数字积的2倍         260289

第三档起加隔位两数字积的2倍         267289

平方计算电路

例（1）√13`69=37

                                2        2                        

                         13`69=a   +2ab+b

                               2  

                         -900=a    

                                        2        

两倍首根=60              469=      2ab+b              

469/60试商7，减7*60     -420=     2ab

                                      2

                          49=       b

        2                             2    

减次根b                  -49=       b

                           0

所以a=3,b=7,此数是37.

开平方计算电路

将数字13和4，9，16，25，36，49....等数比较后，选择9，输出30，即3的平方9小于13，将60分别和1，2，3，4.。9相乘，再和469相互比较，如果前面的积小于469，后面的积大于469输出高电平，当前面两端输出的电平相同时，异或门输出低电平，当前面两端的输出相异时，输出高电平。两个输出端的后面接上或门，经过或门判断后，有高电平输出的输出端的信号从或门输出。将数字13和4，9，16，25，36，49....等数比较后，选择9，输出30，即3的平方9小于13。

        3          

例（1）    91`125  =45

置数                                  运算顺序                   运算结果

从算盘左起第二档布被开方数9115                                   91125

                  心算首根4，减4*4*4=64                 四      27125

                  用余数除3a，即2712÷(3*4)              四      22600005

                 以ab/a试求次根b，即22÷4≈5           四五    2260005

                减ab与b*b,即4*5=20和5*5=25            四五    0010005

        以3a*b*b/3a，即将余数还原为次根b的立方(1*12)    四五    0000125

       减b*b*b即减5*5*5=125                            四五      

数值大小比较电路A。

两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是负数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的负数，输出0，

两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是正数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的正数，输出正数，

如果加法器输出0，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明两数相减得到的是负数，反之，则是正数。

数值大小比较电路B

将数据-p1和-q1相互比较，如果两者相等，则停止计算，将数据-p1和数据-q1相减，如果等于0或门输出高电平，非门输出低电平，与门截止-p1,-q1不会到下一级电路，计算停止，将数据-p1和数据-q1相减，如果不等于0或门输出低电平，非门输出高电平，与门导通-p1,-q1进入到下一级电路，继续计算。

                        第五部分   分数化简

利用十八进制转换十进制数字

将一段数字划分为10等分，就是十进制计数，将一段数字划分为18等分，就是十八进制计数，古代玛雅人就采用十八进制计数，如果将十进制数转换成十八进制计数，就要给十进制数乘以18/10,

例如：

    1           18               6

          +              =      =0.6                            

    3           10              10

    1           18               9

          +              =      =0.45                            

    4           10              20

    1           18               18

          +              =      =0.36                      

    5           10              50

    1           18               3

          +              =      =0.3                      

    6           10              10

    1           18               18

          +              =      =0.2571                      

    7           10              70

同理，给分数乘以系数

    1           2            3            4           5                    

          *            *             *          *    

    10           10           10          10          10

    6           7            8            9           11          12          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

    13           14          15           16          17          18          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

      19              n                        i              

*           ............=   ∏ a     (上式中a    =        )

      10              i=1   i             i     10

可以将无理数的分数化简为有理数的分数。同理，给分数乘以系数,

    2           3            4            5                              

          *            *             *          *  

    10           10           10          10        

    6           7            8            9           11          12          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

    13           14          15           16          17          18          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

      19                      

*           =0.00504*24.13593262=0.1216451

      10          

这个系数叫做无理分数和有理数之间的商系数。任何无理分数乘以上述的系数都可以变成有理数。可以将无理数的分数化简为有理数.

例如：

      1                      

             *

      7    

    1           2            3            4           5                    

          *            *             *          *    

    10           10           10          10          10

    6           7            8            9           11          12          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

    13           14          15           16          17          18          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

      19                    

*           =0.017377871

      10        

      1                      

             *

      21    

    1           2            3            4           5                    

          *            *             *          *    

    10           10           10          10          10

    6           7            8            9           11          12          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

    13           14          15           16          17          18          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

      19                    

*           =

      10    

      1                      

=2(         ) *

      6*7  

    1           2            3            4           5                    

          *            *             *          *    

    10           10           10          10          10

    6           7            8            9           11          12          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

