按照珠算口诀进行计算的数字计算机是一种按照珠算口诀进行逻辑判断，并安排加法器，乘法器，除法器，减法器的数字计算机。它用LED灯显示计算结果，一个LED灯和算盘上面的一个珠子对应，算盘上出现几个珠子，就会显示LED灯。

从键盘输入的计算程序，存储在磁带上面，经过数字运算符号判断电路以后，进入相应的计算电路。例如，输入程序中出现+符号，计算机经过与门判断后进入加法计算电路。例如，输入程序中出现*符号，计算机经过与门判断后进入乘法计算电路。

从键盘输入的计算程序，存储在磁带上面，经过个位数十位数百位数判断电路以后，进入相应的计算电路。例如，输入程序中出现85，计算机经过与门判断后进入十位数计算电路。例如，输入程序中出现5，计算机经过与门判断后进入个位数计算电路。

当相加，相乘的两个数得到的和或积大于十需要进位，改变口诀时，进位判断电路进行判断选择。

电路如下图所示：

键盘输入的程序按每行保存在磁带中，程序语句判断电路根据键盘输入的程序的关键字判断电路执行相应的操作，例如输入2*3，电路执行乘法操作，程序语句判断控制电路根据键盘输入的程序的关键字控制电路的工作，例如输入for，电路将上面计算电路执行多次。

它的相关资料下载网址为：

链接:https://pan.baidu.com/s/1eVtZGDNd_W20PDJ_Z159aA?pwd=9239

提取码:9239

链接:https://pan.baidu.com/s/17UhzYA1T8evXcWSos0jlJg?pwd=t9j5

提取码:t9j5

https://www.aliyundrive.com/s/ufNEQ2TzBe4

https://115.com/s/sw6pvxe33u5?password=odd4#

访问码：odd4

微云文件分享:珠算计算机下载地址:https://share.weiyun.com/Bv1F2FUy

https://kdocs.cn/join/ge5wqfb?f=101

该计算器首先通过晶振产生32768HZ的谐振方波信号，再经过分频电路将这个方波信号的频率降低为100HZ,，即周期为0.01秒，再将这个100HZ的信号接入到按键的公共端，按键共有60个，它们的一端接到一起，另外一端分别接到倍频器上。相当于这些按键并联在一起，当某个按键被按下时，100HZ的信号就会接入到倍频器上，经过倍频后，频率变为1HZ，

为什么按键上面的频率是100HZ，这是因为100HZ的频率，周期是1毫秒，通常使用者按下按键的时间在1毫秒左右，所以，只有这个频率的信号才会在按下按键时输入到后级电路中。键值计算电路由十进制转二进制电路组成，当有数字键按下时，对应的数字按键输出端输出对应的数值。数值按键的输出端接上或门，或门两两相接，最后输出一个或门，当有任何计算符号按键按下时，或门输出高电平，或门后面接上计数器，计数器记录按键按下的次数，当有按键按下时，计数器将对应的次数输入到加法器，加法器给键值乘以10，100，1000，等倍数。当连续按2次按键时，需要用乘法器给键值乘以10，连续按下3次按键时，需要用乘法器给键值乘以100，依次类推。所有数值按键的输出端连接到一起，输出到计算符号电路，进行计算。计算符号编码电路产生对应计算符号的编码，输送给计算符号按键电路。用计算符号按键输入计算符号+-×÷,cos,sin,ln,log,等，

当RS触发器的输入端R,S都是1时，触发器保持输出端没有变化。利用这个特点，当按键输入高电平1时，电路输出高电平1给存储器，当按键断开输入低电平0时，RS触发器仍然给存储器输入1，当清零键按下时，RS触发器的S端输入0，触发器给存储器输入0，存储器清零。

当有按键按下时RS触发器Q输出1，   Q   输出0，按下清零键以后，RS触发器Q端输出0， Q  端输出0

按键编码器产生二进制编码，每个编码对应一个按键。

当数字键1，按下时，这个与门输出0000001给后面计算电路，所有按键存储器后面两两之间接上或门，或门后面再接上或门，最后接上计数器，当按键按下时，计数器变为1，对应的存储器输出对应键值。当按键按下第二次时，计数器输出2，输出两位数字，当按键按下第三次时，计数器输出3，输出三位数字。

经过两个异或门和一个或门以后输出高电平111111111，这使后面的与门输出按键的数值到寄存器1，

当开始输入时，按清零键，计算机按键输入为0.此时，开始输入字符，将字符输入到寄存器1，

按键输入的程序存储在磁带A上面，超强磁性磁带的基材由50%醋酸酯DAC，50%醋酸酯TAC构成，超强磁性磁带的磁性粉末粘合剂有1%氯乙烯，1%醋酸乙烯共聚体，1%苯乙烯-丁二烯共聚体，1%硝化纤维素。1%纤维素，1%丁腈橡胶，1%丙烯酸酯橡胶，1%无定形聚酯，1%氨酯橡胶，1%聚氨基甲酸乙酯树脂，环氧树脂，密胺树脂，1%醋酸乙烯，1%丙烯酸酯丁基系的软质树脂，超强磁性磁带的磁性粉末分散剂由10ml乙醇，20g尿素，10ml双氧水，10g蔗糖，20g聚乙二醇4000，油酸钾皂试剂20g，黄色色素10g,司盘80试剂10ml，氧化铝10g，氨水50g，大豆油10g，α-烯基磺酸钠5g,十二烷基苯磺酸钠5g,烯丙基磺酸钠5g,二甲苯磺酸钠5g，椰子油脂肪酸渗透二乙醇酰胺6501日化，1%卵磷脂组成，磁性粉末稳定剂有对氯乙烯系粘合剂，使用硬脂酸钡等金属无机盐。磁性粉末防带静电剂是在磁性层内渗入炭黑或石墨等固体导电粉末。超强磁性磁带的磁性粉由二氧化铬，三氧化二铁，铬化铁，氧化镍，氧化钴，氧化钇，镝，二氧化锰。把磁性粉末，粘合剂，增塑剂，稳定剂，分散剂，加入水中，使各个磁性粉末相互溶解到水里，再球磨机混合均匀，最后用刮片涂覆到基材上面。

注意：收音机磁带使用涂着四氧化三铁的硝酸纤维素条，铁芯（铁氧体/羟基铁芯），0.32-0.45mm变压器钢片，线圈（0.08mm漆包线1200-1500匝），放音头间隙0.02mm，工作间隙0.5mm，磷铜萡/黄铜箔，

磁带录音机电路如下：

按键电路如下：

例如，键盘输入258+65，计算机经过判断进入加法计算电路，再根据每位数字按照珠算口诀的逻辑进行计算，最后显示出来。

第一部分  珠算计算机计算电路

下面的资料可参见《珠算》，人民教育出版社1965年出版。

一算盘的认识，记数法和拨珠法。算盘图：

算盘上每一档（或叫杆）代表一个数位。我们可以任意选定一档作个位，在对准这一档的梁上作个记号。从这一档起向左数，就是十位、百位、千位......