    13           14          15           16          17          18          

*          *            *             *          *            *    

    10           10           10          10          10         10

      19                    

*           =0.144815595

      10    

使用下面的定理可以将除法转化为加减法，在计算机中使用，就可以利用加法器和减法器实现除法运算。

定理：

    A           B-C               C

          =              =1-                        

    B           B                 B

                                1         E

               =1-          -        

                                10        D

                                1         1          G

               =1-          +         -

                                10        100       F

例如：

    2           3-1               1

          =              =1-                        

    3           3                3

                                4        

               =1-                

                                12        

                                6         2          

               =1-          +        

                                12        12      

                                1                

               =0.5+                  

                                6        

                                6         2          

               =0.5+         -        

                               24        24    

                                 1                

               =0.75-                  

                                12    

                                 23        2          

               =0.75-         +        

                                 120     120    

                                 1                

               =0.65+                  

                                60    

                                 12        8          

               =0.65+         +        

                                 1200     1200    

                                 1                

               =0.66+                  

                                150    

例如：

    5           6-5               1

          =              =1-                        

    6           6                 6  

                                6         4          

               =1-          -        

                                60        60      

                                1                

               =0.9-                  

                                15      

                                15         5        

               =0.9-         +        

                               150       150    

                                 1                

               =0.8+                  

                                30    

                                  3        2          

               =0.8+          -          

                                 300      300  

                                 1                

               =0.81+                  

                                150    

          可以将乘法转化为除以一个乘数的倒数的形式进行计算，再利用下面公式进行计算。

                                 A                

              A*B=                  

                                1/B    

                                 C              

              1/B=1-                  

                                 B    

                                  1        E        

               =1-            -          

                                 10        D  

                                  1         1           G

               =1-            +          -

                                 10        100          F

                           第六部分    一元三次方程卡丹公式

二、一元三次方程卡尔丹解法

1.三次与四次方程，

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版，

41.三次与四次方程，

说明，计算一元三次立方根的卡尔丹公式如下：

  3    2                                    

y   +ay  +by+c=0                  (1)

设y=x+h,得

     3       2                              

(x+h)  +a(x+h)  +b(x+h)+c=0

3        2     2           3                                        

x  +(3h+a)x  +(3h  +2ah+b)x+h  +bh+c=0

上面方程可转化为,

  3                                

x  +px+q=0                (3)

其中, y=x-a/3,                (2)

h=-a/3,

     2          2                            

p=3h  +b+2ah=b-a  /3,

    3        3                                    

q=h  +bh+c=-a  /27-ab/3+c,

只要求得方程(3)的根，那么我们根据(2)就可以得到方程(1)的根, 根据基本定理方程(3)有三个复数根，设x0是其中一个, 我们引入辅组未知量u来讨论多项式,

      2

f(u)=u  -x0u-p/3,

它的系数为复数，故有两个复数根α和β。而且由韦达公式，得,

α+β=x0                              (4)  

αβ=-p/3                            (5)

以根x0的表达式(4)代(3)中，我们得出：

     3                        

(α+β)  +p(α+β)+q=0,

或,

   3   3                                    

α  +β  +(3αβ+p)(α+β)+q=0,

但由(5)得3αβ+p，故有,

   3   3                                  

α  +β  =-q             (6)

另一方面，由(5)推得,

   3    3   3                        

α   β   =-p  /27       (7)

                       3    3                                    

等式(6)与(7)证明了，数α  和β  是系数为复数的二次方程,

           3                

   2      p            

z   +qz-      =0           (8)

          27

的根,

解方程(8)，我们得到：

                    2       3                                                      

      q           q       p          

z =-       ±          +      

      2            4      27              

    3          

                    2       3                                                      

         q         q       p          

α=   -      ±         +      

        2          4      27              

    3          

                    2       3                                                      

        q         q       p          

β=  -      ±         +                    (9)

        2          4      27              

注意：因α和β在等式(6)和(7)中，同时在x0的表达式(4)中，都是对称的,

                              3         3                            

故对方程的根(S)的根，以何者为α  何者为β  是没有什么分别的。这就是说α，β可以相互交换位置，得到的计算结果不变.

即,

     3          

                    2       3                                                      

         q         q       p          

β=   -      ±         +      

        2          4      27              

    3          

                    2       3                                                      

        q         q       p          

α=  -      ±         +                    (9)

        2          4      27              

或,

     3          

                    2       3                                                      

         q         q       p          

α=   -      ±         +      

        2          4      27              

    3          

                    2       3                                                      

        q         q       p          

β=  -      ±         +                    (9)

        2          4      27              

两者的计算结果是相同的, 我们得到次之卡尔丹公式，把方程(3)的根经其系数用平方根与立方根来表出：

        3                           3                      

                     2       3                    2        3                          

          q        q       p            q        q       p  

x0=α+β=       +        +         +   -      +        +  

          2        4      27            2        4       27      

因立方根在复数域中有三个值，所以(9)式给予α三个值与β三个值。

注意：ε是1的立方根，即

   3

ε  =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε  =1, ε =-1/2+i√3/2, ε =-1/2+i√3/2,

  0      1             2  

下面内容为插叙

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

但应用卡尔丹公式时，不可能取任一方根值α与任一立方根值β的组合：

对于已予的α值只能取三个β值中适合条件(5)的哪一个值。

设α1为α的三个值中的任一个。

                                       2                      

由7已经证明其他二值可以1的立方根ε与ε  乘α1来得出：

                    2                    

α2=α1ε，α3=α1ε   ，

以β1记β的三个值中由(5)式的关系对应于α的值α1的那一个值，亦即α1β1=-p/3。β的其他两个值是,

                    2      

β2=β1ε，β3=β1ε   ，

因由,

   3                

ε  =1,

              2        3                                        

α2β2=α1ε*β1ε   =α1β1ε  =α1β1=-p/3,

所以α的值α2对应于β的值β3；同理值α2对应于β2. 这样一来，方程(3)所有的根可以写为次之形状：

x1=α1+β1,

                2                  

x2=α2+β3=α1ε+β1ε  ,                       (10)

            2                    

x3=α3+β2=α1ε  +β1ε,

上面方程的根为,

方根来表出：

        3                           3              

                     2       3                    2        3                          

          -q        q       p            q        q       p  

x   =       +        +         +   -      -        +  

    1      2        4      27            2        4       27      

        3                           3              

                     2       3                    2        3                          

          -q        q       p     2     q        q       p  

x  =ε       +        +      +ε   -      -        +  

    2      2        4      27           2        4      27      

        3                           3              

                     2       3                    2        3                          

       2   -q        q       p          q        q       p  

x  =ε       +        +      +ε   -      -        +  

    3      2        4      27           2        4      27      

其中,

  3

ε =1,

因为1开立方在复数平面内有3个根。分别是

ε  =1, ε  =-1/2+i√3/2, ε  =-1/2+i√3/2,

  0      1               2

推导过程可参见7.复数的方根,

2.实系数三次方程

我们来看一下，关于实系数不完全三次方程,

   3                            

x   +px+q=0              (11)

的根，可以说些什么。在这一情形，我们发现在卡尔丹公式中平方根下面的表示式,                                        

                    2       3                                                      

                   q       p          

         +      

                   4      27              

有重要作用。再者，这一表示式与方程(11)左边的判别式反号，在以后的叙述中我们将用判别式的符号来分类。事实上，应用38的(24)式于我们现在的情形(亦即在这一式子中取a=0,b=p,c=q)，我们得到,

                     2       3                                                      

     3     2        q       p          

D=-4p  -27q  =-108(      +      )

                    4      27    

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

38.结式、未知量的消去法、判别式,

                        3   2                      

例：求出三次多项式f(x)=x  +ax  +bx+c的判别式。由(23)

     3      s       s        

              1       2  

D=   s      s       s

       2      2        3

     s      s        s            

       2       3        4      

由上节我们知道,

s   =σ   =-a

  1    1  

       2       2                                                                        

s   =σ   -σ  =a  -2b

  2    1   2                                    

       2      2        3                                          

s   =σ   -σ  σ  +3σ  =-a  +3ab-3c  

  3    1   2       3

应用牛顿公式，由σ  =0，我们求出,

                  4                

       4   2                2  4   2         2                        

s   =σ  -4σ  σ  +4σ  σ  +2σ  =a  -4a  b-4ac+2b

  4    1   1   2   1   2    2                            

故,

                     3  2      2   2  2    3    3                                                

D=3s  s  +2s  s  s  -s  -s  s  -3s  =a  b  -4b  -4a  c+18abc-27c    (24)

     2  4   1  2  3  2   1 4    3                                                                    

所以,

    2    2     3     3                                  

D=a   *0   -4*0   -4a   c+18a*0*c-27c

      3                  

D=-4a   c-27c

因为, a=0,b=p,c=q,

所以,

      3                  

D=-4a   c-27c

上面的插叙结束，接上面

(1)设setD<0.