算珠都靠框，表示算盘上没有数。记数的时候要拨珠靠梁。一个下珠表示1个单位，一个上珠表示5个单位。在个位上拨一个下珠靠梁就是1，拨两个下珠靠梁就是2... 拨一个上珠靠梁就是5(5通常用一个上珠靠梁来表示，不用五个下珠靠梁来表示），拨一个上珠和一个下珠靠梁就是6，拨一个上珠和两个下珠靠梁就是7...... 下图所表示的就是从1到9这九个数。

同样在十位、百位、千位上拨珠靠梁就分别表示几十、几百、几千.....例如：

用发光二极管表示算盘的珠子和小数点记号，这样组成的LED显示器显示的数字就可以表示算盘珠子代表的数字。当珠子移动时，发光二极管就会发光，如下图所示、

例1，123+456=579

加6，六上六，加5十，五上五，加4百，四下五去一。

用算盘计算两个数的加法，是将加数A的个位，十位，百位等分别和加数B的个位，十位，百位，经过判断后利用加法口诀进行相加，最后再将这些数加到一起，经过或门的判断，输出高电平，例如输入数字5，与门导通，输出代表进位的二进制代码，或门导通，输出代表进位的代码。

例如，当7+7时，就是电路就要选择七上二去五进一，最后输出计算结果14，到显示译码器。

例2，585-668=917。

减8，八退一还二，减5十，六去六，减6百，六退一还四。

用算盘计算两个数的减法，是将减数A的个位，十位，百位等分别和被减数B的个位，十位，百位，经过判断后利用减法口诀进行相减，最后再将这些数加到一起，例如，当13-5时，就是电路就要选择五退一还五，最后输出计算结果8，到显示译码器。

例1，8×56=448。

改作四十，五八四十，加四十八，六八四十八，

例如，当3×4时，就是电路就要选择三四一十二，最后输出计算结果12，到显示译码器。译码器将数值变成LED发光二极管的驱动电平，使代表算盘数值的LED等发光。用算盘计算乘法，是将乘数拆解成个位，十位，百位等分别和被乘数的个位百位等相乘，再将得到的数相加。

例1，308÷2=154

注意：被除数中间的0，可以跳过去不除。逢二进一，二一添作五，逢八进四。

例1，68÷3=23Example1，68÷3=23

三三得九，用除数（3）去除被除数十位数（6），商2.，除数（3）和商（2）相乘得6，从北除数里减去，去六，用除数（3）去除被除数个位数（9）商3. 除数（3）和商数（3）相乘得9，从被除数里减去。去九。

商除法计算电路

第二部分  珠算

下面的资料可参见《珠算》，人民教育出版社1965年出版。

一算盘的认识，记数法和拨珠法。算盘图：

算盘上每一档（或叫杆）代表一个数位。我们可以任意选定一档作个位，在对准这一档的梁上作个记号。从这一档起向左数，就是十位、百位、千位......

算珠都靠框，表示算盘上没有数。记数的时候要拨珠靠梁。一个下珠表示1个单位，一个上珠表示5个单位。在个位上拨一个下珠靠梁就是1，拨两个下珠靠梁就是2... 拨一个上珠靠梁就是5(5通常用一个上珠靠梁来表示，不用五个下珠靠梁来表示），拨一个上珠和一个下珠靠梁就是6，拨一个上珠和两个下珠靠梁就是7...... 下图所表示的就是从1到9这九个数。

同样在十位、百位、千位上拨珠靠梁就分别表示几十、几百、几千.....例如：

二、整数加法

作珠算加法可以按照口诀拨珠。加法口诀一共有26句，分成下面的四种类型。

（1）“上几“的口诀。这类口诀，一共9句。

一上一，二上二，三上三，四上四，五上五，六上六，七上七，八上八，九上九，

口诀里的头一个数字是要加上的数，“上几”说明怎样拨珠。

例如：

1+1，一上一，5+5，五上五，6+6，六上六

注：靠梁的黑柱表示原有的珠，白珠表示新拨的珠。两个数相加，和不满10，要加上的数能够直接拨在本档上，不需要动算盘上原有的珠的，用“上几”的口诀。

(2)“下五去几”的口诀。这类口诀一共有4句。

一下五去四, 二下五去三，三下五去二，四下五去一，口诀里头的一个数字是要加上的数，“下五去几”说明怎样拨珠。

例如：

4+1，一下五去四,,1+5，二下五去三,1+5，四下五去一

两个数相加，和不满10，相加后本档上的下珠满了5，需要拨下一个上珠，同时拨去几个下珠的，用“下五去几”的口诀。用珠算作加法，要按照数位从高位加起。

例1，23+456=579。

121，加4百，四下五去一，加5十，五上五，加6，六上六。

练习题：5678+4321,4444+1234.12345+54321，4321+5678,4444+4321,54321+1234。

(3)“去几进一”的口诀。这类口诀一共有9句。

一去九进一，二去八进一，三去七进一，四去六进一，五去五进一，六去四进一，七去三进一，八去二进一，九去一进一。

口诀里的头一个数字是要加上的数，“去几进一”说明怎样拨珠。

例如：

9+1，一去九进一，7+3，三去七进一，5+5，五去五进一，4+6，六去四进一。

两个数相加，和满10，需要从本档去几与要加上的数凑成10，进到前一位，而且要去的数能够直接从本档上拨去的，用“去几进一”的口诀。

(4)“上几去五进一”的口诀。这类口诀一共有4句。

六上一去五进一，七上二去五进一，八上三去五进一，九上四去五进一，口诀里的头一个数字是要加上的数，“上几去五进一”说明怎样拨珠。

例如：

5+6，六上一去五进一，7+7，七上二去五进一，6+8，八上三去五进一。

两个数相加，和满10，需要从本档去几与要加上的数凑成10，进到前一位，要去的数不能够直接从本档上拨去，必须在本档先拨上几个下珠，同时拨去一个上珠的，用“上几去五进一”的口诀。

例2,7755+3467=11222。

7755，加3千，三去七进一，加4百，四去六进一，加6十，六上一去五进一，加7，七上二去五进一。

例3，595+4005+800=5400。

595，加4千，四上四，加5，五去五进一，一去九进一，加8百，八上三去五进一，一下五去四。

练习题：99999+12345,5555+6789,56789+54321,76543+56789。

为了便于记忆，现在把上述四类口诀，列成一个总表。

“上几的”的口诀

一上一，二上二，三上三，四上四，五上五，六上六，七上七，八上八，九上九，

“下五去几”的口诀

一下五去四, 二下五去三，三下五去二，四下五去一，

“去几进一”的口诀

一去九进一，二去八进一，三去七进一，四去六进一，五去五进一，六去四进一，七去三进一，八去二进一，九去一进一。

“上几去五进一”的口诀

六上一去五进一，七上二去五进一，八上三去五进一，九上四去五进一，口诀里的头一个数字是要加上的数，“上几去五进一”

上表横着看，第一行是加1的口诀，第2行是加2的口诀......除加5只有两句口诀除外，其余都有三句口诀。在一个数的上面加上几，首先的判断用那句口诀。例如，在一个数的上面加2，首先得判断用“二上二”，“二下五去三”，还是“二去八进一”。如果能够按照加1，加2......的顺序，把口诀背得很熟，判断起来就比较方便。

三，整数减法3。

作珠算减法可以按照口诀拨珠。减法口诀一共有22句，分成下面的四种类型。

（1）“去几”的口诀。这类口诀一共有9句。

一去一，二去二，三去三，四去四，五去五，六去六，七去七，八去八，九去九，

口诀里头的头一个数字是要减去的数，“去几”说明怎样拨珠。

例如：

1-1，一去一，7-5，五去五，8-6，六去六。

在作减法的时候，本档下珠够减，上珠也够减的，用“去几”的口诀。

（2）“上几去五”的口诀。这类口诀一共有4句。

一上四去五，二上三去五，三上二去五，四上一去五。

口诀里的头一个数字是要减去的数，“上几去五”说明怎样拨珠。

例如：

5-1，一上四去五，7-4，四上一去五，6-3，三上二去五。

在作减法的时候，本档下珠不够减，需要拨上几个下珠，同时拨去一个上珠的，用“上几去五”的口诀。用珠算作减法，要按照数位从高位减起。

例1,5876-2530=3346。

5876，减2千，二上三去五，减5百，五去五，减3十，三上二去五。

练习题2468-1357，5555-4321，678-1234，9999-24689。

(3)"退一还几“的口诀。

这类口诀一共有9句。

一退一还九，二退一还八，三退一还七，四退一还六，五退一还五，六退一还四，七退一还三，八退一还二，九退一还一。

口诀里的头一个数字是要减去的数，“退一还几”说明怎样拨珠。

例如：

10-1，一退一还九，13-5，五退一还五，15-6，六退一还四。

在作减法的时候，本位不够减，需要从上位退1（就是本位上的10），减去减数的，用“退一还几”的口诀。

例2，585-668=917。

1585，减6百，六退一还四，减5十，六去六，减8，八退一还二。

练习题：1000010000-123456789，111011110-987654321.

为了便于记忆，现在把上述三类口诀，列成一个总表。

（1）“去几”的口诀。

一去一，二去二，三去三，四去四，五去五，六去六，七去七，八去八，九去九，

（2）“上几去五”的口诀。

一上四去五，二上三去五，三上二去五，四上一去五。

(3)"退一还几“的口诀。

一退一还九，二退一还八，三退一还七，四退一还六，五退一还五，六退一还四，七退一还三，八退一还二，九退一还一。

把上表横着看，第1行是减1的口诀，第2行是减2的口诀......。减1到减4，都有三句口诀，减5到减9都有两句口诀。减1到减4，都有三句口诀，减5到减9都有两句口诀。从一个数里减去几，首先得判断用那句口诀。例如，从一个数里减去2，首先得判断用“二去二”，“二上三去五”，还是“二退一还八”。如果能够按照减1、减2......的顺序，把口诀背得很熟，判断起来就比较方便。

例3，8520-2040-735=5745。

（1）先从8520里减去2040。

8520，减2千，二去二，减4十，四退一还六，一上四去五。

（2）再从6480里减去735。

减7百，七退一还三，(三下五去二)，减3十，三去三，减5，五退一还五，一上四去五。

四，整数乘法

珠算乘法里的口诀和笔算里的完全相同，一共有45句，通常叫“小九九”。同时还有大九九乘法表。就是11,12,13,14,15,16,17，18,19相互乘的口诀。

1.乘数是一位数的乘法。

在乘以前，先要定好积的个位。乘数是一位数，就从被乘数的个位起，向右数一位，定为积的个位。乘数是一位数，乘的时候，用乘数从右到左依次去乘被乘数的每一位。每一次乘得的结果不满十的，要把本位上的数拨去，同时把乘得的结果拨在本位的右边一位上。

例如3×2得6，打法见图一。乘得的结果是整十的，要就本位上的数改记。

例如5×2得10，打法见图二。

乘得的结果是几十几的，要把几十改记在本位上，把几加在本位的右边一位上。

例如7×2得14，打法见图三。

二三得六，1，去三，2，加六，二五一十，改作一十。二七十四，1，改作一，2，加四。

例1，358×7=2506。

七八五十六，1，改作五，2，加六。五七三十五，三七二十一。

例2，8050×8=64400。

注意：被乘数里边有0的可以跳过去不乘，写得数的时候，不要把积里的0漏掉。

2.乘数是两位数的乘法。

在乘以前，先要定好积的个位。乘数是两位数，就从被乘数的个位起，向右两位，定为积的个位。乘数是两位数，乘的时候，先用乘数的每一位去乘被乘数的个位，再用乘数的每一位去乘被乘数的十位，然后去乘百位...。用乘数去乘被乘数的某一位，要先用乘数的第二位（从左边数起）去乘，再用第一位去乘。用乘数第二位去乘被乘数的某一位，乘得的结果不满十的，拨在本位的右边第二位；满十的，就把十位上的数拨在本位的右边第一位。用乘数的第一位去乘被乘数的某一位，乘得的结果不满十的，把本位上的数拨去，同时把乘得的结果拨在本位的右边第一位；满十的，就把十位上的数记在本位上。

例1，8×56=448。

六八四十八，加四十八，五八四十，改作四十。

例2，105×18=1890。

五八四十，一五得五，一八得八，一五得一。

3.乘数是三位数以上的乘法。

在乘以前，先要定好积的个位。乘数是几位数，就从被乘数的个位向右数几位，定为积的个位。乘数是三位数以上的数，乘的时候，先用乘数的每一位去乘被乘数的个位，再用乘数的每一位去乘被乘数的十位，然后去乘百位......。用乘数去乘被乘数的某一位，要先用乘数的第二位（从左边数起）去乘，再用第三位去乘，再用第四位去乘......最后才用第一位去乘。上面讲的方法叫“留头乘”。用”留头乘“计算多位数乘法，乘数的每一位去乘被乘数的某一位，乘的顺序和每一次乘得的积拨在什么位置，可以用下图来表示：

1，用乘数第二位数乘得的积，2.用乘数第三位数乘得的积，3.用乘数第四位数乘得的积，最后用乘数第一位数乘得的积。

例1，423×542=229266。

三四十二，二三得六，三五十五，二四得八，二二得四，二五一十，四四十六，二四得八，四五二十。

例2，850×240=204000。

注意：乘数末尾的0，在定积的个位的时候，不要把它漏掉，但是在计算的时候，可以不去管它。（乘得的积）。

例3，41×2005=82205Example 3，41 × 2005=82205。

一五得五，一二得二，四五二十，二四得八，注意：乘数中间的0，可以跳过去不乘，但要注意乘数里跳过了几个0，拨珠的时候也要跳过几位。

4.底珠和顶珠的应用。

在乘的过程中，当一档上的数满十，又不能向它左边一档上进位的时候，要用到底珠、顶珠。当一档上的数超过十五，又不能向它左边一档上进位的时候，要用到“悬珠”。悬珠一珠代表”十“。例如在计算86×68的过程中，就要用到底珠，如图一。在计算98×79的过程中，就要用到顶珠，如图二。在计算299×898的过程中，就要用到悬珠，如图三。