此时在卡尔丹公式的平方根下面是一个正实数，所以每一个立方根下面都是实数。但是实数的立方根有一个是实数值，有两个是共轭复数值。设α1是α的实数值，那么由p之为一实数，知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。知经(5)式的关系对应于α1的β的值β1亦必为一实数。这样一来，方程(11)的根x1=α1+β1为一实数,

                               2                          

把7中对于1的立方根ε=ε1与ε  =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，

下面内容为插叙,

推导过程可参见А.Г.УРОШ库洛什著高等代数教程1953年版,

7.复数的方根,

单位根, 特别重要的情形是求数1的n次根。这个根有n个值，所有这些值，我们叫n次单位根，由等式1=cos0+isin0与公式(4)，知其为,

     2kπ        2kπ                

1=cos      +isin          ;       k=0,1,...,n-1       (1)

       n        n              

由(6)式，知如n为偶数，则在k=0与n/2时得n次单位值的实值，如n为奇数，则仅在k=0时始能得出实值。在复平面上，n次单位根排列在单位圆的圆周上而且把圆周分为n个等分；其中有一个分点是数1. 因此，n次单位根中那些不是实数的值的位置是对于对称的，亦即两两共轭, 二次单位根有两个值1与-1，四次单位根有四个值1，-1，i与-i。记住三次单位根的值，以后很有用。由(6)，这些数是,

     2kπ        2kπ                

cos      +isin          ;

       n        n    

其中k=0,1,2,亦即，除1以外，是共轭数

         2π       2π      1      √3    

ε1=cos      +isin      =-      +i            

         n        n        2       2        

                                         }           (7)      

         4π       4π      1      √3    

ε2=cos      +isin      =-      -i            

         n        n        2       2        

复数α的n次根的所有值，都可以从它的某一个值乘上所有的n次单位根来得出，例如设β为数α的n次根的某一个值，亦即,

   n        

β   =α,

而ε为任一n次单位根，亦即

   n

ε   =1,

则,

    n    n   n                    

(βε)   =β   ε   =α

亦即βε为,

  n

α   的一个值

乘β以n次单位根的每一个值，我们得出α的n次方根的n个不同的值，亦即这个根所有的值。

例：(1)数-8的立方根有一个值-2. 由(7)，知其它两个根为, -2ε1=1-i√3和-2ε2=1+i√3，

    4

(2)   81    有四个值：3，-3，3i，-3i

上面的插叙结束，接上面，

                              2                    

把7中对于1的立方根ε=ε1与ε  =ε2的表示式(7)代入本节中的(10)式，

我们求出其他两个根，

             2            

   x2=α1ε+β1ε  =α1(-1/2+i√3/2)+β1(-1/2-i√3/2) =-(α1+β1)/2+i√3(α1-β1)/2

       2                                    

x3=α1ε  +β1ε=α1(-1/2-i√3/2)+β1(-1/2+i√3/2) =-(α1+β1)/2-i√3(α1-β1)/2

由α1与β1之为实数，知这两个根是共轭复数，而且虚数部分不为零，因为α1≠β1——这两个数是两个不同的数的平方根。这样一来，如果D<0,那么方程(11)有一个实数根与两个共轭复数根。

(2)设D=0.在这一情形，

    3

α=   -q/2  ，

    3

β=   -q/2  ，

设α1为α的实数值；那么由(5)知β1亦为一实数，而且α1=β1. 在(10)式中以α1代β1且应用显明的等式ε+ε     =-1，我们得出：

x1=2α1,

         2          

x2=α1(ε+ε  )=-α1,

       2              

x3=α1(ε  +ε)=-α1,

这样一来，如果D=0，那么方程(11)所有的根都是实数，而且有两个彼此相等。这个重根的出现与其判别式等于零是完全一致的。

(3)最后，设D>0。在这一情形，卡尔丹公式中平方根号下面是一个负实数，所以在立方根号下面是互相共轭的复数。这样一来，所有α与β的值现在都是复数。设，

α0=u+iv，为α的任一个值，而β0为由(5)得出的对应于α0的β值。那么

                             2   2            

β0=-p/(3α)=-p/3(u+iv)=-p(u-iv)/3(u  +v  )

      2      2                              

数α0   与β0   是实系数二次方程(8)的复数根，故必须共轭。但已验证数，

    3        3                3  

α0   =(u+iv)           与(u-iv)    彼此共轭，故，

           3       3                              

       β0   =(u-iv)  ，

             2     2                              

因而实数-p/3(u   +v   )的立方根等于1，这就说明它自己等于1. 这就证明了β0=u-iv,所以α0+β0是一个实数。我们得出了方程(11)的所有根都是实数根，而且由判别式D之不为零，这些根里面没有重根。这样一来，如果D>0，那么方程(11)有三个不同的实数根。刚才的讨论说明在最后的这个情形，卡尔丹公式的实用价值不很大。事实上，随则在D>0时，实系数方程(11)的根全为实数，但是用卡尔丹公式来求出它们要对复数开立方，我们只能化这些数为三角式来做。所以用根式写出的方程的根失去实用价值。我们可以应用超出本书范围以外的方法来证明，方程(11)的根在所讨论的情形，一般是没有办法可经其系数利用实数的方根来表出。在这一情形所解的方程(11)成为不可约的(不要和不可约多项式相混淆!)

例。1.解方程，

  3    2                  

y   +3y  -3y-14=0

设 y=x-a/3，y=x-1，代入y=x-1化这一方程为，

  3                

x  -6x-9=0                    (12)

此处p=-6,q=-9,故,

        2     3                  

      q     p       49    

         +       =      >0

      4     27       4    

亦即方程(12)有一个实数根和两个共轭复数根。由(9)

   3                      

      9     7      3  

α=      +       =   8  

      2     2          

   3                      

      9     7      3  

β=      -       =   1  

      2     2          

故α1=2，β1=1，亦即x1=3。其它两个根可从(10)求出：                    

      3     √3    

x2=-     +i      

      2     2          

      3     √3    

x3=-      -i      

      2     2      

故知，所予方程的根为数,

y1   =2,

      5     √3    

y2=-     +i      

      2     2          

      5     √3    

y3=-      -i      

      2     2

2.解方程,

   3

x   -12x+16=0

  此处p=-12,q=16,故,

          2     3                  

      q     p          

         +       =0

      4     27        

因此:                      

    3  

α=   -8  

亦即α1=-2，所以, x1=4,x2=x3=2,

3.解方程.

  3                    

x   -19x+30=0

此处p=-19,q=30,故

         2     3                  

      q     p       784    

         +       =-      <0

      4     27       27    

这样一来，如果限于实数范围，卡尔丹公式对于这一方程不能应用，即使它的根是实数2，3，与-5,

3. 环的定义：

定义了下列三种运算（演算）的集合叫做环，

加法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的和：c=a+b

乘法运算：对于任意两元素a和b，有元素d与它们对应，d叫做a,b的积, d=ab,

减法运算：对于任意两元素a和b，有元素e与它们对应，e叫做a,b的差, e=a-b,

加法与乘法运算，由下列性质刻画出来,

加法公理,

1.结合公理：对于任何三元素a,b和c；必有

(a+b )+c=a+(b+c)

2.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,

a+b=b+a,

3.逆运算公理(对于加法):

对于任何两个元素a和b存在唯一的元素，满足条件,

a+x=b,

元素x称为元素b和a的差，记作

乘法公理

4.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

(ab)c=a(bc),

5.交换公理：对于任何两元素a和b；必有,

ab=ba,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

(a+b)c=ac+bc,

注意不满足交换律的环成为不易环，反之，满足交换律的环成为可易环,

减法公理,

7.结合公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

b+(a-c)=(b+a)-c,

6.分配公理：对于任何三元素a，b和c；必有,

bc+(a-b)c=ac,

b+(a-b)=a,

(a-b)c=ac-bc,

环的定义：

定义了下列1种运算（演算）的环叫做域，

除法运算：对于集合中的任意两元素a和b，有元素c与它们对应，c叫做a,b的商：

c=a/b,

称环P为域，如至少含有一个不为零的元素，且除开除数为零的情形外，对于其他情形，除法在它里面可以施行而且是唯一确定的，亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。亦即对于P中任二元素a,b，当b不为零时，在P中有元素q存在，适合等式bq=a,而且是唯一的。元素q称为元素a与b之商且记之以符号q=a/b, 注意：域中除法的唯一性，有如在环的定义里面假设有减法的唯一性，事实上不难利用在域或环的对应定义中其它一些条件来证明。