八八六十四，（要用底珠），九九八十一，（要用顶珠），九九八十一，（要用悬珠）。

练习题：1.999×999，99,9×9999（得数分别是998001,99980001，平常叫“孤雁出群”。）

2.123456789×99计算多位乘法，遇到被乘数的某一位上是1、2、3的时候，就不要再用一般的方法去乘，可以用加法来代替乘法。

例，21×345=7245。

一退三四五，去一，加三四五，一退三四五，去一，加三四五，一退三四五，去一，加三四五。计算多位数乘法时，使用这种算法，能使计算简便迅速。

五，整数除法。

珠算除法有“归除法”和“商除法”两种。“归除法”利用归除口诀来计算，“商除法”采用笔算里的“试商”方法。在这一单元里讲“归除法”，在本书的附录里讲“商除法”。珠算除法要把除数拨在左边，被除数拨在右边，除数和被除数中间要隔开两、三档，以便于把除得的商打在哪里。

1.除法是一位数的除法。

在除以前，先要定好商的个位。除数是一位数，从被除数的个位起，向左数一位，定为商的个位。除数是一位数，除的时候，用除数从左到右依次去除被除数的每一位。除数是一位数的除法，在归除法里叫做“归”，除数是1的叫做“一归”，除数是2的叫做“二归”，除数是3的叫做“三归”......。

(1)用2除（二归），二归的口诀，一共有5句。

二一添作五，逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四。“二一添作五”这句口诀里的第一个数字“二”表示除数是2，第二个数字“一”表示被除数是10，末一个数字“五”表示商是5。用2除10，商5.在算盘上的打法是，把5打在被除数的十位上，同时把十位上原有的一株拨去。“逢二进一”这句口诀里的第一个数字“二”表示被除数是20，第二个数字“一”表示商是10，用2除20，商10. 在算盘上的打法是，先把被除数十位上原有的二珠拨去，再在它的左边一位上打上“1”（表示商10）。“逢四进二”......三句口诀的道理和“逢二进一”类似。

二一添作五，改作五，逢二进一，2，加二，1，去二。

例1，308÷2=154。

逢二进一，二一添作五，逢八进四。

注意：被除数中间的0，可以跳过去不除。

(2)用3除（三归），

三归的口诀，一共有5句。

三一三十一，三二六十二，逢三进一，逢六进二，逢九进三。

“三一三十一”这句口诀里的第一个数字“三”表示数是三，第二个数字“一”表示被除数是一十，第三个数字“三”表示商是三，末一数字表示余数是一。用3除10，商3余1.在算盘上的打法是，把被除数十位上的1改作商3，把余数1打在它的右边一位上。“三二六十二”这句口诀的道理和“三一三十一”类似。

逢二进一，1，改作三，2，加一，

例2，717÷2=239。

逢六进一，三一三十一，三二六十二，逢九进三。

（3）用4除（四归），四归的口诀，一共有5句。

四一二十二，四二添作五，四三七十三，逢十进一，逢八进二。

例3，789÷4=197......1。

逢四进一，逢八进二，四二添做五，逢八进二。

注：被除数个位上剩下的1，比除数4小，就不要再除了。1是余数。注意：用乘法验算有余数的除法，要从商的末位乘起，把乘得的结果加在余数上，不要从余数位乘起。例如验算上面的例2，应该按照下面的顺序：

四七二十八，四九三十六，一四得四。

（4）用5除（五归）。五归的口诀，一共有5句。

五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八，逢五进一。“五几倍作几”口诀里的第一个数字“五”表示除数是5，第二个数字表示被除数是几十，末一个数字表示商是几。5除10，商2.在算盘上的打法是，把被除数十位上的1改作2.。

例4，390÷5=78。

五三倍作六，逢五进一，五四倍作八。

（5）用6除（六归）。六归的口诀，一共有7句。

六一下加四，六二三十二，六三添做五，六四六十四，六五八十二，逢六进一，逢双六进二。“六一下加四”这句口诀里第一个数字“六”表示除数是6，第二个数字“一”表示被除数是10，第三个数字“四”表示余数是4. 用6除10商1余4，在算盘上的打法是：把被除数十位上的1改作商，不动，把余数4打在它右边的一位上。

六下一加四，1，不动，2，加4,

例5，7080÷6=1180。

逢六进一，六一下加四，六四六十四，逢双六进二。

（6）用7除（七归）。七归的口诀，一共有8句。

七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进一，逢双七进二。

例6，4053÷7=579。

七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进一。

（7）用8除（八归）。八归的口诀，一共有8句。

八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添做五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进一。

例7，3920÷8=490。

八三下加六，逢八进一，八七八十六，逢八进一。

（8）用9除（九归）。九归的口诀，一共有9句。

九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八，逢九进一。

例8，783÷9=37。

九七下加七，逢九进一，九六下加六，逢九进一。

2.除数是两位数的除法。

在除以前，先要定好商的个位。除数是两位数，就从被除数的个位向左数两位，定为商的个位。除数是两位数，除的时候，先要除数的第一位（从左边数起）去除被除数的第一位，求出商的第一位；再从被除数里，减去这一位商和除数第二位相乘的积。用同样的方法，继续去除被除数里余下的数，就可以求出商的第二位、第三位......。

例1，98÷49=2。

逢八进二，二九十八，

注：图下边的弧线表示除，图上边的弧线表示乘。

例2，1175÷47=25。

第一步：先用47去除被除数里的前三位数（从左边起）“117”。

二退一还二，1，去一，2，加二，

四一二十二，二七十四。

第二部：再用47去除“235”。

四二添作五，五七三十五，

注意：如果被除数和除数末尾有0，在定商的个位的时候，不要把0遗漏，在计算的时候可以不去管它。用除数的十位上的数去除被除数某一位上的数的时候，求出的商，如果它右边一位上余下的数大于（或等于）除数十位上的数，需要把这一位商增大的，就用“逢几进几”口诀，把这一位商增大。

例3，1826÷83=22。

八一下加二，逢八进一，二三得六，八一下加二，逢八进一，二三得六，

用除数的十位上的数去除被除数某一位上的数的时候，求出的商，和除数的个位上的数相乘，从被除数里减去，如果不够减，就要用“几退一还几”的口诀，把这一位减小。除数首位是几，就退一还几。“几退一还几”的口诀，一共有9句。一退一还一，二退一还二，三退一还三，四退一还四，五退一换五，六退一还六，七退一还七，八退一还八，九退一还九。口诀里的第一个数字表示除数的第一位数是几，第二个数字表示商减小的数，末一个数字表示在下一位上加上的数。

例4，112÷39=3.25。

二一添作五，二退一还二，三九二十七，

用除数的十位上的数去除被除数某一位上的数的时候，如果这两位上的数正好相同，但是被除数的下一位数比除数的个位上的数小，就要用“见几无除作九几”的口诀。这类口诀。也叫“撞归”口诀。“见几无除作九几（撞归）”的口诀，一共有9句。见一无除作九一，见二无除作九二，见三无除作九三，见四无除作九四，见五无除作九五，见六无除作九六，见七无除作九七，见八无除作九八，见九无除作九九。口诀里的“见一”、“见二”......是指除数和被除数的最高位上的数都是“1”，“2”，......“无除”是指不够减。（就是如果用“逢几进几”的口诀得商10，那么商与除数第二位数的积大于被除数的第二位数），“作九一”、“作九二”......表示把被除数的最高位上的数改作商9，同时在下一位上加上“1”，“2”......。“作九一”、“作九二”......表示把被除数的最高位上的数改作商9，同时在下一位上加上“1”，“2”......。如果用“见几无除作九几”的口诀求出的商还大，就要再用“几退一还几”的口诀把这一位商减小。

例5，1275÷13=98。

先就求商的首位来看，“127÷13”商不能是10，最多只能是9. 就“100÷10”说，商9，去掉90，还剩下10，就用口诀“见一无除作九一”。

见一无除作九一，1，改作九，2，加一，三九二十七，

见一无除作九一，1，改作九，2，加一2,

一退一还一，1，去一。2，加一，

三八二十四。

3.除数是3位以上的除法，

在除以前，先要定好商的个位。除数是几位数，就从被除数的个位向左数几位，定为商的个位。除数是三位数以上的数，除的时候，先用除数的第一位（从左边数起）去除被除数的第一位，求出商的第一位；再从被除数里，逐次减去这一位商和除数第二位、第三位、第四位......相乘的积。用同样的方法，继续去除被除数里余下的数，就可以求出商的第二位、第三位......。

计算多位除法，没求出一位商，除的顺序和怎样从被除数减去这一位商和除数相乘的积，

可以用下图来表示：

1，用口诀求得商，

2，减去商与除数第二位相乘的积，

3.减去商与除数第三位相乘的积。

例1，12915÷315=41。

三一三十一，逢三进一，一四得四，去四，

四五二十，去二十，逢三进一，一一得一，一五得五。

例2，9027÷3009=3Example2，9027÷3009=3。

逢九进三，三九二十七，

注意：除数中间的0，可以跳过去不除，但要注意除数里跳过了几个0，拨珠的时候也要跳过几位。计算多位数除法，遇到被除数的1、2、3倍的时候，就不要用一般方法去除，可以用减法来代替除法。

例，2556÷213=12。

一去二一三，商一，去二一三，一去二一三，商一，去二一三，一去二一三，加商一，去二一三，计算多位数除法的时候，间用这种算法，能使计算简便迅速。

附录，商除法

商除法是就被除数和除数比较，看看能得出商几来，所以叫“商除法”。商除法和归除法一样，也是把余数打在算盘的左边，被除数打在右边，除数和被除数中间要隔开两、三档，以便于把除得的商打在那里。

1.除数是一位数的整数除法。

除数是一位数的商除法，先用除数去除被除数的最高一位。如果够除，就把商拨在被除数最高位左边隔一位上；如果不够除，就去除前两位，把除得的商拨在被除数最高位左边一位上。为了好记，把它编成口诀，就是“够除隔位商，不够除挨位商”。再由被除数的最高一位数或前两位数，减去商和除数相乘的积。然后用除数去除所得的余数。这样继续下去，直到除尽或余数小于除数的时候为止。如果被除数里有0，可以跳过去不除。在除以前，先要定好商的个位。在除以前，先要定好商的个位。除数是一位数，就从被除数的个位向左数两位，定为商的个位。

例1，68÷3=23。

用除数（3）去除被除数十位数（6），商2. 二三得六，去六，除数（3）和商（2）相乘得6，从北除数里减去。商三，用除数（3）去除被除数个位数（9）商3. 三三得九，去九，除数（3）和商数（3）相乘得9，从被除数里减去。

例2，296÷4=74。

商七，四七二十八，去二十八，商四，四四十六，去十六。

2.除数是两位数的整数除法。

在除以前，先要定好商的个位。除数是两位数，就从被除数的个位向左数三位，定为商的个位。除数是两位数，在试商的时候，可以按照笔算里的方法来试。

例1，615÷41=15。

第一步：把除数41看做40，试除被除数的前两位数“61”，够商1，就在被除数最高位左边隔一位上打上1. 然后由被除数的前两位数（61）里，减去商（1）和除数（41）的积（41），得20. 20和原来被除数里的末位数（5）合在一起，得205，就是被除数还余205.

商一，一四得四，去四，一一得一，去一，

第二步：再用41（看做40）去试除被除数里的“205”，够商5，就在205的左边一位上打上5. 然后由205里减去商（5）和除数（4）的积（205），得0，没有余数。

商五，四五二十，去二十，一五得五，去五，

例2，3655÷85=43.

第一步：把除数85看做90，试除被除数的前三位数“365”，够商4，就在被除数最高位左边一位上打上4. 然后由被除数的前三位数（365）里，减去商（4）和除数（85）的积（340），得25. 25和原来被除数里的第四位数（5）合在一起，得255，就是被除数还余255.

商四，四八三十二，去三十二，四五二十，去二十。

第二步：再用85（看做90）去试除被除数里的“255”，够商2，就在255的左边一位上打上2. 然后由255里，减去商（2）和除数（85）的积（170），得85. 余数85等于除数，还够商1，所以在2上补商1，减去85.

在商除法里，商小了可以补商，计算上比较简便，所以在试商的时候，可以偏小，不要偏大。补商可以补一次，也可以补两次三次。计算多位数除数，遇到被除数是除数的1、2、3倍的时候，就不要用一般的方法去除，可以用减法来代替除法。

例3，2349÷23=102......3.

第一步：用除数23去除被除数的前两位数“23”，商1.

商一, 一去二三, 去二三.

第二步：再用23去除被除数里的“49”，可以连续商两个“1”，连续减去两个“23”。这时候商是“2”，余数是3.

一去二三, 商一, 去二三, 一去二三 , 补商一, 去二三.

这种用减法来代替除法的方法，通常叫做“大扒皮”法。计算多位数除法的时候，间用“大扒皮”法，能使计算简便迅速。

3.除数是三位数以上的整数除法

除数是三位以上的除法法则，跟除数是两位数的基本相同。在除以前，先要定好商的个位。除数是几位，就从被除数的个位向左数，数到比除数位数多一位的档上，定为商的个位。

例1，14973÷483=31.

第一步：

商三, 三四十二 , 三八二十四, 三三得九, 去九,

第二步：

商一,

例2，85680÷2040=42  

第一步：

商三, 四四十六,

第二步：先商1，去204，再补商1，再去204.读者可以自己在算盘上打一打。

注意：

1.除数中间的0，可以跳过去不除，但要注意除数跳过几个0，拨珠的时候也要跳过几位。

2.如果被除数和除数末尾有0，在定商的个位的时候，不要把0遗漏，在计算的时候可以不去管它。

第三部分  用珠算计算开方平方

下面的内容可参见《珠算教程》，梁特猷编著，湖南教育出版社1986年出版。

（三）看数读积

看数是从最高位看起，看时只管盘显数字不管小数点如何，边看数就边默算。方法是：

对最高位计算乘积的十位数和个位数，并在积的个位上加上后位提前进位的数。第二位直到末位，只计算各个乘积的个位数加后位提前进位的数（简称：本个加后进）。如果加得的和是十几，这个“十“不作计算。（因为已在提前进位中算过了），仍然只算这个和的个位数。

[例1]2×750849=1501698

看数读积：（下列各数中加外圈的表示不作计算，也不读这位数）

2×7=14

   最高位7的乘积，十位、个位都计算，7后是5，满5进1，14+1=15，所以乘积最高位是1，第二位是5；

2×5=（1）0

从第二位数起只计算乘积的个位数，5后是0，不进位，0+0=0. 所以第三位积是0；

2×0=00，

0后是8，满5进1，+1=1，所以第四位积是1；

2×8=（1）6，

8后是4，不满5不进，6+0=6，所以第五位积是6；

2×4=08，

4后是9，满5进1，8+1=9，所以第六位积是9；

2×9=（1）8，

9后无数，不存在进位，8+0=8，所以积的末位是8.

[例2]3×343367=1030101，

看数读积，

3×3=09，

3后是4，超3进1，9+1=10，所以乘积最高位是1，第二位是0；

3×4=（1）2，

4后是336，超3进1，2+1=3，所以第三位积是3；

3×3=09，

3后是36，超3进1，9+1=（1）0，

（这里和是10，但十位数已在提前进位中算过了，C此处只计算个位数）所以第四位积是0；

3×3=09，

3后是67，超6进2，9+2=（1）1，所以第五位积是1；

3×6=（1）8，

6后是7，超6进2，8+2=（1）0，所以第六位积是0；

3×7=（2）1，

7后无数，不存在进位，1+0=1，所以第七位积是1.

[例3]7×142858=1000006，

看数读积，

7×1=07，

1后是42858，超428571进3，07+3=10，所以最高位积是1，第二位是0；

7×4=（2）8，

4后是2585，超285714进2，8+2=（1）0，所以第三位积是0；

7×2=（1）4，

2后是858，超857142进6，4+6=（1）0，所以第四位积是0；

7×8=（5）6，

8后是58，超571428进4，6+4=（1）0，所以第五位积是0；

7×5=（3）5，

5后是8，超714285进5，5+5=（1）0，所以第六位积是0；

7×8=（5）6，

8后无数，不存在进位，6+0=6，所以末位积是6.

从本例可见看数读积也还有简化的可能。

例如：遇到的数若恰是乘数的倒数，就可以一次看过这几位，使积得100...,

再就尾数的具体情况确定积的末尾数。本例是7×142858，其乘数与7的倒数142857之差不足1，所以在一次定积100...后，只去尾数8与7之乘积（5）6的个位，整个乘积得1000006.

如果是7×142859，乘数与142857之差进2，而2×7的积是14，能进位1，

这时，在一次定积100...后，再加尾数9×7=（6）3的3做末位，还要在其前位上加1.最后得积10000123.、掌握看数读积并不难，要求熟练到看到数顺口就能读积，这要下些功夫。

一定要扎实练习2-9八个乘数对任意数的看数读积。一旦看数读积成了顺口溜，算多位乘、除就能得心应手了。

附：直看读积法，

乘数是9的看积法：

上述方法是依据倒数由“本个加后进”来判断乘积的。当乘数是9时，还可以不记倒数，直接以被乘数为准，根据它的前位数和后位数来判读本位乘积，这样更简便。

其看数读积的口诀是：“后大本减前，否则再减1”。意思是：后位数大于本位数，则积数就是本位数减前位数；如果后位数不大于本位数，则积数应是本位数减前位数再减1.

[例]25337×9=228033，

定位：5位+1位=6位。看读乘积时被乘数头位2的前位看作0.本例看读如下：

2-0............2，

5-2-1.............2，

13-5.............2，

3-3..............0，

7-3-1...............3，

10-7................3，

（四）看数读积多位乘

这也是前面介绍过的倍数流法，只是不用背流口诀，按上述看读数积法直接看数加积。

[例1]38745×269.18=10429379.10，

固定法定位：5位+3位=8位，

拨算程序                       盘式

                                8    7    6    5    4    3    2   1   0                                                                    

数档拨实数38745                三   八   七   四   五                  

去五，随加（五×26918）134590   三   八   七   四        1    3   4   5   9

去四，随加（四×26918）107672   三   八   七        1    2   1   1   3    1

去七，随加（七×26918）188426   三   八        2    0    0   5   3   9    1

去八，随加（八×26918）215344   三        2    3    5    3   9   7   9    1

去三，随加（三×26918）080754         1    0   4    2    9   3   7   9    1

[例2]619.23×754.84=467419.57。

固定法定位：3位+3位=6位，

拨算程序                       盘式

                                 6    5    4    3    2    1   0                                                                    

数档拨实数61923                 六   一   九   二   三                  

去三，随加（三×75484）226452    六   一   九   二        2   2   6   4   5

去二，随加（二×75484）150968    六   一   九        1    7   8   6   1   3

去九，随加（九×75484）679356    六   一        6    9    6   7   1   7   3

去一，随加（一×75484）075484    六        1    4    5    1   5   5   7   3

去六，随加（六×75484）452904         4    6    7    4    1   9   5   7   3

从上例可见关键是看数读积的能力。按倒数判断法和直看读积法，从高位起读积，只要读积流利。盘上不过是依次去加罢了。不妨就用上两例，把因数分别作实数，反复练习。

（五）看数读积多位除

掌握了看数读积，则多位除法不过是看盘上被除数够减几倍积，就商几并减该倍数积。

[例一]102538.06÷28.69=3574.00。

固定法定位：6位-2位=4位。

拨算程序                       盘式

                                 6    5    4    3    2    1   0                                                                    

数档拨实数102538.06                        1    2    2    5   3   8   0   6          

可减（三×2869）08607商三            三        1    6    4   6   8   0   6

可减（五×2869）14345商三            三   五        2    1   2   3   0   6

可减（七×2869）20083商七             三   五   七       1    1   4   7   6   3

可减（四×2869）11476商四            三   五   七    四        

[例二]664026÷35468=1872

固定法定位：6位-1位=5位。

拨算程序                       盘式

                                3    2    1    0                                                                    

数档拨实数                                6    6     4    0   2   6          

可减（一×35468）035468商一    一        3     0    9    3    4   6  

可减（八×35468）283744商八    一   八         2    5    6    0   2

可减（七×35468）248276商七    一   八   七         7    7    4   4  

可减（二×35468）070936商二    一   八   七    二        6    5    0    

可将乘法和上两例互作验算，反复练习。

三、二项式的活用

我们知道二次二项式的基本公式有：

     2    2        2                                          

(a+b)   =a   +2ab+b      （1）

     2    2        2                                          

(a-b)   =a   -2ab+b      （2）

  2    2                                    

a   -b   =(a+b)(a-b)         （3）

           2            2                        

(a+b)(a+c)=a   +ab+ac+bc=a  +a(b+c)+bc          （4）

根据这些基本公式，对于很多算题我们都可以利用它来加以简化。

（一）首位相同个位互补

[例一]27×23这是(20+7)(20+3)符合(1)式的基本形式，但7和3不相同。根据（1）式，可把7和3分别看做b、c,则公式演化为

           2                  

(a+b)(a+c)=a  +ab+ac+bc

而这里(b+c)=10（互补），所以这个公式变成

        2                      

       a  +a(b+c)+bc

                       2        

因此，27×23就可以按20  +10*20+7*3计算.

                                       2           2            

[例二]85*85这完全符合（1）式，可以按80   +2(80*5)+6  计算。

                                   2         2                                

且个位5和个位5互补又可以简化为80  +10*80+5

                                         2                            

[例三]104*106符合例一用的公式，可以按100   +10*100+4*6计算。

（二）首位是1两数相乘

                 2                                    

按公式(a+b)(a+c)=a   +ab+ac+bc，由于a=1,

  2

1   还是1，ab、ac的乘积盘显数字还是b、c，

                               n    2      n     n                                    

那么上述公式在这里又直接看做(10    )    +10  b+10  c+bc，运算就更简便。

（二）首位是1的两数相乘

                 2                     2      

按公式(a+b)(a+c)=a  +ab+ac+bc，由于a=1, 1   还是1，ab,ac的乘积盘显数字还是b、c，

那么上述公式在这里又可以直接看做

   n   2     n      n                                                            

(10   )   +10   b+10   c+bc

运算就更简便。

[例四]1008*1012这可看做,

   3       3         3   2     3      3                                  

(10   +8)(10   +12)=(10   )   +10  *8+10  *12+8*12

在算盘上只不过是在相应的位次上加1、加8、加12再加96罢了。

（三）过剩亘数与不足亘数相乘

                   n                       n                                        

把过剩亘数看做是10  +b，把不足亘数看做是10  -c，

       n      n       n   2     n    n                                  

根据(10  +b)(10  -c)=(10   )   +10  b-10   c-bc去简化。但首先必须区分算题的数据。

当两因数都为过剩或都不足亘数时，根据

   n      n      n    n                                                

(10  +b)(10  +c)=10  (10  +b+c)+bc

而,

  n        n        n      n                                

10  +b+c=(10  +b)+(10  +c)-10

去简化；或根据,

   n      n      n   n                                              

(10  -b)(10  -c)=10  (10  -b-c)+bc

而其中,

   n        n       n                                        

10   -b-c=(10  -b)+(10  -c)-10

去简化。

两因数为过剩亘数，或两因数一为过剩亘数，一为不足亘数，而b和c互补等等，都可以利用上述公式和数据间互补的关系去寻求最佳的简化拨算的方法。两因数首位互补末位相同，或首位相同末位互补，以及两因数中间位数的数值是“0“等带有规律性的数，这些情况都可以找到简捷的处理方法。

（四）不足亘数与不足亘数相乘

           2    2      2                              

可活用(a-b)   =a   -2ab+b  这一公式。

                     n                              

因为不足亘数都属于(10  -b)形式，只是b值不同。

                         3        3                  

[例五]898*997可看做是(10   -101)(10  -3)

                 3     3          3       3                                          

根据前述演化得10   [(10   -102)+(10   -3)-10  ]+306

                n                                                  

由于在算盘上10  只是位置标志，无须直接拨数，所以像这类题目，就变得只需把两个不足亘数相加，减最高位1，再加两补数之积，拨算非常方便了。

（五）基数余缺相乘

               2   2                        

这是(a+b)(a-b)=a   -b  公式的运用。

                                                   2    2        

[例六]73*67可看做(70+3)(70-3)，根据上述公式就可化成70  -3

总之，在珠算乘法中运用二次二项式的公式是非常合适而有利的，这里只是略举几例，

也足以说明要提高珠算的技能，是非常需要数学知识的。

（一）增乘开平方

这是北宋数学家贾宪（11世纪）创造的一种随乘增加的“增乘开方法”。用这种“增乘开方法”可求得任意高次展开式系数，也可以进行任意高次幂的开方。我国现代珠算家华印椿第一次把此法用于珠算。本书则运用行列式表述盘式法，更为通俗易懂。

具体程序：

（1）置数：将算盘档位划分为左、中、右三栏，左、中两栏个安排五档，中隔两档即可；

右栏置被开方数，要适当多留几档。这三栏分别称：根栏、方栏、实栏。因此，用此法开方要用十七档以上的算盘。

（2）分节：将被开方数以小数点为准，整数向左，小数向右，每一位为一节，每节对应得一位根。

（3）：求首根：根据被开方数的分节情况，得知首位根的位置，确定根的小数点所在，在根栏置数。

求首根时依次序：

（1）根栏立商（即求初根）：看被开方数头两位相当于什么数的平方，即以此数做商；

（2）以商入方：将立的商加于方栏。应按根乘“方栏”的数值定位置；

（3）乘方除实：以这次定的商数去乘方栏的数，得积，在被开方数中减去；

（4）复商入方：重复将商（根）数加于方栏内。

（4）求其余各位根，运算步骤和上述求首根的四道步骤一样，

只是确定根的数值时是以盘上方栏的数做除数去除被开方数求一位商。简称为“以方约实”。

[例一]√66049=257

本例被开方数为五位整数，故知根为三位整数，安排根、方、实三栏档位时，根、方可各留四挡。小数第二位，则根、方需各留六档。总之，看题就可以估算出根、方、实各栏需要留的档次。

                                 根栏       方栏              实栏

置被开方数（实数）                                            66049

1，商位立商200，以商入方200     200        200              66049    

2.乘方除实200*200，自实中减      200        200              26049  

3.以商入方                        200        400              26049        

以方约实，4除26，可商50留余地

1.商位立商50，以商50入方        250        450              26049  

2.乘方除实50*45，自实数中减去    250        450              3549

3.以商入方                      250        500              3549                    

以实约实，5除35，可商7

1，商位立商7，以商7入方       257        507              3549

2.乘方除实7*507，自实数中减去  257        507  

开尽。

例二，√94167616=9704

本例中，根栏、方栏需各留五档，实（被开方数）栏需留九档，各档之间要空两档。

                                  根栏       方栏              实栏

置被开方数（实数）                                            94167616

1，商位立商9000，以商入方9000    9000        9000            94167616  

2.乘方除实200*200，自实中减       9000        9000            13167616  

3.以商入方                         9000        18000            13167616      

以方约实，18除131，可商700

1.商位立商700，以商700入方       9700        18700            77616

3.以商入方                        9700        19400            77616                  

以实约实，194除776，可商4

1，商位立商4，以商4入方         9704        19404           77616  

2.乘方除实19404*4，自实数中减去   9704        19404

开尽。

（二）递减奇数开平方

这也是我国古代的一种算法，可以从另外一个途径开拓我们的思路。

1.奇数和奇数列的特性

1、7、9、13.........之类平常叫做单数的数，特称奇数。如果按1、3、5、7、9、11......顺序排列下去，就是公差为2（相邻两数之差都是2）的等差数列，称奇数数列。奇数数列很有趣味。让我们先来看：

           2                                                

   1+3=4=2                  √4=(3+1)/2=2          

   2个

             2                                                

   1+3+5=9=3                 √9=(5+1)/2=3        

   3个

              2                                                

   1+3+5+7=16=4                 √16=(7+1)/2=4  

   4个

                  2                                                

   1+3+5+7+9=25=5                 √25=(9+1)/2=5  

   5个

  ..........                                   .........

从上面的例子中我们可以看出：

（1）自1起的若干个奇数组成的公差为2的奇数数列的和，等于这一数列所含的奇数的个数的平方。

（2）正有理数的平方根等于一个相应的奇数数列的末项加1的和的一半，即（末项+1）÷2. 因此，从被开方数里依次递减1、3、5、7、9、11......这样的奇数数列，直到被开方数减完时，按照第一条规律数一数共减去了多少个奇数，就可得知这数的平方根是多少。不过，这样做很费事。还可以利用第二条规律，将相应的奇数数列的末项加1除以2（或乘以0.5），也可以得出平方根。这就是用递减奇数可以开平方的原理。

2.凑倍简化递减奇数法

递减奇数开平方，拨算次数较多。近年来经过很多同志先后改进，采用类似累减除法的二倍、五倍累减法，从而大大缩简了拨算手续。这种方法称为凑倍递减开平方，简称凑减法。

凑减法是根据：

设：a=现根（已出现的除末位外的各位根）, b=新根（末位根）,

            2       2         2                              

由于（10a+b)   =100a  +20ab+b

而b是1至9九个自然数之一,

                 2       2       2                                                                

当b=1时，(10a+1)   =100a  +20a+1

            2       2                                      

b=2，(10a+2)   =100a  +40a+4

                   2                          

              =100a  +(20a+1)+(20a+3)

            2       2                                          

b=3，(10a+3)   =100a  +60a+9

                    2                                        

              =100a  +(20a+1)+(20a+3)+(20a+5)

......

            2       2                                        

b=5，(10a+5)   =100a   +100a+25

从以上各式可见：当a的值已经确定，在求b的时候把a的系数分化作多个20来处理，则余数每次减20a之后就只要意依次递减1起的各个奇数。这样算起来就很简便了。又由于当b=5的时候，只要减(100a+25)，而100a的盘显数字与a一致，例如，a=87，(100a+25)就是8725,可以很方便的看出来。所以，当余数自头位起够减(100a+25)时，就可以直接减(100a+25)，随后在余数最高位的前档拨置根数“五”。因此，(100a+25)又是确定b值能否为5的判别式。如果b在5以上，则先求出“五”，再递减（20a+1)、(20a+3)......，补求本位所差的那部分根数。

[例一]√68644=262.

拨算程序,                                 盘式    

自第二档起置被开方数（第一节06）,                 68644

第一档置根“二”，第一节减二的平方,       二        28644

余数减（100a+25)即225，前档置“五”,    二五      6144

余数续减20a(即50）+1，二根补“一”,      二六      1044    

余数减20a(即520)+1，三根置“一”,         二六一     523

续减20a(即520)+3，三根补“一”。           二六二

[例二]√142884=378。

拨算程序，                                  盘式  

分节，自第二档起置被开方数第一节14，                142884                  

就第一节得方根“三”，拨在第一档，           三       142884

在第一节中减首根的平方（三*三），            三        52884

自余数头位减（300+25），前档置二根“五”，    三五      20384

自余数第二档起减71，二根补“一”。          三六       13284      

自余数第二档起续减78，二根补“一”。        三七        5984

自余数头位减（3700+85），前置三根“五”。     三七五      2259

自余数第二档起续减751，三根补“一”。        三七六      1508

自余数第二档起续减753，三根补“一”。         三七七      755  

自余数首档起减755，三根补“一”。             三七八

二、求平方法

求一数的平方，一般都用乘法。这里则介绍一种熟练后比乘法要简便的特定方法。

           2            

[例一]求72

               2     2                    

     4 90 4......7   、2      两位基数分别自乘。

+)     28    7    、2      两数之乘积的2倍。

       5184                            

    拨算程序，                       盘式，

第一档起拨各数字的平方数             4904

第二档起加两基数之乘积的2倍         5182

           2        

[例二]求517

                  2    2    2                          

   25，01，49.......5  ，1  ，7

    1  01  4     5    1    7         相邻两基数数字积的2倍      

+)     70         5    1    7         隔位两数字积的2倍

   26  72  89

     拨算程序                         盘式

第一档起拨各数字的平方数             250149

第二档起加相邻两数字积的2倍         260289

第三档起加隔位两数字积的2倍         267289

初学这种方法，容易错档，计算时，应注意以下几点：

（1）各数的平方数自第一档拨置，以后逐步计算，各步的积依次从第二、第三......档起拨。

（2）同步每加一次新积，应在上次乘积个位的右档起加。

（3）乘积的十位数是“0”，或个位数是“0”，都要各占一个档位。

积是“0，0”则应占两档。

            2        

[例三]求4859

                                  2     2    2     2                    

     1  6，6  4，2  5，8  1，......,4    ,8    ,5    ,9

        6  4,  8  0,  9  0        4    8     5    9  相邻两数字积的2倍

           4  1   4  4           4    8     5    9 隔一位两数字积的2倍

      +)      7   2               4    8    5    9  隔两位两数字积的2倍                                                                                                                                                  

     2  3  6  0  9  8  8  1                                                                                

     拨算程序                           盘式

第一档起依次拨各数字的平方数         16642581

第二档起加相邻两数字积的2倍         23123481

第三档起加隔一位两数字积的2倍       23537881

第四档起加隔两位两数字积的2倍       23609881

（一）分数加减的运算

珠算作分数加减，同分母的分数加减只需就分子加减；异分母的可采用在大数值分母中减小数值分母来求最小公倍分母，同时相应增减分子的办法去运算。这不仅使分数的加减在算盘上运算成为可能，而且不需要笔算通分后必须作的中间记录，计算速度一般也不比笔算慢。

1.异分母真分数加法

[例一]

          871     375     885      295

               +       =1       =1

         1076     807     3228     1076